自考高等數(shù)學(xué)一復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、2011年自考高等數(shù)學(xué)一復(fù)習(xí)指導(dǎo)要求考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。復(fù)習(xí)

2、考試內(nèi)容一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)1、知識(shí)范圍（1）函數(shù)的概念函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)（2）函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性（3）反函數(shù)反函數(shù)的定義、反函數(shù)的圖像（4）基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（5）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算（6）初等函數(shù)2、要求（1）理解函數(shù)的概念。會(huì)求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的圖像。（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。（3）了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（定義域、值域、圖像），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。（4）熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。（5）掌

3、握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。（6）了解初等函數(shù)的概念。（7）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。（二）極限1、知識(shí)范圍（1）數(shù)列極限的概念數(shù)列：數(shù)列極限的定義（2）數(shù)列極限的性質(zhì)唯一性、有界性、四則運(yùn)算法則、夾逼定理、單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理（3）函數(shù)極限的概念函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義、左、右極限及其與極限的關(guān)系、趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù)的極限、函數(shù)極限的幾何意義（4）函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性、四則運(yùn)算法則、夾通定理（5）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系、無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量的階（6）兩個(gè)重要極限2、要求（1）理解極限的概念（對(duì)極限定義中“”、“”、“”等形式的描述不作要

4、求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。（3）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)1、知識(shí)范圍（1）函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義、左連續(xù)與右連續(xù)、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理、最大值與最小

5、值定理、介值定理（包括零點(diǎn)定理）（4）初等函數(shù)的連續(xù)性2、要求（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處的連續(xù)性的方法。（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學(xué)（一）導(dǎo)數(shù)與微分1、知識(shí)范圍（1）導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本公式（3）求導(dǎo)

6、方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法、求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（5）微分微分的定義、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分法則、一階微分形式不變性2、要求（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，掌握用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法。（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（4）掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的、階導(dǎo)數(shù)。（6）理解函數(shù)的微

7、分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。（二）微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、知識(shí)范圍（1）微分中值定理羅爾（rolle）定理、拉格朗日（lagrange）中值定理（2）洛必達(dá)（lhospital）法則（3）函數(shù)增減性的判定法（4）函數(shù)的極值與極值點(diǎn)、最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)（6）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線2、要求（1）理解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。（2）熟練掌握用洛必達(dá)法則求各種型未定式的極限的方法。（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利

8、用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。（4）理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。（5）會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。（6）會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。（7）會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。三、一元函數(shù)積分學(xué)（一）不定積分1、知識(shí)范圍（1）不定積分原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)存在定理、不定積分的性質(zhì)（2）基本積分公式（3）換元積分法第一換元法（湊微分法）、第二換元法（4）分部積分法（5）一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分2、要求（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第

9、一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（5）會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。（二）定積分1、知識(shí)范圍（1）定積分的概念定積分的定義及其幾何意義、可積條件（2）定積分的性質(zhì)（3）定積分的計(jì)算變上限積分、牛頓萊布尼茨（newton-leibniz）公式、換元積分法、分部積分法（4）無(wú)窮區(qū)間的廣義積分（5）定積分的應(yīng)用平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、物體沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功2、要求（1）理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。（3）理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。（4）熟練掌握牛頓

10、萊布尼茨公式。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。會(huì)用定積分求沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功。四、向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)1、知識(shí)范圍（1）向量的概念向量的定義、向量的模、單位向量、向量在坐標(biāo)軸上的投影、向量的坐標(biāo)表示法、向量的方向余弦（2）向量的線性運(yùn)算向量的加法、向量的減法、向量的數(shù)乘（3）向量的數(shù)量積二向量的夾角、二向量垂直的充分必要條件（4）二向量的向量積、二向量平行的充分必要條件2、要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，

11、會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。（2）熟練掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。（3）熟練掌握二向量平行、垂直的充分必要條件。（二）平面與直線1、知識(shí)范圍（1）常見(jiàn)的平面方程點(diǎn)法式方程、一般式方程（2）兩平面的位置關(guān)系（平行、垂直和斜交）（3）點(diǎn)到平面的距離（4）空間直線方程標(biāo)準(zhǔn)式方程（又稱對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程）一般式方程、參數(shù)式方程（5）兩直線的位置關(guān)系（平行、垂直）（6）直線與平面的位置關(guān)系（平行、垂直和直線在平面上）2、要求（1）會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。會(huì)求兩平面間的夾角。（2）會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。（3）了解直線的一般式方

12、程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。（4）會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。（三）簡(jiǎn)單的二次曲面1、知識(shí)范圍球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面、橢球面2、要求了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。五、多元函數(shù)微積分學(xué)（一）多元函數(shù)微分學(xué)1、知識(shí)范圍（1）多元函數(shù)多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念（2）偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二階偏導(dǎo)數(shù)（3）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（4）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（5）二元函數(shù)的無(wú)條件極值與條件極值2、要求（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義。會(huì)

13、求二次函數(shù)的表達(dá)式及定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念（對(duì)計(jì)算不作要求）。（2）理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。（4）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。（5）會(huì)求二元函數(shù)的全微分。（6）掌握由方程、所確定的隱函數(shù)、的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。（7）會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值。會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求二元函數(shù)的條件極值。（二）二重積分1、知識(shí)范圍（1）二重積分的概念二重積分的定義二重積分的幾何意義（2）二重積分的性質(zhì)（3）二重積分的計(jì)算（4）二重積分的應(yīng)用2、要求（1）理解二重積分的概念及其性質(zhì)。（2）掌握

14、二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。（3）會(huì)用二重積分解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題（限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量）。六、無(wú)窮級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、知識(shí)范圍（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的必要條件（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法比較判別法、比值判別法（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法2、要求（1）理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。（2）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。（3）掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂性。（4）了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)使用

15、萊布尼茨判別法。（二）冪級(jí)數(shù)1、知識(shí)范圍（1）冪級(jí)數(shù)的概念收斂半徑、收斂區(qū)間（2）冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)（3）將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)2、要求（1）了解冪級(jí)數(shù)的概念。（2）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分）。（3）掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點(diǎn)）的方法。（4）會(huì)運(yùn)用麥克勞林（maclaurin）公式，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。七、常微分方程（一）一階微分方程1、知識(shí)范圍（1）微分方程的概念微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解（2）可分離變量的方程（3）一階線性方程2、要求（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。（二）可降價(jià)方程1、知識(shí)范圍（1）型方程（2）型方程2、要求（1）會(huì)用降階法解、型方程。（2）會(huì)用降階法解、型方程。（三）二階線性微分方程1、知識(shí)范圍（1）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（2）二階常系數(shù)齊次線性微分方程（3）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2、要求（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。（3）掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法?？?/p>