動(dòng)態(tài)法測楊氏模量實(shí)驗(yàn)報(bào)告[實(shí)驗(yàn)相關(guān)]

1、動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 理解動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的基本原理。2. 掌握動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的基本方法，學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量。3. 了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號(hào)源和示波器的使用。學(xué)會(huì)用示波器觀察判斷樣品共振的方法。4. 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)和使用常用實(shí)驗(yàn)儀器的能力。二、 實(shí)驗(yàn)原理：在一定條件下，試樣振動(dòng)的固有頻率取決于它的幾何形狀、尺寸、質(zhì)量以及它的楊氏模量。如果在實(shí)驗(yàn)中測出試樣在不同溫度下的固有頻率，就可以計(jì)算出試樣在不同溫度下的楊氏模量。根據(jù)桿的橫振動(dòng)方程式 （1）式中為桿的密度，S為桿的截面積， 稱為慣量矩（取決于截面的形狀），E即為楊氏模量。yxxO圖1 細(xì)長棒的彎曲振動(dòng)

2、yxxL如圖1所示，長度L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑d（Ld）的一細(xì)長棒，作微小橫振動(dòng)（彎曲振動(dòng)）時(shí)滿足的動(dòng)力學(xué)方程（橫振動(dòng)方程）為 （1）棒的軸線沿x方向，式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏模量，單位為Pa或N/m2；為材料密度；S為截面積；J為某一截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，。橫振動(dòng)方程的邊界條件為：棒的兩端(x=0、L)是自由端，端點(diǎn)既不受正應(yīng)力也不受切向力。用分離變量法求解方程（1），令，則有 （2）由于等式兩邊分別是兩個(gè)變量x和t的函數(shù)，所以只有當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€(gè)常數(shù)時(shí)等式才成立。假設(shè)此常數(shù)為K4，則可得到下列兩個(gè)方程 （3） （4）如果棒中每點(diǎn)都作簡諧振動(dòng)，則上述兩方程的通解分別為 （5）

3、于是可以得出 （6）式中 （7）式（7）稱為頻率公式，適用于不同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點(diǎn)（或支撐點(diǎn)）在試樣的節(jié)點(diǎn)，則根據(jù)邊界條件可以得到 (8)采用數(shù)值解法可以得出本征值K和棒長L應(yīng)滿足如下關(guān)系KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137， (9) (a) n=1 (b) n=2圖2 兩端自由的棒作基頻振動(dòng)波形和一次諧波振動(dòng)波形其中第一個(gè)根K0L=0對(duì)應(yīng)試樣靜止?fàn)顟B(tài)；第二個(gè)根記為K1L=4.730，所對(duì)應(yīng)的試樣振動(dòng)頻率稱為基振頻率（基頻）或稱固有頻率，此時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2（a）所示；第三個(gè)根K2L=7.853所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2（b）所示，稱為一次諧波。

4、由此可知，試樣在作基頻振動(dòng)時(shí)存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置分別距端面0.224L和0.776L。將基頻對(duì)應(yīng)的K1值代入頻率公式，可得到楊氏模量為 （10）如果試樣為圓棒(dL)，則，所以式（10）可改寫為 （11）同樣，對(duì)于矩形棒試樣則有 （12）式中m為棒的質(zhì)量，f為基頻振動(dòng)的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度。如果圓棒試樣不能滿足dL時(shí)，式（11）應(yīng)乘上一個(gè)修正系數(shù)T1，即 （13）上式中的修正系數(shù)T1可以根據(jù)徑長比d/L的泊松比查表1得到。表1 徑長比與修正系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系徑長比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系數(shù)T11.0011.0

5、021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）（12）可知，對(duì)于圓棒或矩形棒試樣只要測出固有頻率就可以計(jì)算試樣的動(dòng)態(tài)楊氏模量，所以整個(gè)實(shí)驗(yàn)的主要任務(wù)就是測量試樣的基頻振動(dòng)的固有頻率。本實(shí)驗(yàn)只能測出試樣的共振頻率，物體固有頻率f固和共振頻率f共是相關(guān)的兩個(gè)不同概念，二者之間的關(guān)系為 （14）上式中Q為試樣的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)。一般Q值遠(yuǎn)大于50，共振頻率和固有頻率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。由信號(hào)源1輸出的等幅正弦波信號(hào)加在發(fā)射換能器（激振器）2上，使電信號(hào)變成機(jī)械振動(dòng)，再由試樣

6、一端的懸絲或支撐點(diǎn)將機(jī)械振動(dòng)傳給試樣3，使試樣受迫作橫振動(dòng)，機(jī)械振動(dòng)沿試樣以及另一端的懸絲或支撐點(diǎn)傳送給接收換能器（拾振器）4，這時(shí)機(jī)械振動(dòng)又轉(zhuǎn)變成電信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)放大處理后送示波器5顯示。當(dāng)信號(hào)源的頻率不等于試樣的固有頻率時(shí)，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有電信號(hào)波形或波形很小，只有試樣發(fā)生共振時(shí)，示波器上的電信號(hào)突然增大，這時(shí)通過頻率計(jì)讀出信號(hào)源的頻率即為試樣的共振頻率。測出共振頻率，由上述相應(yīng)的公式可以計(jì)算出材料的楊氏模量。這一實(shí)驗(yàn)裝置還可以測量不同溫度下材料的楊氏模量，通過可控溫加熱爐可以改變?cè)嚇拥臏囟?。圖3 2李薩如圖法觀測共振頻率實(shí)驗(yàn)時(shí)也可采用李薩如圖法測量共振頻率。激振器和拾振器

