26.1.1二次函數(shù)的意義課件

1、噴泉(1)二次函數(shù) 如圖：正方體的六個面全是全等的正方形如圖，如圖：正方體的六個面全是全等的正方形如圖，設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為x，表面積為，表面積為yy = 6x2 顯然對于顯然對于x的每一個值，的每一個值，y都有一個對應(yīng)值，即都有一個對應(yīng)值，即y是是x的的函數(shù)，它們具體的關(guān)系可以表示為函數(shù)，它們具體的關(guān)系可以表示為問題問題1 多邊形的對角線數(shù)多邊形的對角線數(shù)d與邊數(shù)與邊數(shù)n有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 由圖中可以想出，如果多邊形有由圖中可以想出，如果多邊形有n條邊，那么它有條邊，那么它有_ 個個頂點(diǎn)頂點(diǎn) 從一個頂點(diǎn)出發(fā)，連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂點(diǎn)，可從一個頂點(diǎn)出發(fā)，連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂

2、點(diǎn)，可以作以作 條對角線條對角線 因為像線段因為像線段mn與與nm那樣，連接相同兩頂點(diǎn)的對角線是那樣，連接相同兩頂點(diǎn)的對角線是同一條對角線，所以多邊形的對角線總數(shù)同一條對角線，所以多邊形的對角線總數(shù)321nnd即即nnd23212n（n3）mn 上式表示了多邊形的對角線數(shù)上式表示了多邊形的對角線數(shù)d與邊數(shù)與邊數(shù)n之間的關(guān)之間的關(guān)系，對于系，對于n的每一個值，的每一個值，d都有一個對應(yīng)值，即都有一個對應(yīng)值，即d是是n的函數(shù)的函數(shù)問題問題2 ：某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是：某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件，計劃今后兩年增加產(chǎn)件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加量如果每年都比上一年

3、的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的將隨計劃所定的x的值而確定，的值而確定，y與與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件，一年后的產(chǎn)量是件，一年后的產(chǎn)量是 件，再經(jīng)件，再經(jīng)過過一年后的產(chǎn)量是一年后的產(chǎn)量是 件，即兩年后的產(chǎn)量為件，即兩年后的產(chǎn)量為2120 xy即即2040202xxy 式表示了兩年后的產(chǎn)量式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系，對于之間的關(guān)系，對于x的每一個值，的每一個值，y都有一個對應(yīng)值，即都有一個對應(yīng)值，即y是是x的函數(shù)的函數(shù)（20+20 x）（20

4、+20 x）+x（20+20 x）y y=6=6x x2 2d d= = n n2 2- - n n1 12 23 32 2y y=20=20 x x2 2+40+40 x x+20+20自變量函數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng) yy yd dx xx xn n 認(rèn)真觀察以上出現(xiàn)的三個函數(shù)解析式，分別說出哪些是常數(shù)、自變量和函數(shù)這些函數(shù)有什么共同點(diǎn)？這些函數(shù)自變量的最高次項都是二次的！二次函數(shù)的定義：二次函數(shù)的定義： 注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自變量，是自變量，axax2 2是二次項，是二次項，a a是是二次項系數(shù)二次項系數(shù) bxbx是一次項，是一次項，b b是一次項系數(shù)是一次項系數(shù) c c是常

5、數(shù)項。是常數(shù)項。 一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a 0a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 2 2、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為2 2, ,可以沒有一次項和常數(shù)項可以沒有一次項和常數(shù)項, ,但不能沒有二次項但不能沒有二次項. .0 ,為常數(shù)為常數(shù)kkxky 一次函數(shù)一次函數(shù)正比例函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a 0a 0） y=kxy=kx（k k是常數(shù)，是常數(shù)，k 0k 0） y=kx+b

6、y=kx+b（k,bk,b是常數(shù)，是常數(shù)，k 0k 0） 這些函數(shù)的名稱度反映了函數(shù)表達(dá)式與自變量的關(guān)系。這些函數(shù)的名稱度反映了函數(shù)表達(dá)式與自變量的關(guān)系。歸納概括是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界 你能根據(jù)以上四個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，給他們下一個確切的定義嗎值得同學(xué)們注意的是這里的a,為什么不能等于零，如果a等于零會是什么情況？1.1.下列函數(shù)中下列函數(shù)中, ,哪些是二次函數(shù)？哪些是二次函數(shù)？ (1)(1) y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1 (3) s=3-2t(3) s=3-2t (5)y=(x+3)(5)y=(x+3)-x-x (6)v=10r(6)v=10r2 21 1(4)y =(4)y =x

