1993年湖南高考理科數學真題及答案

1、1993年湖南高考理科數學真題及答案一、選擇題（共17小題，每小題4分，滿分68分）1（4分）函數f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A2BCD2（4分）如果雙曲線的焦距為6，兩條準線間的距離為4，那么該雙曲線的離心率為（）ABCD23（4分）（2012北京模擬）和直線3x4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為（）A3x+4y5=0B3x+4y+5=0C3x+4y5=0D3x+4y+5=04（4分）極坐標方程所表示的曲線是（）A焦點到準線距離為的橢圓B焦點到準線距離為的雙曲線右支C焦點到準線距離為的橢圓D焦點到準線距離為的雙曲線右支5（4分）在1，1上是（）A增函數且是奇函數B增函數

2、且是偶函數C減函數且是奇函數D減函數且是偶函數6（4分）的值為（）ABCD7（4分）（2002廣東）設集合M=，N=，則（）AM=NBMNCMNDMN=8（4分）sin20cos70+sin10sin50的值是（）ABCD9（4分）參數方程（02）表示（）A雙曲線的一支，這支過點B拋物線的一部分，這部分過C雙曲線的一支，這支過點D拋物線的一部分，這部分過10（4分）若a、b是任意實數，且ab，則（）Aa2b2BClg（ab）0D11（4分）一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線的一支D拋物線12（4分）圓柱軸截面的周長l為定值，那么圓

3、柱體積的最大值是（）ABCD13（4分）（+1）4（x1）5展開式中x4的系數為（）A40B10C40D4514（4分）直角梯形的一個內角為45，下底長為上底長的，這個梯形繞下底所在的直線旋轉一周所成的旋轉體的全面積為（5+），則旋轉體的體積為（）A2BCD15（4分）已知a1，a2，a8為各項都大于零的等比數列，公式q1，則（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8a4+a5Ca1+a8=a4+a5Da1+a8和a4+a5的大小關系不能由已知條件確定16（4分）（2014黃山一模）設有如下三個命題：甲：相交直線l、m都在平面內，并且都不在平面內；乙：直線l、m中至少有一條與平面相交；丙：平面與平

4、面相交當甲成立時（）A乙是丙的充分而不必要條件B乙是丙的必要而不充分條件C乙是丙的充分且必要條件D乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件17（4分）將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有（）A6種B9種C11種D23種二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）18（4分）=_19（4分）若雙曲線=1與圓x2+y2=1沒有公共點，則實數k的取值范圍為_20（4分）從1，2，10這十個數中取出四個數，使它們的和為奇數，共有_種取法（用數字作答）21（4分）設f （x）=4x2x+1，則f1（0）=_22（4分）建造

5、一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為 _23（4分）如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點，如將DAE和CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為P，則面PCD與面ECD所成的二面角為_度三、解答題（共5小題，滿分58分）24（10分）已知f（x）=loga（a0，a1）（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；（3）求使f（x）0的x取值范圍25（12分）已知數列Sn為其前n項和計算得觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，并用數學歸納法加以證明26（12分）已知：平面

6、平面=直線a，同垂直于平面，又同平行于直線b求證：（1）a；（2）b27（12分）在面積為1的PMN中，tanPMN=，tanMNP=2建立適當的坐標系，求以M，N為焦點且過點P的橢圓方程28（12分）設復數z=cos+isin（0），并且，求參考答案與試題解析一、選擇題（共17小題，每小題4分，滿分68分）1（4分）函數f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A2BCD考點：三角函數中的恒等變換應用 分析：把三角函數式整理變形，變?yōu)閒（x）=Asin（x+）的形式，再用周期公式求出周期，變形時先提出，式子中就出現(xiàn)兩角和的正弦公式，公式逆用，得到結論解答：解：f（x）=sinx+cosx

