乘除法的關(guān)系和運(yùn)算律

1、乘除法的關(guān)系和運(yùn)算律作者：日期:【知識(shí)要點(diǎn)】（一卜乘除法各部分之間的關(guān)系：（1）乘法各部分之間的關(guān)系：因數(shù)x因數(shù)二積一個(gè)因數(shù)二積*另一個(gè)因數(shù)（2 ）除法各部分之間的關(guān)系：沒(méi)有余數(shù)的除法：被除數(shù)二商乂除數(shù)除數(shù)二有余數(shù)的除法：被除數(shù)*商商二被除數(shù)*除數(shù) 被除數(shù)工商x除數(shù)+余數(shù)除數(shù)（3 ）乘、除法之間的關(guān)系：=（被除數(shù)-余數(shù)）十商商二除法是乘法的逆運(yùn)算注意：0不能作（被除數(shù)-余數(shù)）十除數(shù)除數(shù)。（4）整除：a*b （b羊0）二c貝u a能被b整除，b能整除a。（二）乘法運(yùn)算律1、乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變。這個(gè)規(guī)律叫做乘法交換律。用字母表示為：a -b二 b - a2、乘法結(jié)

2、合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘第三個(gè)數(shù)，或先將后兩個(gè)數(shù)相乘再乘第一個(gè)數(shù)積不，它們的 變。這個(gè)規(guī)律叫做乘法結(jié)合律。用字母表示為：（a - b） - c= a - （b - c）3、乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把這兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。這個(gè)規(guī)律叫做乘 法分配律。用字母表示為：（a+b） c=a c+b c a c+ b -c =（a+b） -c乘法分配律的拓展：兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘，可以用這個(gè)數(shù)分別去乘相減的兩個(gè)數(shù)，再把積相減。用字母表示 為：（a-b） c =a c -b ca c-b c=（a -b） （三）減法簡(jiǎn)便運(yùn)算：1、一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以用這

3、個(gè)數(shù)減去這兩個(gè)數(shù)的和。用字母表示：a b- c= a （b + c）2、一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)先減去后一個(gè)數(shù)再減去前一個(gè)數(shù)。用字母表示： a b c=a c-b（四）除法簡(jiǎn)便運(yùn)算：1、一個(gè)數(shù)連續(xù)除以?xún)蓚€(gè)數(shù) ，可以用這個(gè)數(shù)除以這兩個(gè)數(shù)的積。用字母表示：a* b *c=a*（b x c）2、一個(gè)數(shù)連續(xù)除以?xún)蓚€(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)先除以后一個(gè)數(shù)再除以前一個(gè)用字母表示：a* b * c=a* c*b（五）積的變化規(guī)律一個(gè)因數(shù)縮?。〝U(kuò)大）幾倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（縮?。┫嗤谋稊?shù) ，積不變。 一個(gè)因數(shù)縮?。ɑ驍U(kuò)大幾倍），另一個(gè)因數(shù)不變，積也隨著縮?。ɑ驍U(kuò)大）幾倍。 一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大m倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大n

4、,積擴(kuò)大mxn倍；一個(gè)因數(shù)縮小m倍，另一個(gè)因數(shù)縮小n,積縮小mxn倍；一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（縮?。﹎倍，另一個(gè)因數(shù)縮?。〝U(kuò)大）n倍,積擴(kuò)大或縮小m+ n倍。 （六）解決問(wèn)題：1、相遇問(wèn)題 相遇路程二速度和x相遇時(shí)間？懈硼酗【時(shí)間二追及距離十速度差？速度和二相遇路程*相遇時(shí)間？追及距雕魂i度豌戈日2、3、4、工程問(wèn)題工作效率x工作時(shí)間二工作總量工作總量十工作時(shí)間=工作效率 最多、最少問(wèn)題人數(shù)最少多買(mǎi)貴的, 購(gòu)物、旅游合算問(wèn)題先計(jì)算后比較。 【例題精選】追及問(wèn)題速度差二追及距離十追及時(shí)間 人數(shù)最少多買(mǎi)便宜的。工作總量十工作效率二工作時(shí)間一、常見(jiàn)乘法計(jì)算:25 x 4= 10 0 1 2 5x 8= 1 0