7、- xx - x（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7) y=x(7) y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）（否）（否）1 1y = x+y = x+x x(2)(2)1.下列函數(shù)中下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)哪些是二次函數(shù)?抓住機(jī)遇抓住機(jī)遇 展示自我展示自我2222) 1()4()1 ()3(1)2() 1 (xxyxxyxyxy是是不是不是是是不是不是先化簡后判斷先化簡后判斷例1: 關(guān)于x的函數(shù) 是二次函數(shù), 求m的值.mmxmy2) 1(解: 由題意可得0122mmm時，函數(shù)為二次函數(shù)。當(dāng)解得，22mm注意注意:二

8、次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為零二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為零練習(xí)、m取何值時，函數(shù)是取何值時，函數(shù)是y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函數(shù)？是二次函數(shù)？ 122 mm知識運(yùn)用知識運(yùn)用滿足什么條件時當(dāng)，是常數(shù)其中函數(shù)cb,a,)cb,a,c(bxaxy201a）解：（0, 0)2(ba0, 0, 0) 3(cba(2)它是一次函數(shù)？它是一次函數(shù)？(3)它是正比例函數(shù)？它是正比例函數(shù)？(1)它是二次函數(shù)它是二次函數(shù)?超級鏈接超級鏈接練習(xí)練習(xí)2、請舉、請舉1個符合以下條件的個符合以下條件的y關(guān)于關(guān)于x的的二次函數(shù)的例子二次函數(shù)的例子練一練練一練: :（1）二次項系數(shù)是一次項系數(shù)的）二次項系數(shù)是

9、一次項系數(shù)的2倍，倍，常數(shù)項為任意值。常數(shù)項為任意值。（2）二次項系數(shù)為）二次項系數(shù)為-5，一次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為常數(shù)項的常數(shù)項的3倍。倍。1一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積s與半徑與半徑r之間的關(guān)之間的關(guān)系式系式 練練 習(xí)習(xí)2n支球隊參加比賽，每兩隊之間進(jìn)行一場比賽寫支球隊參加比賽，每兩隊之間進(jìn)行一場比賽寫出比賽的場次數(shù)出比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)與球隊數(shù)n之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式22224srr rr rr 每個球隊都要跟（每個球隊都要跟（n-1）支球隊進(jìn)行比賽）支球隊進(jìn)行比賽,因此要進(jìn)行因此要進(jìn)行n(n-1)場比賽場比賽,由于甲隊與乙隊由于

10、甲隊與乙隊的比賽應(yīng)是同一場比賽所以總比賽數(shù)目的比賽應(yīng)是同一場比賽所以總比賽數(shù)目2111(1)222mn nnn開動腦筋開動腦筋 注意注意: :當(dāng)二次函數(shù)表示某個實際問題時當(dāng)二次函數(shù)表示某個實際問題時, ,還必還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍. .例如：圓的面積例如：圓的面積 y ( )y ( )與圓的半徑與圓的半徑 x x（cmcm) )的函數(shù)關(guān)系是的函數(shù)關(guān)系是 2cmy =x2其中自變量其中自變量x能取哪些值呢？能取哪些值呢？0 x問題問題：是否任何情況下二次函數(shù)中的自變量是否任何情況下二次函數(shù)中的自變量的取值范圍都是任意實數(shù)呢？的取值范圍都是任意實數(shù)呢？1.

11、用總長為用總長為60cm的鐵絲圍成矩形場地，矩形面積的鐵絲圍成矩形場地，矩形面積s(平方平方厘米厘米)與矩形的一邊長與矩形的一邊長x(cm)之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： 解：由題意得解：由題意得 y=x(30-x) 既既xo 60-2x0 0 x302.某機(jī)械公司第一月銷售某機(jī)械公司第一月銷售50臺，第三月銷售臺，第三月銷售y臺與月平均增長率臺與月平均增長率x之間的關(guān)之間的關(guān)系式系式解：由題意得解：由題意得 x表示增長率 x0 3.用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?解：設(shè)長方形一邊為x cm 則另一邊的長為(8-x)cm 長方形的面積為y平方厘米，由題意得

12、y=x(8x) 配方得當(dāng)x=4使y最大是162(4)16yx （1）寫出正方體的表面積s（cm2）與正方體棱長a（cm）之間的函數(shù)關(guān)系； （2）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x （cm）之間的函數(shù)關(guān)系；（3）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積s（cm與一對角線長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系（2）由題意得）由題意得 其中其中y是是x的二次函數(shù)；的二次函數(shù)；（3）由題意得）由題意得 其中其中s是是x的的 二次函數(shù)二次函數(shù))0(42xxy解解: （1）由題意得）由題意得 其中其中s是是a的二次函數(shù)的二次函數(shù)；)0(62aas)260(1321)26(212xxxxxs例2寫出下列各函數(shù)關(guān)系