7、=（=，T=2，故選A點評：本題關鍵是逆用公式，抓住公式的結構特征對提高記憶公式起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點2（4分）如果雙曲線的焦距為6，兩條準線間的距離為4，那么該雙曲線的離心率為（）ABCD2考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題分析：由雙曲線的焦距為6，兩條準線間的距離為4，能求出a，c，從而得到該雙曲線的離心率解答：解：由題意知，a2=6，c=3，故選C點評：本題考查雙曲線的離心率、準線方程、焦距，要求熟練掌握雙曲線的性質3（4分）（2012北京模擬）和直線3

8、x4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為（）A3x+4y5=0B3x+4y+5=0C3x+4y5=0D3x+4y+5=0考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程 分析：求出和直線3x4y+5=0關于x軸對稱的直線的斜率，再求出直線3x4y+5=0和x軸的交點，可求答案解答：解：和直線3x4y+5=0關于x軸對稱的直線，其斜率與直線3x4y+5=0的斜率相反，設所求直線為3x+4y+b=0，兩直線在x軸截距相等，所以所求直線是3x+4y+5=0故選B點評：本題是直線的對稱問題，一般要用垂直平分解答；本題方法較多，由于對稱軸是坐標軸，所以借助斜率，比較簡單4（4分）極坐標方程所表示的曲線是（）A焦點

9、到準線距離為的橢圓B焦點到準線距離為的雙曲線右支C焦點到準線距離為的橢圓D焦點到準線距離為的雙曲線右支考點：簡單曲線的極坐標方程 專題：計算題分析：利用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程，求出圓錐曲線的離心率和焦點到準線距離，從而確定選項解答：解：將原極坐標方程為，化成：極坐標方程為=，對照圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程得：e=1，表示雙曲線，且焦點到準線距離為故選B點評：本題主要考查了圓錐曲線的極坐標方程，屬于基礎題5（4分）在1，1上是（）A增函數且是奇函數B增函數且是偶函數C減函數且是奇函數D減函數且是偶函數考點：冪函數的性質 專題：數形結合分析：做出冪函數的圖象，根據冪函數的圖象與性質：可得在1，1上

10、的單調性和奇偶性解答：解：考查冪函數0，根據冪函數的圖象與性質可得在1，1上的單調增函數，是奇函數故選A點評：本題主要考查冪函數的圖象與性質，冪函數是重要的基本初等函數模型之一學習冪函數重點是掌握冪函數的圖形特征，即圖象語言，熟記冪函數的圖象、性質6（4分）的值為（）ABCD考點：極限及其運算 專題：計算題分析：分子分母都除以n2，原式簡化為，由此可得到的值解答：解：=點評：本題考查數列的極限，解題時要注意正確選用公式7（4分）（2002廣東）設集合M=，N=，則（）AM=NBMNCMNDMN=考點：集合的包含關系判斷及應用 分析：從元素滿足的公共屬性的結構入手，首先對集合N中的k分奇數和偶數

11、討論，易得兩集合的關系解答：解：當k=2m（為偶數）時，N=當k=2m1（為奇數）時，N=MMN故選B點評：本題主要考查集合表示方法中的描述法8（4分）sin20cos70+sin10sin50的值是（）ABCD考點：三角函數中的恒等變換應用 分析：從題目的結構形式來看，本題是要逆用兩角和或差的正弦余弦公式，但是題目又不完全符合，因此有一個整理的過程，整理發(fā)現(xiàn)，剛才直觀的認識不準確，要前后兩項都用積化和差，再合并同類項解答：解：原式=，故選A點評：在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點本題開始考慮時差點出錯，這是解題時好多同學要

12、經歷的過程9（4分）參數方程（02）表示（）A雙曲線的一支，這支過點B拋物線的一部分，這部分過C雙曲線的一支，這支過點D拋物線的一部分，這部分過考點：參數方程化成普通方程 專題：計算題分析：將參數方程化為普通方程，然后再對A、B、C、D進行判斷；解答：解：x=|cos+sin|，x2=1+sin，y=（1+sin），y=x2，是拋物線；當x=1時，y=；故選B點評：此題考查參數方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉化，根據實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題10（4分）若a、b是任意實數，且ab，則（）Aa2b2BClg（ab）0D考點：不等式比較大小 專題：綜合題

