《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》新課程高中數(shù)學(xué)必修4省優(yōu)質(zhì)課比賽說(shuō)課教案

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教材：在北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修4中，單位圓與正弦、余弦函數(shù)的內(nèi)容約4課時(shí)，下面筆者從教學(xué)背景分析、教學(xué)設(shè)計(jì)分析、目標(biāo)分析、過(guò)程分析、板書(shū)設(shè)計(jì)等方面談?wù)劇叭呛瘮?shù)的誘導(dǎo)公式”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì).一、教學(xué)背景分析（一）教材的地位和作用本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是4組三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義、三角函數(shù)線(xiàn)、同角三角函數(shù)關(guān)系等；啟下，學(xué)生將學(xué)習(xí)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行任意角三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容.同時(shí)，學(xué)生在初中就接觸過(guò)對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，對(duì)幾何圖形的對(duì)稱(chēng)等知識(shí)相當(dāng)熟悉，這些構(gòu)成了學(xué)生的知

2、識(shí)基礎(chǔ).誘導(dǎo)公式的作用主要在于把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復(fù)雜化簡(jiǎn)單、未知化已知的數(shù)學(xué)思想.（二）目標(biāo)定位誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計(jì)算器的普及，上述意義不是很大.我們認(rèn)為，誘導(dǎo)公式的教學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過(guò)幾何對(duì)稱(chēng)這個(gè)研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱(chēng)性質(zhì)）的代數(shù)解析表示.第二，學(xué)會(huì)初步應(yīng)用，能夠選用恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問(wèn)題并求解.第三，領(lǐng)悟思想方法，在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中領(lǐng)悟化歸、數(shù)形結(jié)合等思想

3、方法.第四，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)既是一個(gè)起源于圓周運(yùn)動(dòng)的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準(zhǔn)備.二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析在進(jìn)行本課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有以下兩條典型教學(xué)路線(xiàn)可供選擇：（1）兩個(gè)角的終邊有哪些特殊的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？（2）怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？筆者最終選擇了第一條路線(xiàn)，主要基于以下兩點(diǎn)考慮.（一）尊重教材的編寫(xiě)方式從對(duì)教材的分析來(lái)看，北師大版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來(lái)定位，力圖在單位圓中借助對(duì)稱(chēng)性來(lái)考察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，從而統(tǒng)整各組誘導(dǎo)公式.教材的編寫(xiě)處理體現(xiàn)了教材專(zhuān)家的集體智慧和版本教材的一貫特色，教師應(yīng)該努力體會(huì)和把握，不宜輕

4、率拋開(kāi)教材另搞一套.（二）切合學(xué)生的認(rèn)知水平利用學(xué)生熟悉的圓及其對(duì)稱(chēng)性研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理.同時(shí)，單位圓及其對(duì)稱(chēng)性的表象對(duì)學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式都將起到事半功倍的效果.三、教學(xué)環(huán)境分析根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況，確定選擇使用多媒體教室.四、教學(xué)目標(biāo)分析（一）知識(shí)與技能 1.能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式. 2.能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題.（二）過(guò)程與方法 1.經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關(guān)系式的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力. 2.通

5、過(guò)對(duì)誘導(dǎo)公式的探求和運(yùn)用，培養(yǎng)化歸能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.（三）情感、態(tài)度、價(jià)值觀 1.通過(guò)對(duì)誘導(dǎo)公式的探求，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度. 2.在誘導(dǎo)公式的探求過(guò)程中，運(yùn)用合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):探求a的誘導(dǎo)公式.a與a的誘導(dǎo)公式在小結(jié)a的誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)過(guò)程的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生推出.教學(xué)難點(diǎn):a，a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關(guān)系導(dǎo)致（與單位圓交點(diǎn)）的坐標(biāo)關(guān)系，運(yùn)用任意角三角函數(shù)的定義導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的“研究路線(xiàn)圖”.六、教學(xué)方法與教學(xué)手段 問(wèn)題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法，結(jié)合多媒體課件.七、教學(xué)過(guò)程角的概念已經(jīng)由銳角

