初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的創(chuàng)設(shè)和教學(xué)探討

1、基于“模型思想”下數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的創(chuàng)設(shè)及教學(xué)探討石獅市第二中學(xué) 朱文澤全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011修改稿)新增了“模型思想”，強(qiáng)調(diào)：“模型也是數(shù)與代數(shù)的重要內(nèi)容，方程、方程組、不等式、函數(shù)等都是基本的數(shù)學(xué)模型” 。這給近兩年全國各地中考稍顯“降度”趨勢的“應(yīng)用性問題”注入了新的活力，給應(yīng)用性問題的創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)。一、解讀基于“模型思想”下應(yīng)用性問題的研究意義東北師范大學(xué)校長史寧中教授解讀修訂意見時(shí)說：“模型思想”是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設(shè)，它是生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模

2、型的一種思想方法。 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題乃數(shù)學(xué)的最高境界，也是學(xué)生高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。數(shù)學(xué)模型方法（俗稱“建?！保┎粌H是處理純數(shù)學(xué)問題的一種經(jīng)典方法，而且也是處理自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)生產(chǎn)中各種實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法。用數(shù)學(xué)方法解決某些實(shí)際問題，通常先把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型。所謂數(shù)學(xué)模型，是指從整體上描述現(xiàn)實(shí)原型的特性、關(guān)系及規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方程式。按廣義的解釋，從一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種數(shù)學(xué)方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)都稱之為模型。但按狹義的解釋，只有那些反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫數(shù)學(xué)模型。比如：

3、根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，列出方程進(jìn)行求解等。這些內(nèi)容有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，樹立模型思想。二、例析基于“模型思想”下應(yīng)用性問題的創(chuàng)設(shè)意圖（一）從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，是建立模型的出發(fā)點(diǎn)；數(shù)學(xué)問題源于生活、寓于生活、用于生活，具體情境的創(chuàng)設(shè)喚起了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生 “兩能”，即“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”具有積極意義的?！纠?】（2011泉州中考第24題）某班將舉行 “慶祝建黨90周年知識(shí)競賽” 活動(dòng)，班長安排小明購買獎(jiǎng)品，下面兩圖是小明買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長的對(duì)話情

4、境：請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問題：（1）試計(jì)算兩種筆記本各買了多少本？（2）請(qǐng)你解釋：小明為什么不可能找回68元？【評(píng)析】對(duì)話情境及對(duì)話場景的創(chuàng)設(shè)給學(xué)生親切感，似乎是重現(xiàn)自己的某次親身經(jīng)歷，是機(jī)智與幽默的對(duì)話，激活了考生的思維?！纠?】（2010泉州中考第24題）某蔬菜公司收購到一批蔬菜，計(jì)劃用天加工后上市銷售.該公司的加工能力是：每天可以精加工噸或者粗加工噸，且每噸蔬菜精加工后的利潤為元，粗加工后為元已知公司售完這批加工后的蔬菜，共獲得利潤元.請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）如果精加工天，粗加工天，依題意填寫下列表格：精加工粗加工加工的天數(shù)（天）獲得的利潤（元）（2）求這批蔬菜共多少噸.【

5、評(píng)析】文字與表格展示出生活與生產(chǎn)相聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值?！纠?】（2009泉州中考第27題）如圖，等腰梯形花圃abcd的底邊ad靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰ab的長為x米.（1）請(qǐng)求出底邊bc的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若bad=60, 該花圃的面積為s米2.求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要指出自變量x的取值范圍）， 并求當(dāng)s=時(shí)x的值；如果墻長為24米，試問s有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？【評(píng)析】注意代數(shù)的各部分知識(shí)間的相互聯(lián)系，互相補(bǔ)充，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想?！締⑹尽繎?yīng)用性問題情境都是來源于生活，學(xué)生較為熟悉，設(shè)計(jì)呈現(xiàn)形式多以對(duì)話，表格，圖形等為信息，體現(xiàn)了

6、“以生為本”的新課程理念。 （二）用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是建立模型的過程；【例4】（2011湖北荊州第23題）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情，為抗旱保豐收，某地政府制定民農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼辦法，其中購買型、型抗旱設(shè)備所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系.型 號(hào)金 額 型 設(shè) 備 型 設(shè) 備投資金額x（萬元）x5x24補(bǔ)貼金額y（萬元）y1=kx (k0)2y2=ax2+bx (a0)2.43.2（1）分別求出和的函數(shù)解析式；（2）有一農(nóng)戶同時(shí)對(duì)型、型兩種設(shè)備共投資10萬元購買，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大補(bǔ)貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補(bǔ)貼金額.【