5、 00三、加法結(jié)合律簡(jiǎn)算例子50+9 8+50=50+ 50+9848+4 0+6 0=48 8 + ( 4 0+60) =4 88+100=5 8 8=19 8四、乘法交換律簡(jiǎn)算例子五、乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算例子:2 5 x5 6 x499x 125x二26 x4x5 6=99x( 1 25x 8 )二1 0 x56=qqyinnn二5 60 0=9 9000六、含有加法交換律與結(jié)合律的簡(jiǎn)便計(jì)算65+28+ 3 5+72=(6 5+35) + (28+7 2 ) =100 +100=200七、含有乘法交換律與結(jié)合律的簡(jiǎn)便計(jì)算2 5 x 125 x 4 x 8 = (25x 4 )x (1 2 5x

6、8 )=1 00 x 1 000=10 0 00 0八、乘法分配律簡(jiǎn)算例子二、合并式135x 1 2 135x2=13 5x (122)、分解式25x(4 0+ 4)=25x 4 0 +25x 4=1000+100=1100=135 0三、特殊199 x 22 56+ =9 9x 2 56+ 2 5 6 x 二256 x (99+ 1 )=25600四、特殊245 xq 2=45x (100 + 2)=45x 100+45 x2=4 500+9 0五、特殊3六、特殊499 x26=(1 00 1)x 26=1 00 x 2 6 1 x35 x 8+4 x 35=35 x( 8+6 4)=35

7、x 10=4590=26002 6=350=2 5 7 4九、連續(xù)減法簡(jiǎn)便運(yùn)算例子：528 (1 5 0 + 128 )=4001 5 052 8 65 35528 一 8912 8=528 (6 5 +3=528 1 2 8895) 10 0=4 0 0 89=311=250十、連續(xù)除法簡(jiǎn)便運(yùn)算例子：3 2 0 - 25-4=3 200- (2 5x 4)=3 20 0 - 100=32十三、 其它簡(jiǎn)便運(yùn)算例子： 25658+442 50 + 8x 4=2 5 6 +44-58=250 x 4 - 8二 3 0 0 58=100 0 -8=242【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】一、積的變化規(guī)律練習(xí)題1、先用積的

8、變化規(guī)律填空，再用筆算或計(jì)算器驗(yàn)算。26x48= 1248 17x 12=20 426x 24=( )17x 24= ( ) 26?x 12=()17 x3 6=()2?、請(qǐng)學(xué)生完成下列計(jì)籍并在組內(nèi)述說(shuō)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。18x 2 4 = 105 x 45 = 1(? 8 - 2 )x (24x2)=(105 x 3) x (45 - 3)= 18(?x 2)x = (1 0 5 - 5) x( 45 x 5 )=3、在。中填上運(yùn)算符號(hào)，在口中填上數(shù)。24 x 75=1 8 0 0 3 6x 104=374 4 ? (2406) x (7 5x 6 ) =180 0 (36 x 4)x(1040

9、4)=3744(2403 )x (750 口)= 1 8 0 0 (3 6 0 )x (1040 口 )=37 4 4 4?、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是 256平方厘米，如果長(zhǎng)縮小4倍，寬擴(kuò)大4倍，這個(gè)長(zhǎng)方形就變成了正方形，這個(gè)正方形的面積是 多少？它的邊長(zhǎng)是多少？二、乘法的運(yùn)算律(一)在口里填上合適的，在()里填上運(yùn)算定數(shù)律。運(yùn)用了(29x)x 8 = 29x(12) 運(yùn)用了(2 5x6 7x 4= 25 xx 67運(yùn)用了(12 5 x( 400+q )=125 x 4 0 0+125 x 運(yùn)用了(運(yùn))8用了(用)72 + 57 + 43 = 72 + ( 5 7 + 43)壬執(zhí)尸一、手勢(shì)表示)并說(shuō)

