小學(xué)奧數(shù)——乘法原理與加法原理

1、乘法原理與加法原理在日常生活中常常會(huì)遇到這樣一些問題， 就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一 步時(shí)，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法， 就用我們將討論的乘法原理來解例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會(huì).其中，他從北京到大連可以乘長途汽 車、火車或飛機(jī)，而他從大連到天津卻只想乘船.那么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走 法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走.第一步是從北京到大連，可以有三種走法， 即：l殍瞿一君率第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共有下面的三種走法：3x 1=3.如果此人到大連后，可以乘船

2、或飛機(jī)到天津，那么他從北京到天津則有以下的走法：共有六種走法，注意到3x2=6.在上面討論問題的過程中，我們把所有可能的辦法一一列舉出來. 這種方法叫窮舉法.窮舉法對(duì) 于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的.在上面的例子中，完成一件事要分兩個(gè)步驟.由窮舉法得到的結(jié)論看到，用第一步所有的可能方 法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所有的方法數(shù).一般地，如果完成一件事需要？外步驟，其中，做第一步有？種不同的方法，做第二步有？冬種 不同的方法，做第？沖有？?種不同的方法，那么，完成這件事一共有？?= ? x* xx? 種不同的方法.這就是乘法原理.例1.某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種

3、，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？補(bǔ)充說明：由例題可以看出，乘法原理運(yùn)用的范圍是：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步 驟來完成；每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來完成.這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題.例2.右圖中有7個(gè)點(diǎn)和十條線段，一只甲蟲要從a點(diǎn)沿著線段爬到b點(diǎn)，要求任何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？例3.書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？例4.王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、 100米跑、200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問：報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？例5. 由數(shù)

4、字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析 在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定.所以，每個(gè)問題都可以 看成是分三個(gè)步驟來完成.要求組成不相等的三位數(shù).所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取 0,故有3種不同的取 法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有 4種不同的取法；個(gè)位上，也有 4種不同的取法.要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取 0,有3種不同的取法；十位上，由于百 位已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下0和其余兩個(gè)數(shù)字，故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位 已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)

5、數(shù)字中取，有 2種取法.例6. 由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？分析 要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個(gè)位上只有能取1、3、5中的一個(gè)，有3種不同的取法；十位上，可以從余下的五個(gè)數(shù)字中取 一個(gè)，有5種取法；百位上有4種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決.例7.右圖中共有16個(gè)方格，要把a(bǔ)、b、c、d四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子.問：共有多少種不同的放法？分析 由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi). 故可看成是分四步完成這件事.第一步 放棋子a, a可以放在16個(gè)方格中的任意

6、一個(gè)中，故有16種不同的放法；第二步放 棋子b,由于a已放定，那么放a的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放 b,故還 剩下9個(gè)方格可以放b, b有9種放法；第三步放c,再去掉b所在的行和列的方格，還剩下四個(gè)方 格可以放c, c有4種放法；最后一步放d,再去掉c所在的行和列的方格，只剩下一個(gè)方格可以放d, d有1種放法，本題要由乘法原理解決.例8. 現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至 多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析 要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來做.如先取一角的，再取 貳角的，最后取壹元的.但注意到，取

7、2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同 的.這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣 4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一 起來考慮.即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種.分析知，共可以組成從壹角到捌角 間的任何一種面值，共8種情況.（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳角的人民幣是一種情況；取 4 張壹角的人民幣與取2張貳角的人民幣是一種情況.）這樣一來，可以把它們看成是 8張壹角的人民 幣.整個(gè)問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢.這樣，第一步，從 8 張壹角的人民幣中??；第二步，從 3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3 .但要

8、注意， 要求“至少取一張”.生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可 能的做法.那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決.例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法.上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法.在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法. 在具體做的

9、時(shí)候，只要采用一類中的一種方 法就可以完成.并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù) 加上第二類的方法數(shù).一般地，如果完成一件事有？膜方法，第一類方法中有？種不同做法，第二類方法中有 ？?2種 不同做法，第？啜方法中有？?種不同的做法，則完成這件事共有 ？?= ? + ? + ? + ?種 不同的方法.這就是加法原理.例1.學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明借一本書可以有多少種不同的選 法？例2.一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些

10、小球顏色各不相同.問：從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？補(bǔ)充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干個(gè)步驟，一步接一步地去做才能完成這件事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法， 每一類方法中的一種做法都可以完成這件事.事實(shí)上，往往有許多事情是有幾大類方法來做的， 而每一類方法又要由幾步來完成，這就要熟悉 加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個(gè)原理.例3.如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到內(nèi)地有 2條路可走，從甲地到內(nèi)地有3條路可走.那么，從甲地到內(nèi)地共有多少種走法？分析 從

11、甲地到內(nèi)地共有兩大類不同的走法.；、第-類，由甲地途經(jīng)乙地到內(nèi)地.幺二第二類，由甲地直接到內(nèi)地.口 例4.如下頁圖，一只小甲蟲要從 a點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到b點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段不可重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲有多少種不同的走法？a 書分析 從a點(diǎn) 到b點(diǎn)有兩類走法，一類是從 a點(diǎn)先經(jīng)過c點(diǎn)到b點(diǎn)，一類是從a、點(diǎn)先經(jīng)過d點(diǎn)到b點(diǎn).兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，一x都要用乘法原理，而最后計(jì)算從 a到b的全部走法時(shí)，只要用加法原理求和即可.例5. 有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6.將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？

12、分析要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮.例6.從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字 4的自然數(shù)有多少個(gè)？分析 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理.要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理.補(bǔ)充說明：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個(gè) 0的三位數(shù)，如：把1看成是001 .把 兩位數(shù)看成是前面有一個(gè)0的三位數(shù).如：把11看成0

13、11.那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以 看成是“三位數(shù)”，除去500外，考慮不含有4的這樣的“三位數(shù)”.百位上，有0、1、2、3這四種 選法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個(gè)位上，也有九種選法.所以，除 500外，有4x9x 9=324個(gè)不含4的“三位數(shù)”.注意到，這里面有一個(gè)數(shù)是 000,應(yīng)該去掉.而500還 沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去.所以，從 1至i 500中，不含4的自然數(shù)仍有324個(gè).這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對(duì)“三位數(shù)”重新給予規(guī)定之后，問題很簡捷地 得到解決.例7.如圖，要從a點(diǎn)沿線段走到b,要求每一步都是向右、有多少種不同的走法？分析

14、觀察下頁左圖，注意到，從 a到b要一直向右、向上， 中c、d、e、f四點(diǎn)中的某一點(diǎn)的路線一定不再經(jīng)過其他的點(diǎn). 點(diǎn)的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過 c、d、e、f的路線.向上或者向斜上方.問那么，經(jīng)過下頁右圖也就是說從a到b自我檢測1 .某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有 4條路可以走.問，罪犯共有多少種逃走的方法？a2 .如右圖，在三條平行線上分別有一個(gè)點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)（且不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不共線）.在每條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)三角形.問：一共可以畫出多少個(gè)這樣的b c d e五三三三角形？f g h3 .在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù).共可以組成多少個(gè)不同的減法算式？4 . 一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員 a、b、c、d、巳由于某種原因，c不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任 何一個(gè)上.問：共有多少種不同的站位方法？5 .由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？6 .某市的電話號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0,其余各位數(shù)上可以是 09中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù).那么，這個(gè)城市最多可容納多少部電話機(jī)？1.如右圖，從