37.正態(tài)分布與3σ原則

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學(xué)叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(三-37):正態(tài)分布與3原則(807) 0295 正態(tài)分布與3原則 母題(三-37):(北師大a版選修2-3p75例題)某設(shè)備在正常運(yùn)行時,產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布,其參數(shù)=500g,2=1.為了檢查設(shè)備運(yùn)行是否正常,質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品,測量其質(zhì)量.當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個產(chǎn)品,測得其質(zhì)量為504g,他立即要求停止生產(chǎn)檢查設(shè)備.他的決定是否有道理呢？解析:如果設(shè)備正常運(yùn)行,產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布.根據(jù)題意和正態(tài)分布的性質(zhì)可知,產(chǎn)品質(zhì)量在500-3=497g和500+

2、3=503g之間的概率為0.9974,而質(zhì)量超過這個范圍的概率只有0.0026,這是一個幾乎不可能出現(xiàn)的事件.但是確實(shí)抽出了504g的產(chǎn)品,說明設(shè)備的運(yùn)行極可能不正常,所以檢驗(yàn)員的決定是有道理的.點(diǎn)評:正態(tài)分布是高中唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,也是概率論中的最重要的分布之一,許多概率分布(統(tǒng)計(jì)中的頻率分布)都可以用正態(tài)分布模擬研究;若xn(,2),則:p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974;正態(tài)分布的一個重要應(yīng)用是3原則:因x的取值幾乎全部集中在區(qū)間(-3,+3)內(nèi),超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%,其概率只有0.0026,通常認(rèn)為

3、:隨機(jī)變量x在區(qū)間(-3,+3)之外的取值幾乎不可能發(fā)生(小概率事件);隨機(jī)變量x只取區(qū)間(-3,+3)內(nèi)的值,這就是3原則. 子題(1):(2014年課標(biāo)高考試題)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:()求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);()由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值z服從正態(tài)分布n(,2),其中近似為樣本平均數(shù),2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求p(187.8z212.2);(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記x表示這100件產(chǎn)品中

4、質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求ex.附:12.2,若xn(,2),則p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544.解析:()由=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200s2=(170-200)20.02+(180-200)20.09+(190-200)20.22+(200-200)20.33+(210-200)20.24+(220-200)20.08+(230-200)20.02=150;()(i)由()知zn(200,150)=200,=12.2p(187

5、.8z212.2)=p(200-12.2z200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知,一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826xb(100,0.6826)ex=1000.6826=68.26. 注:由參考數(shù)據(jù):若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974,求p(axb)是正態(tài)分布的基本問題之一,基本方法是由-k=a或b=+k求k,并由其對稱性,求解. 子題(2):(2013年湖北高考試題)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)x是服從正態(tài)分布n(800,502)的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙

6、地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.()求p0的值(參考數(shù)據(jù):若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974); 0296 母題(三-37):正態(tài)分布與3原則(807) ()某客運(yùn)公司用a、b兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天往返一次.a、b兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求b型車不多于a型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備a型車

7、、b型車各多少輛？解析:()由xn(800,502)=800,=50p(x900)=p(x800)+p(800x900)=p(x800)+p(700x900)=p(x800)+p(800-250x800+250)=p(x)+p(-2x+)=+0.9544=0.9772;()設(shè)a型、b型車輛的數(shù)量分別為x,y輛,則相應(yīng)的營運(yùn)成本z=1600x+2400y;依題意x,y還需滿足:x+y21,yx+7,p(x36x+60y)p0=0.977236x+60y900可行域如圖所示,可行域的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為p(5,12),q(7,14),r(15,6);由圖知,當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過可行域

8、的點(diǎn)p時,直線:z=1600x+2400y在y軸上截距最小,即z取得最小值應(yīng)配備a型車、b型車各5、12輛. 注:由參考數(shù)據(jù):若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3a)是正態(tài)分布的又一基本問題,基本方法是:當(dāng)b時,則p(xb)=p(x)+p(xb)=+p(2-bxb);當(dāng)b時,則p(xb)=p(x)-p(bx)=-p(bxa). 子題(3):(2006年湖北高考試題)在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中,全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布n(70,100),己知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12名.()試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？()若該校計(jì)劃

9、獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生,試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(x0)=p(xx0):解析:()設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為,(法一)由n(70,102)p(90)=1-p(90)=1-()=1-(2)=0.0228成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%參賽的學(xué)生總數(shù)為526;(法二)由p(90)=1-p(50x90)=1-p(-2x+2)=(1-0.9544)=0.0228,以下同上;()假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分,則p(n)=1-p(x)=1-()=0.0951()=0.9049,查表得:1.31x83.1設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分. 注:正態(tài)分

10、布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的互換公式:p(x)=(),p(ab)=()-(). 子題系列:1.(2012年課標(biāo)高考試題)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布n(1000,502),且各個元件能否正常工作互相獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 .2.(人教a版選修2-3習(xí)題2.4.a組第2題(p75)商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量服從正態(tài)分布n(10,0.12)(單位:kg),任選一袋這種大米,質(zhì)量在9.810.2kg的概率是多少？ 母題(三-37):正態(tài)分布與3原則(807) 0297 子題詳解:1.解:三個電子元