巧用定積分求極限(數(shù)學(xué)分析)[向上文苑]

1、定積分在求極限中的應(yīng)用1、知識準(zhǔn)備1.1緒論微積分學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的地位.然而,求極限又是微積分學(xué)中常常要面臨的問題.因此,積累更多求極限的方法應(yīng)是每位大學(xué)生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮,最常用的方法有極限的定義和性質(zhì),重要極限的結(jié)論,洛必達(dá)法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的定義時,往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯,只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進(jìn)行放縮便可得到相應(yīng)的結(jié)果.但是,這種方法一方面敘述上比較麻煩,另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴(yán)格,也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達(dá)法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分

2、式極限中分子或分母有加減運算的問題,通過泰勒展式后可以達(dá)到某些項抵消效果.但若仔細(xì)觀察這些方法,其特點不是表達(dá)較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識.事實上,微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時代學(xué)習(xí)過的加法與減法,乘法與除法,乘方與開方以及冪運算與取對數(shù)運算的關(guān)系一樣,他們互為逆運算.倘若也能用到積分學(xué)知識來解決求極限的問題,那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.1.2定積分的概念下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內(nèi)任意插入n-1個分點將分成n個區(qū)間,記,作乘積(稱為積分元),把這些乘積相加得到和式(稱為積分形式)設(shè),若極限存在唯

3、一且該極限值與區(qū)是的分法及分點的取法無關(guān),則稱這個唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分,記作,即.否則稱在上不可積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知,計算定積分與原函數(shù)有關(guān),故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在,區(qū)間進(jìn)行特殊分割,分點進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等,但反之不成立,這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn),請讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無關(guān),即仔細(xì)觀察定積分的定義,我們一定會發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個特征.第一,定積分是無窮項和式的極限,容易知道一般項在項數(shù)趨近于無窮大時極限值必然趨近于零,否則和式極限不存在.第

4、二,定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關(guān)系,它的一般項受到這一連續(xù)函數(shù)的約束,它是連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上進(jìn)行了無窮的分割,各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長度的乘積的累加.對于極限,大學(xué)主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關(guān)極限,而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關(guān)極限.那么就讓我們先一一來回憶它們吧！1.3極限的概念數(shù)列的極限設(shè)為數(shù)列, 為實數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時有, 則稱數(shù)列收斂于,實數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.(讀作:當(dāng)趨于無窮大時, 的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限,則稱不收斂,或稱為

5、發(fā)散數(shù)列.注1:關(guān)于:的任意性.定義中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正數(shù)可以任意小,說明與常數(shù)a可以接近到任何程度;的暫時固定性.盡管有其任意性,但一經(jīng)給出,就暫時地被確定下來,以便依靠它來求出;的多值性.既是任意小的正數(shù),那么等等,同樣也是任意小的正數(shù),因此定義中的不等式中的可用等來代替.從而“”可用“”代替;正由于是任意小的正數(shù),我們可以限定小于一個確定的正數(shù).注2:關(guān)于:相應(yīng)性,一般地, 隨的變小而變大,因此常把定義作來強調(diào), 是依賴于的;一經(jīng)給定,就可以找到一個;多值性的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的,因為對給定的,若時能使得當(dāng)時,有,則或更大

6、的數(shù)時此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實上,在許多場合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在實際使用中的也不必限于自然數(shù),只要是正數(shù)即可;而且把“”改為“”也無妨.函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù),對于任意給定的正數(shù)(不論它有多么小),總存在某正數(shù),使得當(dāng)滿足不等式時,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限,記為.可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的,都是相應(yīng)的某個表達(dá)上的值無限地接近某個常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離散的,數(shù)列中的項在跳躍式地接近,而函數(shù)是連續(xù)的,函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意程度地接近.2、