13、分析：由題意可知ab，對于選項A、B、C舉出反例判定即可解答：解：a、b是任意實數，且ab，如果a=0，b=2，顯然A不正確；如果a=0，b=2，顯然B無意義，不正確；如果a=0，b=，顯然C，lg0，不正確；滿足指數函數的性質，正確故選D點評：本題考查比較大小的方法，考查各種代數式的意義和性質，是基礎題11（4分）一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A圓B橢圓C雙曲線的一支D拋物線考點：雙曲線的定義 專題：計算題分析：設動圓P的半徑為r，然后根據P與O：x2+y2=1，F(xiàn)：x2+y28x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再兩式相

14、減消去參數r，則滿足雙曲線的定義，問題解決解答：解：設動圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1；圓x2+y28x+12=0的圓心為F（4，0），半徑為2依題意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，則|PF|PO|=（2+r）（1+r）=1|FO|，所以點P的軌跡是雙曲線的一支故選C點評：本題主要考查雙曲線的定義12（4分）圓柱軸截面的周長l為定值，那么圓柱體積的最大值是（）ABCD考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺） 專題：計算題；綜合題分析：設出圓柱的底面半徑和高，求出體積表達式，通過求導求出體積的最大值解答：解：圓柱底面半徑R，高H，圓柱軸截面的周長L為定值

15、：4R+2H=L，H=2R，V=SH=R2H=R2（2R）=R22R3求導：V=RL6R2令V=0，RL6R2=0，R（L6R）=0，L6R=0，R=，當R=，圓柱體積的有最大值，圓柱體積的最大值是：V=R22R3=故選A點評：本題考查旋轉體的體積，導數的應用，是中檔題13（4分）（+1）4（x1）5展開式中x4的系數為（）A40B10C40D45考點：二項式定理的應用 專題：計算題分析：先將展開式的系數轉化成幾個二項展開式系數乘積的和，再利用二項展開式的通項公式求出各個二項式的系數解答：解：展開式中x4的系數是下列幾部分的和：的常數項與（x1）5展開式的含x4的項的系數的乘積含x項的系數與（

16、x1）5展開式的含x3的項的系數的乘積含x2項的系數與（x1）5展開式的含x2的項的系數的乘積展開式的通項為（x1）5展開式的通項為Tk+1=C5rx5r（1）r=（1）rC5rx5r展開式中x4的系數為C40（C51）+C44（C53）=45故選項為D點評：本題考查數學的等價轉化的能力和二項展開式的通項公式的應用14（4分）直角梯形的一個內角為45，下底長為上底長的，這個梯形繞下底所在的直線旋轉一周所成的旋轉體的全面積為（5+），則旋轉體的體積為（）A2BCD考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺） 專題：計算題分析：由題意可知，這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，而這個幾何

17、體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積再根據題目中的條件求解即可解答：解：這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，圓的面積，直角腰為半徑，長方形的面積，圓的周長為長，上底為寬，扇形的面積，圓的周長為弧長，另一腰則為扇形的半徑設上底為x，則下底為，直角腰為，另一腰為整個面積式子為，解得x=2，因為x0，所以x=2舍去，x=2而這個幾何體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積，圓錐的高，下底減上底得圓錐的高為1，圓柱體積=Sh=h=122=2，圓錐體積=所以整個幾何體的體積為故選D點評：本題考查學生的空間想象能力，和邏輯思維能力，等量之間的轉換，是中檔題15（4分）已知a1，a2