13、，并判 斷它們是什么類型的函數(shù)展示才智展示才智 3、若函數(shù)、若函數(shù) 為二次函數(shù)，求為二次函數(shù)，求m的值。的值。mm221)x(my解：因為該函數(shù)為二次函數(shù)，解：因為該函數(shù)為二次函數(shù)，則則)2(01)1(222mmm解（解（1）得：）得：m=2或或-1解（解（2）得：）得：11mm且所以所以m=2 如果函數(shù)如果函數(shù)y=(k-3) +kx+1y=(k-3) +kx+1是二次函是二次函數(shù)數(shù), ,則則k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x敢于創(chuàng)新敢于創(chuàng)新0如果函數(shù)如果函數(shù)y= +kx+1y= +kx+1是二次函數(shù)是二次函數(shù), ,則則k k的值一定是的值

14、一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x0,3知識的升華已知函數(shù)已知函數(shù) (1) k(1) k為何值時，為何值時，y y是是x x的一次函數(shù)？的一次函數(shù)？ (2) k(2) k為何值時，為何值時，y y是是x x的二次函數(shù)？的二次函數(shù)？解解（1 1）根據(jù)題意得）根據(jù)題意得 k=1k=1時時,y,y是是x x的一次函數(shù)。的一次函數(shù)。002kkk22()2ykk xkxk當(dāng)時數(shù)2 2(2)k - k(2)k - k0,即0,即kk0且0且kk1 1y是y是x的x的二二次次函函 試一試:要用長20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，設(shè)連墻的一邊為x,巨形的面積為y,

15、試(1)寫出y關(guān)與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x=3時,距形的面積為多少?)220() 1 (xxy解：xx2022(ox10)my4232032)2(2例例2 2、當(dāng)當(dāng)m m為何值時，函數(shù)為何值時，函數(shù)y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函數(shù)的二次函數(shù)m-20且且m2-2=2m2 m=2 m=-2練習(xí)：練習(xí)：y y(m(m3)x3)xm m2 2m m4 4(m(m2)x2)x3 3，當(dāng)，當(dāng)m m為何值為何值時，時，y y是是x x的二次函數(shù)？的二次函數(shù)？ m=2小試牛刀小試牛刀 圓的半徑是圓的半徑是1cm,1cm,假設(shè)半徑增加假設(shè)半徑增加xcmxcm時時,

16、 ,圓的面積增加圓的面積增加ycmycm. .（1 1）寫出）寫出y y與與x x之間的函數(shù)關(guān)系表之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；達(dá)式；（2 2）當(dāng)圓的半徑分別增加）當(dāng)圓的半徑分別增加1cm, ,2cm1cm, ,2cm時時, ,圓的面積增加圓的面積增加多少？多少？2cm2cm今天學(xué)了哪些知識？1，=次函數(shù)的概念；2，實際問題列解析式回味無窮回味無窮定義定義中應(yīng)該注意的幾個問題中應(yīng)該注意的幾個問題: :小結(jié)小結(jié) 拓展拓展 1.1.定義：一般地定義：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的函數(shù)叫做的函數(shù)叫做x x的的二次函數(shù)二次函數(shù).

17、.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的幾種不同表示形式的幾種不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定義的實質(zhì)是：定義的實質(zhì)是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式, ,自變量自變量x x的最高次數(shù)的最高次數(shù)是二次是二次, ,自變量自變量x x的取值范圍是全體實數(shù)的取值范圍是全體實數(shù). .例例3:

18、已知關(guān)于已知關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為10,當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為4,當(dāng)當(dāng)x=2時時,函數(shù)值為函數(shù)值為7,求這求這個二次函數(shù)的解析試個二次函數(shù)的解析試.由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù),2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函數(shù)是待定系數(shù)法待定系數(shù)法4.4. 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=xy=x+px+q,+px+q,當(dāng)當(dāng)x=x=1 1時時, ,函數(shù)函數(shù)值為值為4,4,當(dāng)當(dāng)x=2x=2時時, ,函數(shù)值為函數(shù)值為- 5, - 5, 求這個二次求這個二次函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式. .2,yxpxq解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分別代入 函數(shù)得：14425pqp