6、擴(kuò)充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個(gè)具體的問(wèn)題.（一）問(wèn)題提出 如何將任意角三角函數(shù)求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0360角三角函數(shù)求值問(wèn)題. 【問(wèn)題1】求390角的正弦、余弦值.一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位置關(guān)系.即有sin(+k360) = sin，cos(+k360) = cos， (kz) tan(+k360) = tan.這組公式用弧度制可以表示成sin(+2k) = sin， cos(+2k) = cos， (kz) (公式一) tan(+2k) = tan.【設(shè)計(jì)意圖】前面的學(xué)習(xí)中

7、，已經(jīng)將角的概念從銳角擴(kuò)充到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來(lái)自然地會(huì)提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求.于是，先安排求特殊值再過(guò)渡到一般情形比較符合學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問(wèn)題和抽象問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值時(shí)抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系.同時(shí)，首先考慮+2k（kz）與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，有助于學(xué)生理解三角函數(shù)被看成刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中周期性變化的數(shù)學(xué)模型的確切含義.（二）嘗試推導(dǎo)如何利用對(duì)稱(chēng)推導(dǎo)出角- 與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系.由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等.反過(guò)來(lái)呢？如果兩個(gè)角的三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎?比

8、如說(shuō)：【問(wèn)題2】你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？ 角-與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),有sin( -) = sin，cos( -) = - cos， （公式二） tan(-) = - tan.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)問(wèn)題2的提問(wèn)方式的設(shè)計(jì)主要是考慮到我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候常常會(huì)研究它的逆命題、否命題、等價(jià)命題等.事實(shí)上問(wèn)題2可以看成是“若兩個(gè)角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個(gè)角的正弦值相同，則兩個(gè)角的終邊相同”.但這里是以問(wèn)題的形式提出的，實(shí)際上教會(huì)了學(xué)生一種自己研究問(wèn)題的方法. 思考請(qǐng)大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?因?yàn)榕c角終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)是角-，利用這種

9、對(duì)稱(chēng)關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).于是，我們就得到了角-與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進(jìn)而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線(xiàn)圖：角間關(guān)系對(duì)稱(chēng)關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函數(shù)值間關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】階段小結(jié)，讓學(xué)生將對(duì)稱(chēng)作為研究三角函數(shù)問(wèn)題的一種方法使用.將上述研究過(guò)程進(jìn)行梳理，得出“角間關(guān)系對(duì)稱(chēng)關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函數(shù)值間關(guān)系”的研究路線(xiàn)圖.（三）自主探究如何利用對(duì)稱(chēng)推導(dǎo)出+ ，- 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.剛才我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的角-與角a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，下面我們還可以研究什么呢？ 【問(wèn)題3】?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)

10、稱(chēng),你有什么結(jié)論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)呢？角-與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，有：sin(-) = -sin， cos(-) = cos，（公式三） tan(-) = -tan. 角 +與角終邊關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱(chēng)，有：sin( +) = -sin， cos( +) = -cos，（公式四）tan( +) = tan.上面的公式一到四都稱(chēng)為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.【設(shè)計(jì)意圖】從兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的情況進(jìn)行自然過(guò)渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們?cè)俅谓?jīng)歷公式的研究過(guò)程，從而得出公式三和四，并將問(wèn)題2研究方法一般化.（四）簡(jiǎn)單應(yīng)用 例：求下列各三角函數(shù)值： (1) ； (2) ；（3） .【設(shè)計(jì)意圖】

11、初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問(wèn)題的過(guò)程中，如何合理地使用這幾組公式.此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個(gè)三角函數(shù)的求值問(wèn)題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的多樣性.（五）回顧反思 【問(wèn)題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的?研究的過(guò)程中，你有哪些體會(huì)? 知識(shí)上，學(xué)會(huì)了四組誘導(dǎo)公式；思想方法層面：誘導(dǎo)公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系.主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.具體可以表示如下：【設(shè)計(jì)意圖】開(kāi)放式小結(jié)，使得不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲.這些問(wèn)題的提出，側(cè)重于誘導(dǎo)公式推導(dǎo)方法的回顧和反思，側(cè)重于個(gè)體情感體驗(yàn)的分享和表達(dá)，從而區(qū)別于側(cè)重公式規(guī)律的總結(jié)和記憶.（六）分層作業(yè) 1.閱讀課本，體會(huì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過(guò)程中的思想方法； 2.必做題：課本20頁(yè)a組1， 6，21頁(yè)b組 1； 3.選做題： （1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？ （2）角和角的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？【設(shè)計(jì)意圖】分層作