10、明理(二)判斷，對(duì)的打“y,錯(cuò)的打“x”.(d4x 15=1 5x 4 .(2)(2 8 x 5)x 15= 28x( 5+ 1 5)() 43 x 2 7 =2 7 +43 (4) 1 0 1 x 63= 1 00 x 63+ 6 3 . 9 8x 15= 100 x 15+2x 1 5 .(三)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。 35+ 63 + 2 7(2)(1 0 3 3) x 15(3) 2 5x 44(4)1 4 x 32+69 x 1 4(四)體味生活中的數(shù)學(xué)一一購(gòu)物。王阿姨是開(kāi)商店的，今天她準(zhǔn)備到好多多超市批發(fā)下列清單中的商品，她帶了 3000元,如果要購(gòu)買(mǎi)這些商品，錢(qián)夠用嗎？請(qǐng)你幫王阿姨算一算

11、 ，看誰(shuí)的方法最巧妙。商品單價(jià)(元)數(shù)量德芙巧克力洗衣粉3615箱綠盛牛肉干17洗發(fā)露25【解決問(wèn)題】(1 )師徒兩人合作加工520個(gè)零件，師傅每小時(shí)加工30個(gè)，徒弟每小時(shí)加工20個(gè)，幾小時(shí)以后還有70個(gè)零件沒(méi)有加工？(2)甲、乙兩隊(duì)合挖一條水渠，甲隊(duì)從東往西挖 ，每天挖7 5米；乙隊(duì)從西往東挖，每天比 甲隊(duì)少挖5米，兩隊(duì)合作8天挖好，這條水渠一共長(zhǎng)多少米？(3 )甲、乙兩艘輪船從相距6 5 4千米的兩地相對(duì)開(kāi)出而行，8小時(shí)兩船還相距22千米。已知乙船每小時(shí)行42千米，甲船每小時(shí)行多少千米？(4) 一輛汽車(chē)和一輛自行車(chē)從相距1 7 2. 5千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，3小時(shí)后兩車(chē)相遇。

12、已知汽車(chē)每小時(shí)比自行車(chē)多行31. 5千米，求汽車(chē)、自行車(chē)的速度各是多少？(5)兩地相距2 7 0千米，甲、乙兩列火車(chē)同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇。已知甲車(chē)的速度是乙車(chē)的l 5倍，求甲、乙兩列火車(chē)每小時(shí)各行多少千米？(6)千米，從甲城開(kāi)往乙城的普通客車(chē)每小時(shí)行駛車(chē)從乙城開(kāi)往甲城，每小時(shí)行80千米,快車(chē)開(kāi)出幾小時(shí)后兩車(chē)相遇？甲、乙兩城相距68 060千米，2小時(shí)后，快(7)甲、乙兩車(chē)同時(shí)從相距480千米的兩地相對(duì)而行，甲車(chē)每小時(shí)行4 5千米，途中因汽車(chē)故障甲車(chē)停了 1小時(shí)，5小時(shí)后兩車(chē)相遇。乙車(chē)每小時(shí)行多少千米？(8)00米，甲、乙兩人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘走走83米，已經(jīng)行了 15分

13、鐘，還要行多少分鐘才可以相遇?a b兩地相距3 382米，乙每分鐘(9)兩地出發(fā)，相向而行。已知甲車(chē)每小時(shí)行甲、乙兩列汽車(chē)同時(shí)從 45千米，乙車(chē)每小時(shí)行3 2千米，相遇時(shí)甲車(chē)比乙車(chē)多行 52千米。求甲乙兩地相距多少千米？(10)行60米，姐姐騎自行車(chē)姐妹倆同時(shí)從家里到少年宮，路程全長(zhǎng)770米。妹妹步行每分鐘以每分鐘1 60米的速度到達(dá)少年宮后立即返回，途中與妹妹相遇。這時(shí)妹妹走了幾分鐘？(200 1年上海市金山區(qū)升級(jí)考試卷 )(1 1 )小明和小華從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。小明步行每分鐘走 6 0米，小華騎自行 車(chē)每分鐘行190米，幾分鐘后兩人在距中點(diǎn)6 50米處相遇？ (200 2年上