7、的信號(hào)分別輸入示波器的X和Y通道，示波器處于觀察李薩如圖形狀態(tài)，從小到大調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的頻率，直到出現(xiàn)穩(wěn)定的正橢圓時(shí)，即達(dá)到共振狀態(tài)。這是因?yàn)椋罢衿骱图ふ衿鞯恼駝?dòng)頻率雖然相同，但是當(dāng)激振器的振動(dòng)頻率不是被測樣品的固有頻率時(shí)，試樣的振動(dòng)振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至檢測不到振動(dòng)，在示波器上無法合成李薩如圖形（正橢圓），只能看到激振器的振動(dòng)波形；只有當(dāng)激振器的振動(dòng)頻率調(diào)節(jié)到試樣的固有頻率達(dá)到共振時(shí)，拾振器的振幅突然很大，輸入示波器的兩路信號(hào)才能合成李薩如圖形（正橢圓）。3外延法精確測量基頻共振頻率理論上試樣在基頻下共振有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，要測出試樣的基頻共振頻率，只能將試樣懸掛或支撐在0.224L和0

8、.776L的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處。但是，在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處振動(dòng)振幅幾乎為零，懸掛或支撐在節(jié)點(diǎn)處的試樣難以被激振和拾振。實(shí)驗(yàn)時(shí)由于懸絲或支撐架對(duì)試樣的阻尼作用，所以檢測到的共振頻率是隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的位置變化而變化的。懸掛點(diǎn)偏離節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)（距離棒的端點(diǎn)越近），可檢測的共振信號(hào)越強(qiáng)，但試樣所受到的阻尼作用也越大，離試樣兩端自由這一定解條件的要求相差越大，產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。由于壓電陶瓷換能器拾取的是懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的加速度共振信號(hào)，而不是振幅共振信號(hào)，因此所檢測到的共振頻率隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離增大而變大。為了消除這一系統(tǒng)誤差，測出試樣的基頻共振頻率，可在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取不同的點(diǎn)對(duì)稱懸掛或支撐，用外延測量法找出節(jié)

9、點(diǎn)處的共振頻率。所謂的外延法，就是所需要的數(shù)據(jù)在測量數(shù)據(jù)范圍之外，一般很難直接測量，采用作圖外推求值的方法求出所需要的數(shù)據(jù)。外延法的適用條件是在所研究的范圍內(nèi)沒有突變，否則不能使用。本實(shí)驗(yàn)中就是以懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的位置為橫坐標(biāo)、以相對(duì)應(yīng)的共振頻率為縱坐標(biāo)做出關(guān)系曲線，求出曲線最低點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）所對(duì)應(yīng)的共振頻率即試樣的基頻共振頻率。4基頻共振的判斷實(shí)驗(yàn)測量中，激發(fā)換能器、接收換能器、懸絲、支架等部件都有自己共振頻率，可能以其本身的基頻或高次諧波頻率發(fā)生共振。另外，根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理可知，試樣本身也不只在一個(gè)頻率處發(fā)生共振現(xiàn)象，會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)共振峰，以致在實(shí)驗(yàn)中難以確認(rèn)哪個(gè)是基頻共振峰，但是上述計(jì)算楊氏模量的公

10、式（11）（13）只適用于基頻共振的情況。因此，正確的判斷示波器上顯示出的共振信號(hào)是否為試樣真正共振信號(hào)并且是否為基頻共振成為關(guān)鍵。對(duì)此，可以采用下述方法來判斷和解決。（1）實(shí)驗(yàn)前先根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量等參數(shù)通過理論公式估算出基頻共振頻率的數(shù)值，在估算頻率附近尋找。（2）換能器或懸絲發(fā)生共振時(shí)可通過對(duì)上述部件施加負(fù)荷（例如用力夾緊），可使此共振信號(hào)變化或消失。（3）試樣發(fā)生共振需要一個(gè)孕育過程，共振峰有一定的寬度，信號(hào)亦較強(qiáng)，切斷信號(hào)源后信號(hào)亦會(huì)逐漸衰減。因此，發(fā)生共振時(shí)，迅速切斷信號(hào)源，除試樣共振會(huì)逐漸衰減外，其余假共振會(huì)很快消失。（4）試樣共振時(shí)，可用一小細(xì)桿沿縱向輕碰試樣的不同部位

11、，觀察共振波振幅。波節(jié)處波的振幅不變，波腹處波的振幅減小。波形符合圖2（a）的規(guī)律即為基頻共振。（5）用聽診器沿試樣縱向移動(dòng)，能明顯聽出波腹處聲大，波節(jié)處聲小，并符合圖2（a）的規(guī)律。對(duì)一些細(xì)長棒狀（或片狀）試樣，有時(shí)能直接聽到波腹和波節(jié)。（6）當(dāng)輸入某個(gè)頻率在顯示屏出現(xiàn)共振時(shí)，即使托起試樣，示波器顯示的波形仍然很少變化，說明這個(gè)共振頻率不屬于試樣。懸絲共振時(shí)可明顯看見懸絲上形成駐波。（7）試樣振動(dòng)時(shí)，觀察各振動(dòng)波形的幅度，波幅最大的共振是基頻共振；出現(xiàn)幾個(gè)共振頻率時(shí)，基頻共振頻率最低。四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：擬合為數(shù)學(xué)圖像為：在X/L=0.224處用內(nèi)插法求出節(jié)點(diǎn) 位置的基振頻率f=742hz,