18、，a8為各項都大于零的等比數列，公式q1，則（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8a4+a5Ca1+a8=a4+a5Da1+a8和a4+a5的大小關系不能由已知條件確定考點：等比數列 分析：用作差法比較即可解答：解：a1+a8（a4+a5）=a1（1+q7q3q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q1）2（1+q2）又a10，a1，a2，a8為各項都大于零的等比數列q0a1+a8（a4+a5）0故選A點評：本題考查比較法和等比數列通項公式的應用16（4分）（2014黃山一模）設有如下三個命題：甲：相交直線l、m都在平面內，并且都不在平面內；乙：直線l、m中至少有一條與平面相交；丙：平面與平面

19、相交當甲成立時（）A乙是丙的充分而不必要條件B乙是丙的必要而不充分條件C乙是丙的充分且必要條件D乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件考點：空間中直線與平面之間的位置關系；充要條件 專題：證明題；壓軸題分析：判斷乙是丙的什么條件，即看乙丙、丙乙是否成立當乙成立時，直線l、m中至少有一條與平面相交，則平面與平面至少有一個公共點，故相交相交反之丙成立時，若l、m中至少有一條與平面相交，則lm，由已知矛盾，故乙成立解答：解：當甲成立，即“相交直線l、m都在平面內，并且都不在平面內”時，若“l(fā)、m中至少有一條與平面相交”，則“平面與平面相交”成立；若“平面與平面相交”，則“l(fā)、m中至少有一條與平面相交

20、”也成立故選C點評：本題考查空間兩條直線、兩個平面的位置關系判斷、充要條件的判斷，考查邏輯推理能力17（4分）將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有（）A6種B9種C11種D23種考點：排列、組合及簡單計數問題 專題：計算題；壓軸題分析：首先計算4個數字填入4個空格的所有情況，進而分析計算四個數字全部相同，有1個數字相同的情況，有2個數字相同情況，有3個數字相同的情況數目，由事件間的相互關系，計算可得答案解答：解：根據題意，數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，共A44=24種填法，其中，四個數字

21、全部相同的有1種，有1個數字相同的有42=8種情況，有2個數字相同的有C421=6種情況，有3個數字相同的情況不存在，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有24186=9種，故選B點評：本題考查排列、組合的運用，注意此類題目的操作性很強，必須實際畫圖操作，認真分析二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）18（4分）=考點：任意角的三角函數的定義 專題：計算題分析：利用兩角和正玹公式展開，利用反三角函數值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）=故答案為；點評：本題考

22、查三角函數求值，不過學生對反三角函數不是很理解，希望學生能抓住實質，加大訓練量19（4分）若雙曲線=1與圓x2+y2=1沒有公共點，則實數k的取值范圍為k|或考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題分析：由雙曲線=1與圓x2+y2=1沒有公共點知圓半徑的長小于雙曲線的實半軸的長，由此可以求出實數k的取值范圍解答：解：雙曲線=1與圓x2+y2=1沒有公共點，|3k|1，解得或實數k的取值范圍為k|或答案為k|或點評：熟練掌握圓和雙曲線的圖象和性質即可順利求解20（4分）從1，2，10這十個數中取出四個數，使它們的和為奇數，共有100種取法（用數字作答）考點：組合及組合數公式；排列、組合的實際應用 分

23、析：根據題意，將這10個數分為奇數與偶數兩個組，每組各5個數；分析可得，若取出的四個數的和為奇數，則取出的四個數必有1個或3個奇數；分別求出兩種情況下的取法情況數，相加可得答案解答：解：根據題意，將這10個數分為奇數與偶數兩個組，每組各5個數；若取出的四個數的和為奇數，則取出的四個數必有1個或3個奇數；若有1個奇數時，有C51C53=50種取法，若有3個奇數時，有C51C53=50種取法，故符合題意的取法共50+50=100種取法；故答案為100點評：本題考查利用組合解決常見計數問題的方法，解本題時，注意先分組，進而由組合的方法，結合乘法計數原理進行計算21（4分）設f （x）=4x2x+1，