7、評(píng)析】表格呈現(xiàn)的符號(hào)與數(shù)量，反映了自變量和函數(shù)關(guān)系之間的關(guān)系，待定系數(shù)法思想?！纠?】（2010石獅七末第25題）某工廠用鋁合金材料加工一批形狀如圖1所示的長方形窗框，窗框的內(nèi)部安裝透明玻璃.（鋁合金材料的寬度都相同，接口用料忽略不計(jì).）（1）用含的代數(shù)式表示制作一個(gè)該種窗框所需鋁合金材料的總長度；（2）已知每根鋁合金原材料的長為厘米，鋁合金材料費(fèi)100元/根，若要做50個(gè)如圖1所示的鋁合金窗框，至少需要鋁合金材料費(fèi)多少元？請(qǐng)說明怎樣裁料.（3）圖2是由兩扇如圖1所示的玻璃窗組裝成且處于完全關(guān)閉狀態(tài)的窗戶，圖3是由圖2開窗通風(fēng)時(shí)的示意圖. 求鋁合金材料的寬度；（用含的代數(shù)式表示）當(dāng)時(shí)，求完全打

8、開玻璃窗時(shí)的最大通風(fēng)面積；（精確到0.1平方厘米）圖1圖2圖3（單位厘米）【啟發(fā)】新課標(biāo)(2011修改稿)把“符號(hào)感“修改為“符號(hào)意識(shí)”，主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。（三）求出模型的結(jié)果并討論結(jié)果的意義，是求解模型的過程?！纠?】（2011石獅九末第25題）某快餐店試銷某種套餐，試銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費(fèi)用為600元（不含套餐成本） 若每份套餐售價(jià)不超過10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價(jià)超過10元，每提高1元，每天

9、的銷售量就減少40份為了便于結(jié)算，每份套餐的售價(jià)(元）取整數(shù)，用(元)表示該店每天的純收入（1）若每份套餐售價(jià)不超過10元.試寫出與的函數(shù)關(guān)系式；若要使該店每天的純收入不少于800元，則每份套餐的售價(jià)應(yīng)不低于多少元？（2）該店把每份套餐的售價(jià)提高到10元以上，每天的純收入能否達(dá)到1560元？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，求出每份套餐的售價(jià)應(yīng)定為多少元時(shí)，既能保證純收入又能吸引顧客？【簡析】（1）.（） 依題意得：， 解得：， 10，且每份套餐的售價(jià)(元)取整數(shù)，每份套餐的售價(jià)應(yīng)不低于9元. （2）依題意可知：每份套餐售價(jià)提高到10元以上時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，解得：， 為保證凈收入又吸引顧客，應(yīng)取，即不符

10、合題意.故該套餐售價(jià)應(yīng)定11元. 【啟發(fā)】很多同學(xué)在解答應(yīng)用性問題時(shí)，重視審題、分析數(shù)量關(guān)系、建模等，往往忽略檢驗(yàn)，對(duì)模型結(jié)果的解釋過程，可以幫助學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度更清晰地描述現(xiàn)實(shí)世界。三、構(gòu)建基于“模型思想”下應(yīng)用性問題的長效教學(xué)策略一線教師在應(yīng)用性問題的復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，無不抱怨：“應(yīng)用題我都講了千百遍，學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)一點(diǎn)也不見增強(qiáng)，遇到應(yīng)用題總是一籌莫展”。但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：問題情境和數(shù)量關(guān)系是它的兩個(gè)基本構(gòu)成要素，而由于數(shù)量關(guān)系或其運(yùn)算通常是隱含在文字、圖表的信息之中的，其解決需要較復(fù)雜的抽象思維和驗(yàn)證推理。而就學(xué)生解決應(yīng)用性問題的常規(guī)思路來說，數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題解決的難點(diǎn)主要在于將問題情境向數(shù)學(xué)

11、問題的轉(zhuǎn)化，也就是我們要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從所熟悉的生活情境和相關(guān)的學(xué)科的實(shí)際問題出發(fā)，幫助學(xué)生度過信息轉(zhuǎn)換、整合、提煉的難關(guān)，歸納、抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而把實(shí)際應(yīng)用性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，基于“數(shù)學(xué)思想”，追求有效的復(fù)習(xí)教學(xué)策略。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的，通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算和法則，通過推理使得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界（應(yīng)用性問題）的聯(lián)系。四、探討基于“模型思想”下應(yīng)用性問題的復(fù)習(xí)迎考行動(dòng)1、落實(shí)“四基”仍然是應(yīng)用性問題復(fù)習(xí)迎考的前提與基礎(chǔ)，否則“數(shù)學(xué)模型”就

12、成為無本之木，無源之水我們的教材中已經(jīng)給我們展現(xiàn)了許多的數(shù)學(xué)模型，雖然涉及的是與社會(huì)、生活、科學(xué)、生產(chǎn)聯(lián)系十分密切的事例，但教師復(fù)習(xí)教學(xué)必須先抓好“四基”，即：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能使我們的“模型”更具有針對(duì)性。詳見下表：模型名稱數(shù)學(xué)知識(shí)生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用情境舉例方程（組）模型一元一次方程一元二次方程二元一次方程組分式方程覆蓋到生活實(shí)際的各方面情境創(chuàng)設(shè)類型的數(shù)量關(guān)系平均增長率不等式模型一元一次不等式市場營銷，生產(chǎn)決策，投資方案函數(shù)模型一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)市場營銷、生產(chǎn)決策、投資方案的最大最小最優(yōu)圖象信息、函數(shù)擬合幾何模型解直角三角形線，多邊形，圓航海，測量美工設(shè)計(jì)

