第27講 三角形的不等關(guān)系W

1、第27講 三角形中的不等關(guān)系幾何不等式之所以特別吸引人，是由于人們很容易地掌握它們的陳述，同時它們又是創(chuàng)造性的數(shù)學思想和現(xiàn)代數(shù)學精神的一個極好的入門。 n.d.扎卡里諾夫知識方法掃描1三角形中邊的不等關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊；在直角三角形中 ，斜邊大于直角邊。2三角形中角的不等關(guān)系：三角形的一個外角大于它的任何一個不相鄰的內(nèi)角。3同一個三角形中的邊角不等關(guān)系：大角對大邊，小角對小邊；大邊對大角，大角對大邊4兩個三角形中的邊角不等關(guān)系：有兩條邊相等的兩個三角形中，若夾角不相等，則其夾角大的所對的第三邊也大；反之，若第三邊不等，則第三邊大的所對的角也大。5運用幾何變換（平移，旋

2、轉(zhuǎn)，對稱）的方法來改變幾何元素的相對位置關(guān)系，是處理幾何不等式問題的常用方法。6用代數(shù)方法來比較兩個幾何量的大小，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，也是一種常用的方法。經(jīng)典例題解析例1（第一屆“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽試題）設(shè)凸四邊形abcd的對角線相交于o，且acbd，已知oaoc,obod,求證： bc+adab+cd.證明 在oa上截取oc=oc，在ob上截取od=0d，連結(jié)ad,bc,cd.顯然有aodaod, cobcob, codcod. 于是有ad=ad,bc=bc，cd=cd. 所以 bc+ad= bc+ ad=bp+pc+ap+pd ab+cd=ab+cd。例2（1997-1998學年度天津

3、市初中數(shù)學競賽試題）如圖，四邊形abcd中，bccdda,o為ab中點，且aod=cob=60，求證：cd+adbc.證明 如圖,在oc上截取oe=od連接de,be, 因eod=180-aod-cob =60， 故doe為等邊三角形.又oa=ob，aod=cob，od=oe，于是adobeo, 故ad=be.又在dec中， cedoed, cdce.ad+cdbe+cebc.例3（1982年湖北省初中數(shù)學競賽試題）在等腰三角形abc的一腰ab上取一點d，在另一腰a徹底延長線上取ce=bd，連bd，則debc。證明 作ddbc, eebc, 垂足為d,e.在rtbdd與rtcee中，b=acb

4、=ece,bd=ce,故 bdd cee。于是bd=ce。 所以de=dm+memd+me=md+mc+ce= md+mc+bd=bc.例4（1988年北京市初中數(shù)學競賽試題）如圖p為邊長為 1的等邊三角形 abc形內(nèi)任意一點.設(shè)l=pa+pb+pc, 求證: 1.5lab=1,bp+cpbc=1,cp+apac=1,相加，得2（pa+pb+pc）3, 故l1.5。過p作mnbc，交ab于m，交ac于n。則amn是正三角形。mn=ab.而apnamp=60 , 故paan。 又bppm+mb，pcpn+nc，于是pa+pb+pc an+pm+mb+pn+nc =(an+nc)+(pm+pn)+

5、bm=ac+mn+bm=ac+am+bm=ac+ab=2. 即l2. 所以1.5lac+bd。證明 設(shè)bc=a,ca=b,ab=c,ch=h，由勾股定理有 a2+b2=c2, 由面積關(guān)系有ab=ch.,于是 (c+h)2=c2+2ch+h2= a2+b2+2ab+ h2=(a+b) 2+ h2(a+b) 2所以 c+h a+b，即ab+chac+bd。例6（1993年浙江省初中數(shù)學競賽試題）如圖，在rtabc中，d，e，f分別為ab，ac，bc的中點，h為斜邊ab高的垂足，g是dh的中點。設(shè)o為ab上任意一點。求證：eof取最大角是egf。證明 連結(jié)ef，則efab，四邊形edbf是平行四邊形

6、。de=bf=bc=hf，而fdg=180-b=180-fhb=fhg, dg=dh，于是fdgfhg，從而eg=fg，egd=fgh。 延長fg到n，使gn=gf，連結(jié)on。顯然有ofgong，在ego與ngo中, go=go，ge=gn，ogeogn, 于是oeon,于是oeong=ofg.,于是eofegf例7（2000年第15屆江蘇省初中數(shù)學競賽試題）（1）如圖1a，在四邊形abcd中，abad，bad60，bcd120，證明：bcdcac； 圖1a 圖2a（2）如圖2a，在四邊形abcd中，abbc，abc60，p為四邊形abcd內(nèi)一點，且apd120，證明：papdpcbd。證明（

7、1）如圖1b，延長bc至e，使cecd。因bcd120，所以dce60。又cdce，于是cde為等邊三角形。故decdce，cde60。又abad，bad60，所以abd為等邊三角形，故abadbd，bda60。從而adbcde，adcadbbdccdebdcbde。所以acdbed，因此，acbebccebccd，即acbccd。 圖1b 如圖2b （2）如圖2b，在四邊形abcd外側(cè)作正三角形abd，利用apd120，則四邊形abdp符合（1）中的條件。于是bpappd。易知bcpbpc，得bcappdpc。因abd是正三角形，故abad，bad60。又易知abc是正三角形，故acab，b