7、定積分與極限2.1定積分在求極限中應(yīng)用概述不難看出,無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限,它們都與定積分的定義存在著千絲萬縷的關(guān)系,那么就讓我們來揭曉它們之間玄機(jī)與奧秘吧.事實上,定積分的定義中蘊含著一列數(shù)的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近確定的實數(shù)J=,這正是極限思想的存在,即.這就為我們求極限提供了一種獨特而有力的方法利用定積分求極限.因為在積分學(xué)中有大量的積分公式,所以我們運用之解決眾多類型的和式極限.2.2定積分求極限中應(yīng)用思想的形成先讓我們看一個簡單的例子:例1.求極限.分析:此極限式的求解,不容易直接用極限的定義解決,因為該法往往是用來一邊計算一邊證明某個極限結(jié)果已經(jīng)比較明顯的

8、問題,因此這里不適合;重要極限的結(jié)論顯然也在這里沒有用武之地,因為形式上根本不同;再考慮洛必達(dá)法則,它不是無窮比無窮型的極限也非零比零型的極限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用來解決連續(xù)函數(shù)的極限問題,通過泰勒展式往往能把非多項式形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成多項式形式,以簡化形式從而求解,看來這里也不適用.那是不是就沒有什么合適的辦法了呢？答案當(dāng)然是否定的,事實上,它從形式上與定積分的定義還是有一些相像的,那么就讓我們嘗試用定積分的辦法來解決這個問題吧！解:把此極限式轉(zhuǎn)化為某個積分形式,從而計算定積分.為此做如下變形:.不難看出,其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個積分和(這里取得是等量分割

9、,).所以,J=.從該例題的解法中可以看出,本題的關(guān)鍵是將極限和轉(zhuǎn)化為積分和,從而利用了定積分將所求極限迎刃而解.于是,我們可以總結(jié)出定積分在求極限中應(yīng)用的一般方法步驟:Sept1將和式極限經(jīng)過變形,使其成為積分形式.這里常取;Sept2確定積分函數(shù)的上下限.a=;Sept3用x代換,寫出定積分表達(dá)式,并求出原極限的值.通過以上的一般方法步驟,我們在面對無窮項和式的極限問題時就有方可依,有法可循了.現(xiàn)在讓我們再來看一個例子,并從中仔細(xì)體會以上方法步驟.例2.求極限.解:Sept1 化和式極限為積分形式.原極限=.顯然,這里,被積函數(shù)可看成Sept2 確定積分函數(shù)上下限.Sept3 寫出積分表達(dá)

10、式并求出積分值.原極限=.對于本題,我們是緊緊按照剛剛總結(jié)出的方法步驟進(jìn)行的,并順利地求出了原題的極限值.這是一個具體的例子,那么我們是否可以總結(jié)出更為一般性結(jié)論呢？答案自然是肯定的.3、應(yīng)用定積分求極限3.1一般性結(jié)論的綜述及其應(yīng)用至此,我們可以得出如下結(jié)論:結(jié)論1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),將區(qū)間進(jìn)行等分,那么，.事實上,連續(xù)函數(shù)一定可積,而將區(qū)間進(jìn)行n等分也是分割的一種特殊情況.根據(jù)定積分的定義,上述結(jié)論成立.當(dāng)然,并不是所有的用到定積分求極限的問題中都要嚴(yán)格用到上面總結(jié)出的三個步驟,我們可視情況靈活處理,比如無需用到某一步驟或者還需用到其他求極限的思想等.下面我們再看一組求極限的習(xí)題,以充分

11、感受結(jié)論1的用途.習(xí)題組11)2)3) .這組習(xí)題都是無窮項式子和的極限問題,都可以把定積分的思想應(yīng)用到求極限中去.現(xiàn)在就讓我們用結(jié)論1來解決這些求極限的問題,并從不同習(xí)題中尋找出異同,以加深對結(jié)論1的掌握和認(rèn)識.解: (1) 分析 原極限顯然可以看成在上的定積分.故 (2)分析 先通過恒等變形,原極限式=,被積函數(shù),積分區(qū)間是,于是原極限值=;(3)分析 原和式極限的通項是不可以看成是關(guān)于的某一個函數(shù),但是注意到:應(yīng)用結(jié)論1,上面不等式左端可以取極限,即=,上面不等式右端可以取極限,即.于是,由極限的迫斂性可知原極限值=.這組題均典型地運用了定積分的計算,從而求出了各極限.我們發(fā)現(xiàn),只要找到

