全國高考理科數(shù)學試題分類匯編4：數(shù)列 Word版含答案（ 高考）

1、2013年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編4：數(shù)列一、選擇題 （2013年高考上海卷（理）在數(shù)列中,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為( )(a)18 (b)28 (c)48 (d)63【答案】a. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）word版含答案（已校對）已知數(shù)列滿足,則的前10項和等于(a) (b) (c) (d)【答案】c （2013年高考新課標1（理）設(shè)的三邊長分別為,的面積為,若,則()a.sn為遞減數(shù)列 b.sn為遞增數(shù)列c.s2n-1為遞增數(shù)列,s2n為遞減數(shù)列d.s2n-1為遞減數(shù)列,s2n為遞增數(shù)列【答案】b

2、（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word版）函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)使得則的取值范圍是(a) (b) (c) (d)【答案】b （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純word版）已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結(jié)論一定正確的是( )a.數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 b.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為c.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 d.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為【答案】c （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純word版含答案）等比數(shù)列的前項和為,已知,則(a) (b) (c) (d)【答案】c （2013年高考新課標1（理）設(shè)等差

3、數(shù)列的前項和為,則 ( )a.3 b.4 c.5 d.6【答案】c （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word版）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題: 其中的真命題為(a) (b) (c) (d)【答案】d （2013年高考江西卷（理）等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,.的第四項等于a.-24 b.0 c.12 d.24【答案】a 二、填空題（2013年高考四川卷（理）在等差數(shù)列中,且為和的等比中項,求數(shù)列的首項、公差及前項和.【答案】解:設(shè)該數(shù)列公差為,前項和為.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3. 所以數(shù)列的前項和或 （

4、2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純word版含答案）等差數(shù)列的前項和為,已知,則的最小值為_.【答案】 （2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第個三角形數(shù)為.記第個邊形數(shù)為,以下列出了部分邊形數(shù)中第個數(shù)的表達式:三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測的表達式,由此計算_.選考題【答案】1000 （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純word版含附加題）在正項等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_.【答案】12 （2013年高考湖南卷（理）設(shè)為數(shù)列的前n項和,則(1)

5、_; (2)_.【答案】; （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純word版）當時,有如下表達式:兩邊同時積分得:從而得到如下等式: 請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案）已知是等差數(shù)列,公差,為其前項和,若成等比數(shù)列,則【答案】 （2013年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）若等差數(shù)列的前6項和為23,前9項和為57,則數(shù)列的前項和_.【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word版）在等差數(shù)列中,已知,則_.【答案】 （2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式: 照

6、此規(guī)律, 第n個等式可為_. 【答案】 （2013年高考新課標1（理）若數(shù)列的前n項和為sn=,則數(shù)列的通項公式是=_.【答案】=. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word版）如圖,互不-相同的點和分別在角o的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項公式是_.【答案】 （2013年高考北京卷（理）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_;前n項和sn=_.【答案】2, （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word版）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項和,若是方程的兩個根,則_.【答案】63 三、解答

7、題（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word版）設(shè)函數(shù),證明:()對每個,存在唯一的,滿足;()對任意,由()中構(gòu)成的數(shù)列滿足.【答案】解: () 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對每個,存在唯一的,滿足;(證畢) () 由題知 上式相減: . 法二: （2013年高考上海卷（理）(3分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.【答案】:(1)因為,故, (2)要證明原命題,只需證明對任意都成立, 即只需證明 若,顯然有成立; 若,則

8、顯然成立 綜上,恒成立,即對任意的, (3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無限增大時,總有 此時, 即 故, 即, 當時,等式成立,且時,此時為等差數(shù)列,滿足題意; 若,則, 此時,也滿足題意; 綜上,滿足題意的的取值范圍是. （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純word版含附加題）本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當時,記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個數(shù); (2)求集合中元素的個數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運算.計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識,考察探究能力及運用數(shù)學歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中

9、元素的個數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學歸納法先證 事實上, 當時, 故原式成立 假設(shè)當時,等式成立,即 故原式成立 則:,時, 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當時,集合中元素的個數(shù)為 于是當時,集合中元素的個數(shù)為 又 故集合中元素的個數(shù)為 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word版）在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到: ; ()由(1)知,當時, 當時, 當時, 所以,綜上所述:; （2013年高考湖北卷（理）已知等比數(shù)列滿足:,.(i)求數(shù)列的通項公

10、式;(ii)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.【答案】解:(i)由已知條件得:,又, 所以數(shù)列的通項或 (ii)若,不存在這樣的正整數(shù); 若,不存在這樣的正整數(shù). （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,.()求數(shù)列的通項公式;()設(shè)數(shù)列前n項和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項和.【答案】解:()設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所以時, 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項和 （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純wo

11、rd版含附加題）本小題滿分16分.設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和.記,其中為實數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();(2)若是等差數(shù)列,證明:.【答案】證明:是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和 (1) 成等比數(shù)列 左邊= 右邊= 左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: 對恒成立 由式得: 由式得: 法二:證:(1)若,則,. 當成等比數(shù)列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數(shù)列,則型. 觀察()式后一項,分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經(jīng)檢驗,當時是等差數(shù)列. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學

12、（理）word版含答案（已校對）等差數(shù)列的前項和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項式.【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案）已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項和為, 且s3 + a3, s5 + a5, s4 + a4成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項公式; () 設(shè), 求數(shù)列的最大項的值與最小項的值. 【答案】 （2013年高考江西卷（理）正項數(shù)列an的前項和an滿足:(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項和為.證明:對于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正項數(shù)列,所以. 于是時,. 綜上,數(shù)列的通項. (2)證明:由于

13、. 則. . （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word版）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.【答案】.(1) 解: ,. 當時, 又, (2)解: ,. 當時, 由 ,得 數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列. 當時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, 當時,原不等式成立. 當時, ,原不等式亦成立. 當時, 當時,原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. （2013年高考北京卷（理）已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為an,第n項之后各項,的最小值記為bn,dn=an-bn .

14、(i)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nn*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(ii)設(shè)d為非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(iii)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.【答案】(i) (ii)(充分性)因為是公差為的等差數(shù)列,且,所以 因此,. (必要性)因為,所以. 又因為,所以. 于是,. 因此,即是公差為的等差數(shù)列. (iii)因為,所以,.故對任意. 假設(shè)中存在大于2的項. 設(shè)為滿足的最小正整數(shù),則,并且對任意,. 又因為,所以,且. 于是,. 故,與矛盾. 所以對于任意,有,即非負整數(shù)列的各項只能為1或2. 因此對任意,所以. 故. 因此對于任意正整