24、則f1（0）=1考點：反函數 專題：計算題分析：欲求f1（0），根據反函數的定義知，只要求出使等式4x2x+1=0，成立的x的值即可解答：解：4x2x+1=0，2x（2x2）=0，2x2=0得：x=1f1（0）=1故答案為1點評：本題主要考查了反函數的概念，屬于基礎題之列22（4分）建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為 1760考點：函數模型的選擇與應用 專題：應用題；壓軸題分析：欲求水池的最低造價，先設長x，則寬，列出總造價，是一個關于x的函數式，最后利用基本不等式求出此函數式的最小值即可解答：解：設長x，則寬

25、，造價y=4120+4x80+801760，當且僅當：4x80=80，即x=2時取等號故答案為：1760點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型23（4分）如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點，如將DAE和CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為P，則面PCD與面ECD所成的二面角為30度考點：與二面角有關的立體幾何綜合題 專題：計算題；壓軸題分析：二面角的度量關鍵在于作出它的

26、平面角，取CD的中點M，連接PM、EM，因為PD=PC，所以PMCD；同理因為ED=EC，所以EMCD，故PME即為面PCD與面ECD所成二面角的平面角解答：解：設正方形的邊長為2，取CD的中點M，連接PM、EM，PD=PC，PMCDED=EC，EMCD故PME即為面PCD與面ECD所成二面角的平面角在PME中：PE=1，PM=，EM=2，cosPME=PME=30故答案為：30點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力三、解答題（共5小題，滿分58分）24（10分）已知f（x）=loga（a0，a1）（1）求f（x）的定義域；（2）判

27、斷f（x）的奇偶性并予以證明；（3）求使f（x）0的x取值范圍考點：對數函數的定義域；函數奇偶性的判斷 分析：（1）求對數函數的定義域，只要真數大于0即可，轉化為解分式不等式（2）利用奇偶性的定義，看f（x）和f（x）的關系，注意到和互為倒數，其對數值互為相反數；也可計算f（x）+f（x）=0得到（3）有對數函數的圖象可知，要使f （x）0，需分a0和a0兩種境況討論解答：解：（1）由對數函數的定義知如果，則1x1；如果，則不等式組無解故f（x）的定義域為（1，1）（2），f（x）為奇函數（3）（）對a1，loga等價于，而從（1）知1x0，故等價于1+x1x，又等價于x0故對a1，當x（0，

28、1）時有f（x）0（）對0a1，loga等價于0而從（1）知1x0，故等價于1x0故對0a1，當x（1，0）時有f（x）0點評：本題考查對數函數的性質：定義域、奇偶性、單調性等知識，難度一般25（12分）已知數列Sn為其前n項和計算得觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，并用數學歸納法加以證明考點：數列遞推式；數學歸納法 專題：證明題分析：觀察分析題設條件可知然后再用數學歸納法進行證明解答：解：觀察分析題設條件可知證明如下：（1）當n=1時，等式成立（）設當n=k時等式成立，即則=由此可知，當n=k+1時等式也成立根據（1）（2）可知，等式對任何nN都成立點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要注意數學歸納法的證明步驟，注意培養(yǎng)計算能力26（12分）已知：平面平面=直線a，同垂直于平面，又同平行于直線b求證：（1）a；（2）b考點：直線與平面垂直的判定 專題：證明題；壓軸題分析：（1）在內任取一點P并于內作直線PMAB，PNAC，由面面垂直的性質得PM，PMa； 同理證明PNa，這樣a垂直于面內的2條相交直線，從而a（2）通過，同垂直于平面，又同平行于直線b，利用線面平行的性質定理證明，ba，由（1）知a，從而證得b解答：證明：（1）設=AB，=AC在內任取一點P并于內作直線PMAB，PNAC，PM而a，PMa同理PNa又PM，PN，