12、某個連續(xù)函數(shù),并能把這個和式極限轉(zhuǎn)化成積分形式,我們就只需計算出f(x)在0,1上的積分值,從而確定出原極限值.這三個習(xí)題中,例題1的式子無需再進(jìn)行恒等變形,因為其形式上已經(jīng)是f()了;習(xí)題2與習(xí)題3形式上直觀上不是f()的形式,因為式子與式子都不含的項.為此,我們需要對習(xí)題2以及習(xí)題3極限的式子進(jìn)行恒等變形,通過提取公因式等手段使其出現(xiàn)的因子.當(dāng)然有的題可能不容易找到對應(yīng)的連續(xù)函數(shù),例如習(xí)題3,我們可以用極限的一些性質(zhì),如極限的迫斂性,從而間接地求出原和式極限的極限值.3.2一般性結(jié)論的深化及推廣接下來,我們對結(jié)論1進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V,以得到更多形式的極限的求法.推論1如果函數(shù)均在上可積,證明:

13、首先, 均在上可積.又由于,所以,于是,=.例3.求極限:.解:由推論1可知,f(x)= 于是,原極限式=.推論2設(shè)例4.試求:.推論3如果函數(shù)在區(qū)間上可積,且.證明:記A=,則 例5.計算.解:本題也可以直接運用推論3,這三個推論是對結(jié)論1的必要補充與完善.形式上我們不僅有無窮項式子和的極限,還衍生出了無窮項式子乘積的極限.它們都是順著結(jié)論1的思路繼續(xù)進(jìn)行探索,從形式上豐富了定積分在求極限中應(yīng)用這一思想,但從本質(zhì)上講,它們與結(jié)論1是一致的.它們都緊緊抓住了定積分概念的實質(zhì),意識到定積分是無窮項和的極限,應(yīng)用數(shù)學(xué)的一些基本性質(zhì),對各式子進(jìn)行恒等變形,盡量把不同形式的極限向定積分定義中的和式上去

14、靠攏.最終通過簡單明了的定積分公式,求出定積分的值來,以確定出原極限的值.由這三個推論來看, 等形式的極限，我們都有方可循,用定積分的方法容易求出其極限來.對于任何一種數(shù)學(xué)方法,只要我們仔細(xì)地觀察與推究,都能將其結(jié)論或應(yīng)用范圍加以推廣,就像結(jié)論1.現(xiàn)在讓我們來看一組習(xí)題,以體會以上諸推論.現(xiàn)在,我們已經(jīng)積累了多種求和式極限的方法,它們是今后應(yīng)用定積分解決極限類問題的最佳模型與范例.那就再讓我們來看一組習(xí)題,以熟悉與鞏固 等形式的極限吧.下面這組習(xí)題綜合用到了以上各結(jié)論與推論.習(xí)題組2用定積分的方法計算下列各極限.(1);(2);(3);(4).解:分析 以上例題都容易恒等變形,使其滿足結(jié)論1或

15、者推論1至推論3的條件.于是,(1)(2)=，=(3) ;(4).3.3定積分在求極限中應(yīng)用思想的轉(zhuǎn)移至此,我們已經(jīng)深深的體會到了各種形式的定積分在極限中應(yīng)用的作用.僅僅于此,我們尚不能滿足,我們可以把定積分在求極限中的應(yīng)用思想借鑒到其他方面.例如,利用這種思想方法來證明一些不等式,或者用之解決一些復(fù)雜一點的求極限問題.下面將舉例說明.例6.證明:若函數(shù)在上連續(xù),且對于，有，則.證明:已知與在上都可積.將進(jìn)行等分,分點是.在第K個區(qū)間上取.由算數(shù)平均不小于幾何平均,有 .體會:本例恰巧反過來,將積分和轉(zhuǎn)化為極限和的形式,并運用了算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)這一結(jié)論,將問題化繁為簡.較好地認(rèn)識與掌