14、海市金山區(qū)升級(jí)考試卷)(12) a、e兩地相距30 0千米，兩輛汽車(chē)同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。各自達(dá)到目的地 后又立即返 回，經(jīng)過(guò)8小時(shí)后它們第二此相遇。已知甲車(chē)每小時(shí)行4 5去，千米，乙車(chē)每小時(shí)行多少千米？甲乙兩人分別同時(shí)從a、b兩地相向而行，相遇時(shí)距a地12 0米，相遇后，他們繼續(xù)前進(jìn) 到達(dá)目 的地后立即返回，在距a地150米再次相遇，求a、e兩地之間的距離。問(wèn)題補(bǔ)充：甲乙都是勻速前進(jìn)，請(qǐng)用四年級(jí)的方法來(lái)做，不要方程。四年級(jí)的方法如下：乙從第一次相遇到第二次相遇一共走了270(在2個(gè)全路程內(nèi))，平均每個(gè)全程走135因?yàn)槭莿蛩龠\(yùn)動(dòng)，所以第一個(gè)全程應(yīng)該也走了135,所以距離就等于135+120

15、=25 5【相遇問(wèn)題練習(xí)一】401、 甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上跑步，兩人朝相反的方向跑，第一次和第二次相隔秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？2、一輛公共汽車(chē)和一輛小轎車(chē)同時(shí)從相距2 9 9千米的兩地相向而行，公共汽車(chē)汽車(chē)每小時(shí)行 40千米，小汽車(chē)每小時(shí)行52千米。幾小時(shí)后兩車(chē)第一次相距6 9米。幾小時(shí)后又相距 6 9米？3、一列客車(chē)和一列貨車(chē)同時(shí)同地反向而行，貨車(chē)比客車(chē)每小時(shí)快6千米,3小時(shí)后相距342千米，求兩車(chē)的速度。4、 某列車(chē)通過(guò)2 50米長(zhǎng)的隧道用2 5秒通過(guò)2 1 0米長(zhǎng)的隧道用23秒。問(wèn)，該列車(chē)與另一列長(zhǎng)320米時(shí)速64. 8千米的列車(chē)錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒？5、 一列火車(chē)長(zhǎng)

16、150米,每秒行2 0米，全車(chē)通過(guò)一座長(zhǎng)450米長(zhǎng)的大橋，需要多長(zhǎng)時(shí)間？6、 甲乙兩人繞周長(zhǎng)1 2 0 0米的環(huán)形廣場(chǎng)沖走，已知甲每分走125米，乙的速度是甲的l 2現(xiàn)在倍，甲在乙的后面40 0米，追上甲需要多長(zhǎng)時(shí)間？小明以每分50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車(chē)去追小i、明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明。求小強(qiáng)騎自行車(chē)的速度 ？8、一架飛機(jī)從甲空港飛往乙空港,原計(jì)劃每分飛行9千米，現(xiàn)在按每分12千米的速度飛行，結(jié)果提前半小時(shí)到達(dá)，甲乙兩地相距多少千米?9、甲乙兩人練習(xí)跑步，若甲讓乙先跑1 0米，則甲跑 5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，則甲4秒可追上乙。問(wèn)甲乙兩人的

17、速度？1 0、甲乙兩車(chē)同時(shí)從a地開(kāi)往b地，甲車(chē)每小時(shí)行4。千米，乙車(chē)每小時(shí)行35千米，途中甲車(chē)因故障修車(chē)用了 3小時(shí)，結(jié)果甲車(chē)比乙車(chē)遲到1小時(shí)。 a b兩地相距多少？【相遇問(wèn)題練習(xí)二】1、甲乙兩輛汽車(chē)從相距60 0千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行4 5千米，乙車(chē)每小時(shí)行40千米，甲車(chē)先開(kāi)出2小時(shí)后，乙車(chē)才開(kāi)出。乙車(chē)行幾小時(shí)后與甲車(chē)相遇？2、一列火車(chē)于下午4時(shí)30分從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行1 2 0千米，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，另一列火車(chē)以同樣的速度從乙站開(kāi)出，晚上9時(shí)3 0分兩車(chē)相遇。甲乙兩站鐵路長(zhǎng)多少千米？3、快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，已知快車(chē)每小時(shí)行6 0千米，慢車(chē)每小時(shí)行千米，經(jīng)颯 小時(shí)后快