13、，建筑設(shè)計(jì)，區(qū)域規(guī)劃統(tǒng)計(jì)、概率模型平均數(shù)，方差頻率分布，概率調(diào)查，報(bào)表，統(tǒng)計(jì)，概率【例7】（2010石獅九末第24題）為了估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量。2008年從某市共600家高、中、低檔快餐廳中抽取10家作為樣本，這些快餐廳每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、2.1、1.2、3.2、1.0(1)通過對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該市2008年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個(gè)營業(yè)日計(jì)算)；(2)2010年又對(duì)該市一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果是10個(gè)樣本快餐廳中每個(gè)快餐廳平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該市2008、2009這兩年一次

14、性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率（假定2009年、2010年該市快餐廳數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)與2008年相同）。（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07 m3，求該市2010年使用一次性木質(zhì)筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅，計(jì)算中需用到的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材密度為0.5103kg/m3.【評(píng)析】本題是一道綜合性非常強(qiáng)的學(xué)科滲透綜合題，模型建立涉及到統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)、一元二次方程及物理中的密度公式等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！締⑹尽拷y(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，銜接高中階段有關(guān)與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用問題。作為學(xué)生要學(xué)會(huì)深刻理解基本統(tǒng)計(jì)思想，要善于提出

15、問題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的“模型”，做出決策，并能進(jìn)行有效的交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn)策略。2、提高信息捕捉能力，幫助學(xué)生建立“符號(hào)意識(shí)”是應(yīng)用性問題復(fù)習(xí)迎考的訓(xùn)練重點(diǎn)，也是正確建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵所在閱讀一個(gè)問題情境，需要在問題的文字語言或圖表中捕捉信息，并將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，以數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言和符號(hào)語言）為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流。教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)學(xué)生解決應(yīng)用性問題的關(guān)鍵在于語言和符號(hào)間的轉(zhuǎn)化，符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，有了“符號(hào)”才能從合理的角度對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題進(jìn)行理解和抽象。教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言和符號(hào)互譯的訓(xùn)練，在審題之后，學(xué)生對(duì)于其

16、中數(shù)學(xué)語言的理解能力還應(yīng)該通過多個(gè)角度的訓(xùn)練才能有較大的提高，比如：學(xué)會(huì)說數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)議數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)寫數(shù)學(xué)等，從而幫助學(xué)生建立“符號(hào)意識(shí)”，讓他們能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理?！纠?】（2011湖北黃石第23題）今年，號(hào)稱“千湖之省”的湖北正遭受大旱，為提高學(xué)生環(huán)保意識(shí)，節(jié)約用水，某校數(shù)學(xué)教師編造了一道應(yīng)用題：月用水量（噸）單價(jià)（元 / 噸）不大于10噸部分1.5大于10噸不大于m噸部分 （20m50）2大于m噸部分3為了保護(hù)水資源，某市制定一套節(jié)水的管理措施，其中對(duì)居民生活用水收費(fèi)作如下規(guī)定：（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應(yīng)繳納的水費(fèi)；（2）記

17、該戶六月份用水量為x噸，繳納水費(fèi)y元，試列出y關(guān)于x的函數(shù)式；（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納消費(fèi)y元的取值范圍為70y90，試求m的取值范圍?！驹u(píng)析】解答本題要結(jié)合“用水收費(fèi)”的一些基本常識(shí)，并綜合利用方程組模型和不等式模型才能解決。考查了學(xué)生從表格中獲取信息的能力和“符號(hào)意識(shí)”。3、豐富生活背景，增強(qiáng)建模意識(shí)，培養(yǎng)多向思維，開闊建模思路，提高建模能力數(shù)學(xué)模型不同于一般的模型，它反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，即把一個(gè)實(shí)際問題中某些事物的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言，近似地反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程。建立數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模，它主要有三個(gè)步驟：實(shí)際問

18、題數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)的解；數(shù)學(xué)的解實(shí)際問題的解。數(shù)學(xué)建模的問題都有假設(shè)條件及要達(dá)到的目標(biāo)，建模就是要將條件與目標(biāo)聯(lián)系起來，這種聯(lián)系是多向的，要完成它，不僅需要順向思維，也需要逆向思維，更需要多向思維的結(jié)合，這也體現(xiàn)了列代數(shù)式是基礎(chǔ)，方程是核心，函數(shù)是紐帶，不等式發(fā)揮著重要作用。所以，一線教師要通過各種途徑培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，提高學(xué)生的建模能力?！纠?】（2010石獅質(zhì)檢第25題）某商店計(jì)劃購進(jìn)某型號(hào)的螺絲、螺母進(jìn)行銷售，有關(guān)信息如下表： 原進(jìn)價(jià)(元/個(gè))零售價(jià)(元/個(gè))成套售價(jià)(元/套)螺絲1.02.0螺母0.6 （1）已知用50元購進(jìn)螺絲的數(shù)量與用20元購進(jìn)螺母的數(shù)量相同，求表中的值；（2）若該店購進(jìn)螺母數(shù)量是螺絲數(shù)量的3倍還多200個(gè)，且兩種配件的