16、握定積分與極限之間的關(guān)系是解決本問題的關(guān)鍵.該例題說明,我們應(yīng)該充分認(rèn)識到定積分在極限中的作用,并能做到靈活變通,適當(dāng)情形下,二者可以相互轉(zhuǎn)化,將問題化難為易,從而達(dá)到解決問題的目的.例7.試求極限.分析:該問題似乎不能直接運用結(jié)論1或推論1至推論3來求極限.因為極限的表達(dá)式不容易化成以上結(jié)論或者推論的情形.但是,該問題的解決就真用不到定積分了嗎？答案是否定的.在解決該問題之前,還是先讓我們看一下沃利斯公式的由來吧！沃利斯公式:.證明:令,則當(dāng)時用分部積分法容易求得移項并整理后可得遞推公式:由于重復(fù)應(yīng)用上面的遞推公式可得,又由于,再將式代入,便可以得到,因為,根據(jù)極限的迫斂性可知.而,故得沃利

17、斯公式.現(xiàn)在讓我們來仔細(xì)看看沃利斯公式究竟與定積分有什么關(guān)系吧!事實上,在計算定積分時,我們巧妙地運用了定積分的遞推表達(dá)式,這樣我們才正真地尋找到了解決極限問題的金鑰匙,看來定積分的運算還是在其中發(fā)揮了不可低估的作用.那么就讓我們直接運用該公式來探究例8問題吧！根據(jù)沃利斯公式,可知.從某種程度上講,我們利用了定積分方法解決了例8中極限的問題.倘若我們采用其方法來求這個極限,恐怕會走一些彎路.3.4定積分在求極限中應(yīng)用思想的完善我們知道反常積分也是定積分在極限下定義出來的.以上的所有求極限問題都是將極限的表達(dá)式整體轉(zhuǎn)化成積分形式,從而應(yīng)用了定積分巧妙地求出了原極限的結(jié)果,那么能不能把定積分在求極

18、限中局部應(yīng)用呢？現(xiàn)在我們再來看一個有趣的問題,以便說明此問題.例8.證明:.分析:這個例題不同于前面所有的例題,前面的例題,我們都能迅速地將所求極限的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成,而本例不行,但它形式上與我們討論的定積分在求極限中應(yīng)用的例子非常相像,因為式子中有無窮多項和,所以我們就嘗試用定積分的方法來求它吧！把這個極限式子的分子進(jìn)行適當(dāng)變形.如果根據(jù)前面的經(jīng)驗,我們知道的.可是現(xiàn)在我們對兩個問題有所質(zhì)疑.第一,我們并沒有把原極限式直接轉(zhuǎn)化成積分形式;第二,即使局部用到了定積分,但我們知道的.事實上,原式經(jīng)變形后,我們會發(fā)現(xiàn)分子與分母中的無窮大量是等價的.即(這里我們統(tǒng)一了分子分母中的變量,統(tǒng)一用變量x,這里

19、已經(jīng)表示變量x是逐步趨近,由數(shù)學(xué)分析中歸結(jié)原理”,這個手段是不影響極限結(jié)果的).最后我們求得其結(jié)果,.由此可以看到,在求極限的問題中,定積分的思想不僅可以對表達(dá)式整體使用,也可以對其進(jìn)行局部使用.總之,只要我們善于思考書本上的一些概念以及分析它們之間聯(lián)系,我們就往往能夠游刃有余地把一種數(shù)學(xué)思想用于解決其他數(shù)學(xué)問題上.最后,讓我們再來總結(jié)一下,定積分在求極限中應(yīng)用時所應(yīng)該注意的幾個問題.第一,極限必須是無窮項和的極限,并且這些和的極限經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃沃竽苻D(zhuǎn)化為定積分的形式.第二,應(yīng)用定積分求極限時,往往還需要用到其他的一些求極限的方法和手段,例如極限的迫斂性,重要極限的結(jié)論,取對數(shù)手段等.第