18、車(chē)經(jīng)過(guò)中點(diǎn)32千米處與慢車(chē)相遇。甲、乙兩地的路程是多少千米？4、甲、乙兩車(chē)從 a、b兩地同時(shí)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行40千米，乙車(chē)每小時(shí)行35千米，兩車(chē)在距中點(diǎn)15千米處相遇。a、b兩地相距多少千米？5、甲乙相距640,一“ 二一 ：, 千米，兩輛汽車(chē)同時(shí)從甲地開(kāi)往乙地，第一輛汽車(chē)每小時(shí)行46千米，第一輛汽車(chē)母小時(shí)仃3 4千米，第一輛汽車(chē)到達(dá)乙地后立即返回，兩輛汽車(chē)從開(kāi)出到相遇共與偶用了幾小時(shí)？6、哥哥和妹妹同時(shí)從甲到相距 54 0米遠(yuǎn)的學(xué)校上學(xué)，哥哥每分鐘走60米,妹妹每分鐘走48米，哥哥到達(dá)學(xué)校后發(fā)現(xiàn)忘了拿鉛筆，立即返回家去取，在途中遇到妹妹。從開(kāi)始上學(xué)到兩人再相遇共有多少分鐘？7、甲乙兩隊(duì)

19、學(xué)生從相距2 7 00米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，一個(gè)同學(xué)騎自行車(chē)以每分鐘150的 速度在兩隊(duì)之間不停地往返聯(lián)絡(luò)，甲隊(duì)每分鐘行25米，乙隊(duì)每分鐘行20米倆隊(duì)相遇時(shí)，騎自行車(chē)的同學(xué)共行了多少米？& ab兩人同時(shí)從相距3000米的家里相向而行,a每分鐘行70米,b每分鐘行80米，一只大狗 與他同 時(shí)出發(fā)，每分鐘行100米，狗與b相遇后立即掉頭向a跑去，遇到a后又向b跑去，直到ab兩人相 遇。這只狗一共跑了多少米？【單元測(cè)試】 一、填空。（1 6分）二 24 01、 （）- 125=8（ ）x 150=900 48x（2、一個(gè)因數(shù)二（）r ）,被除數(shù)=（）x （除數(shù)=（）+ （）,除法是乘法的（）.

20、3、在一個(gè)乘法算式中積是28 0,一個(gè)因數(shù)縮小5倍，另一個(gè)數(shù)擴(kuò)大10倍，積是（）4、根據(jù)34 x 12=408寫(xiě)出兩個(gè)除法（）、（）。5、甲數(shù)除以乙數(shù)，商是54,余數(shù)是700,如果乙數(shù)是90 0,甲數(shù)是（）6、2 x 5x 6 x 2x 5 x 5x 2積的末尾有（個(gè)零。7、2 846 + 6=441表示：（）能被（）整除，還可以表示:& 480 + ( 6 x ) = 2 026x (二、根據(jù)運(yùn)算定律在下面口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 1 5 x 16= 1 6 x 2 5x 7 x(6 ox 25) x =60 x( x 8) (12 5x )=125x(9x14)(4 3 +2 5)x 2 二x8

21、 x 4 7+8x 5 3 = x(17x( 18+)=1 7 x + 17x1三、下面哪個(gè)算式是正確的,正確打“2”(1) 26x (15+24) = 2 6x 1 5 + 24十 8)二 208(14 分)x 7錯(cuò)誤的打“x”。 （8 分）（(2)25 x( 40+4)=25 x 40+2 5 x 4(3 ) 75 x 27+ 2 5 x 2 7 = (75+2 5) x 2 7(4) 25x 3 2=25x 4x 8(5) (4 0 +2 )x 25 = 40+ 2 x 2 5(6) 102x 28 = 1 00 x 28 +2 x 28(8) )635x 94=635x 100-12x

22、 7四、怎樣算簡(jiǎn)便就 (18分)怎樣算。1 5 x4 x 25 x282 x 5+18 x870 勺五、選擇。(6分)51、把符合要求的算式序號(hào)填在括號(hào)里。 2 7 x 9= 9x 27 30+a+ 40= 30+4 0+a95 x 120+ 28(40+10) +50=40+ (10+50) 25x 11 = 11 x25 1 04 x 18=10 0x18本締m = m+24 2a、應(yīng)用加法交換律的算式有 時(shí)用乘法結(jié)合律的算式有應(yīng) 、用乘法分配律的算式有e 400減去24的差,除以13與1、 差積商2 457 x 99的簡(jiǎn)便算法是（ 、g7 x 9914 5 7 xi 0 0+457）94x 9 9 +94 = 94x 1 00 13x 5x