20、三,求極限一類問題往往需要使用各種手段,這樣才能做到事半功倍.4、論文總結(jié)4.1再認(rèn)識數(shù)學(xué)通過以上探討,我們重新認(rèn)識了數(shù)學(xué).我們在進(jìn)行推理與應(yīng)用時,是有深切體會的.數(shù)學(xué)本身是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀豢茖W(xué),因為它是一種思維的工具,是一種思想方法,它還是一種理性的藝術(shù).數(shù)學(xué)是一種思維的工具.第一,數(shù)學(xué)具抽象性.數(shù)學(xué)概念是以極度抽象的形式出現(xiàn)的.本文中討論的定積分以及極限更是如此.與此同時,數(shù)學(xué)的研究方法也是抽象的,這就是說數(shù)學(xué)命題的真理性不能建立在經(jīng)驗之上,而必須依靠于嚴(yán)格的證明.當(dāng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際問題的研究時,其關(guān)鍵在于能建立一個較好的數(shù)學(xué)模型.我們在運用定積分求極限時,就已經(jīng)擁有了較好的數(shù)學(xué)模型函數(shù)模型.

21、在一個較好的數(shù)學(xué)模型上展開數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計算,以形成對問題的認(rèn)識,判斷和預(yù)測.這就是運用抽象思維去解決現(xiàn)實問題的體現(xiàn).第二,數(shù)學(xué)賦予科學(xué)知識以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性,是使認(rèn)識從感性階段發(fā)展到理性階段,并使理性認(rèn)識進(jìn)一步深化的重要手段.在數(shù)學(xué)中,每一個公式,定理都要嚴(yán)格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了“結(jié)論1”之后,相繼經(jīng)過嚴(yán)密的推理與論證后才拓展到了“推論1”至“推論3”.第三,數(shù)學(xué)是一種輔助工具和表現(xiàn)方式.我們在解決數(shù)學(xué)問題本身時,還必須依賴于數(shù)學(xué)中的其他相關(guān)方法思路.另外數(shù)學(xué)反映的是一種復(fù)雜而抽象事物內(nèi)部關(guān)系,但是我們?nèi)匀挥泻喢鞯臄?shù)學(xué)符號與形象鮮明的圖形等來表示它.無論是定

22、積分還是極限,其中都用到了豐富的數(shù)學(xué)符號,離開這些數(shù)學(xué)符號,我們的表達(dá)似乎顯得寸步難行.數(shù)學(xué)是一種思想方法.數(shù)學(xué)是研究量的科學(xué).它研究客觀對象量的變化,關(guān)系等,并在提煉量的規(guī)律性的基礎(chǔ)上形成各種有關(guān)量的推導(dǎo)和演算的方法.數(shù)學(xué)的思想方法體現(xiàn)著它作為一般方法論的特征和性質(zhì),是物質(zhì)世界質(zhì)與量的統(tǒng)一,內(nèi)容與形式的統(tǒng)一的最有效的表現(xiàn)方式.無論是定積分還是極限都離不開計算,這就意味著它們中都蘊含著量的變化.數(shù)學(xué)還是一種理性的藝術(shù).一般我們覺得,藝術(shù)與數(shù)學(xué)是兩種風(fēng)格與本質(zhì)都有著明顯不同的事物.它們一個處于高度理性化的峰頂,另一個則位于精神世界的樞紐地帶;一個是自然科學(xué)的代表,另一個則是美學(xué)的杰作.但是,在種

23、種表面上無關(guān)甚至完全不同的現(xiàn)象身后卻隱藏著藝術(shù)與數(shù)學(xué)相當(dāng)一致的一般意義.我們進(jìn)行學(xué)術(shù)研究純粹是我們進(jìn)取以及求知欲的驅(qū)使.藝術(shù)與數(shù)學(xué)都是公認(rèn)的地球語言.藝術(shù)與數(shù)學(xué)在描繪萬事萬物的過程中,還同時完善了自身的表現(xiàn)形式,這種表現(xiàn)形式最基本的載體便是藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自獨特的語言特征.其共同特點有(1)超文化性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)所表達(dá)的是一種帶有普遍意義的人類共同的心聲,因而它們可以超越時間和地域界限,實現(xiàn)不同文化群體之間的廣泛傳播和交流.(2)整體性.藝術(shù)的整體性來自于其藝術(shù)表現(xiàn)的普遍性和廣泛性;數(shù)學(xué)的整體性來自于數(shù)學(xué)統(tǒng)一的符號體系,各個分支之間的有力聯(lián)系,共同的邏輯法則和既約的表達(dá)方式.(3)簡明性.它首先表現(xiàn)

24、為很高的抽象程度,其次是凝凍與濃縮.(4)代表性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)語言各自代表性可以誘發(fā)某種強烈的情感體驗,喚起某種美的享受,而意義則在于把注意力轉(zhuǎn)向思維,上升為理念,成為表現(xiàn)人類內(nèi)心意圖的方式.(5)形式性.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自進(jìn)行的符號與信息的含義交換中,其共同的特征就是達(dá)到了實體與形式的分離.我們研究的定積分在求極限中的應(yīng)用,那種思想以及符號呈現(xiàn)方式可被世界人悅納.藝術(shù)與數(shù)學(xué)具有共同的精神價值.其共同的特點有:(1)自律性.數(shù)學(xué)價值的自律性是與數(shù)學(xué)價值的客觀性相關(guān)聯(lián)的;藝術(shù)的價值也是不能以人的意志而轉(zhuǎn)移.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值基本上是在自身框架內(nèi)被鑒別,鑒賞和評價的.(2)超越性.它們可以超越時空,彰顯

25、永恒.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值超越過程中,現(xiàn)實得以擴(kuò)張,延伸.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的超越性還表現(xiàn)為超前的價值.(3)非功利性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的非功利性是其價值判斷異于其他種類文化與科學(xué)的顯著特征之一.(4)多樣化,物質(zhì)化與廣泛化.在現(xiàn)代技術(shù)與商業(yè)化的推動下,藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值也開始發(fā)生升華,出現(xiàn)了各自價值在許多領(lǐng)域內(nèi)的散射,滲透,應(yīng)用,交叉等情況.定積分在求極限中的應(yīng)用,不僅僅貢獻(xiàn)于數(shù)學(xué)本身,它將逐漸在其他領(lǐng)域也發(fā)揮一定的作用.4.2結(jié)束語我們已經(jīng)見到了定積分在求極限問題中應(yīng)用的各種形式.事實上,只要我們對學(xué)過的某些概念用心的體會,并加以深刻的思考,我們就可能將其精髓運用到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域.正如我們這里把定積分與極限

26、結(jié)合起來,并進(jìn)行了適當(dāng)推廣,得到了較為滿意的結(jié)論和推論.本文主要給大家介紹了定積分在求極限中應(yīng)用.一開始我們就回憶了定積分以及極限等大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念.然后剖析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而尋找到了一種獨特的求極限的辦法借助定積分求極限.當(dāng)然,這種思想也并非空穴來風(fēng),它是源于教材中某些例題中具有創(chuàng)新性思想方法或者一些獨特的步驟.因為不是所有的數(shù)學(xué)概念之間經(jīng)過思考推理,相互之間就能建立起聯(lián)系來.因此,在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們務(wù)必對教材中的基本概念加深體會,尤其是要把相互之間或多或少存在著某種關(guān)系的概念加以比較與分析.然后對其進(jìn)行大膽的假設(shè),并進(jìn)行一定的邏輯證明.如果我們的假設(shè)成立,那就是我們發(fā)現(xiàn)的新事物,這對于我們發(fā)散思維與創(chuàng)新思維都是大有裨益的;假設(shè)不成立