8、ac60，由此得abcadb。故bcdb。所以 papdpcbd例8 （2005年全國初中數(shù)學聯(lián)賽武漢選拔賽試題）如圖，aa，bb，cc交于點o，且aa=bb=cc=1，aoc=boa=cob = 60 。 （1）求證:saoc+sboa+scob;（2）求證:saoc, sboa, scob中至少有一個不大于。證明 （1） 證法1 如圖，延長oc至d，使得cd=co，延長ob至e,，使得be=bo。連結(jié)ed，易知ode是邊長為1的等邊三角形，在ed上截取ef，使ef=oa, 連結(jié)cf，則obaebf, caocfd, 而sode=, 所以saoc+sboa+scob= sfdc+sbef+s

9、cob0，所以a+b+c-ab-bc-ca1-abc1.即saoc+sboa+scob，sboa ，scob，記oa=a,ob=b,oc=c,則，所以abc(1-a)(1-b)(1-c), 而02ab（b）ac=2ab（c）ac2ab（d）acaeep(b)aeapep(c) apepae(d) epaeap3（1998年第九屆希望杯數(shù)學邀請賽試題）如圖，rtabc中，bac90，ab=ac， bd平分abc交ac于d，作cebd交bd的延長線于e，過a作ahbc交bd于m，交bc于h，則bm與ce的大小關(guān)系是（ ）（a）cfgb（b）cfgb（c）cfgb（d）無法確定的4（2000年江蘇省

10、初中數(shù)學競賽試題）如圖，ad是abc的中線，e，f分別在ab，ac上，且dedf，則（ ）（a）be+cfef（b）be+cf=ef（c）be+cfac,ad，ae分別是bc邊上的中線和a的平分線，則ad和ae的大小關(guān)系是ad ae。（填“”,“bc，則下列命題：以a2,b2,c2為長度的三條線段一定能構(gòu)成一個三角形以為長度的三條線段一定能構(gòu)成一個三角形以a+b,b+c,c+a為長度的三條線段一定能構(gòu)成一個三角形以a-b,b-c,a-c為長度的三條線段一定能構(gòu)成一個三角形其中正確的命題是_。(填寫正確命題的序號)10（2000年 全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）設(shè)正三角形abc的邊長為2，m是ab邊上的

11、中點，p是邊bc上的任意一點，papm的最大值和最小值分別記為s和t，則s2-t2=_。三 解答題11（1991年杭州市第三屆“求是杯”初二學生數(shù)學競賽試題）如圖,abc中,ae是a的外角平分線,d是這條平分線上的任一點,試確定ab+ac和bd+dc之間的大小關(guān)系,并加以證明。12（1994年“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽試題）如圖，abc中，adbc，d在bc上，已知abcacb,p是ad上的任意一點，證明：ac+bp ab+cp.13（杭州市第四屆初中數(shù)學競賽試題）如圖，在銳角abc中,bcab,ah是bc邊上的高，bm是ac邊上的中線，且ah=bm，求證：（1）mbc=30；（2）abc(2)已

12、知:如圖2,在abc中,ab上的高為cd.試判斷(ac+bc)2與ab2+4cd2之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.15（1984年上海市初中數(shù)學競賽試題）平面上有a，b，c，d四個點，其中任意三點都不在一條直線上。求證：在abc, abd,acd, bcd中，至少有一個三角形的一個內(nèi)角不超過45。 同步訓練題參考答案1d如圖，延長cb至d,使db=ab,連結(jié)ad，則 bad=d, abc=2d, c=d, ad=ac. ab+bdad.即 2abac.2. abe=bd=dc, 則beccda. ape=pac+acp=pcd+acp=60,eap60=apeaeep.3a如圖：延長ce交ba

13、的延長線于f,則 rtfbertcbe, ce=ef=cf.又rtabdrtacf, bd=cf.在abm中，bam=45abm, ammd.bmmb,bmbd=cf=ce.4a延長fd到g，連結(jié)eg，bg。易證egdefd，bgdcfd，于是cf=bg，ef=eg。be+cf=be+bgeg=ef.5b設(shè)，又 。 即 。662由ababbc, 得cba，a=180-（b+c）180-2c=627因abac,故bec,故e點在d點和c點之間，aed=c+cae b+bad =ade, 于是adae。8c點關(guān)于bd的對稱點為a,連結(jié)ae，ae與bd的交點就是pe+pc最小的p點。這是因為若p是b

14、d上的另外一點，則pe+pc=pa+pcae=pa+pe 此時 pa+pe=ae=9不正確，如a=5,b=4,c=3時，a2=b2+c2，以a2,b2,c2為長度的三條線段不能構(gòu)成一個三角形。不正確，因(a-b)+(b-c)=a-c, 以a+b,b+c,c+a為長度的三條線段不能構(gòu)成一個三角形。的證明如下 ：因b+ca,故b+ca，即，+.的成立是顯然的10先求s。因paac,pmcm,故pa+pmca+cm=2+.當點p為頂點c時等號成立，則s=2+.再求t，如圖 作正abc，設(shè)m為ab的中點，則pbmpbm.故pm=pm，pa+pm=pa+pmam.連結(jié)cm,則acm=90.所以am=,即

15、t= .于是s2-t2=(2+)2-()2=411在ba上截取af=ac,連結(jié)df，易證adfadc, 于是df = dc。ab+ac=ab+afacb,故acab，cd2=ac2-ad2ab2-ad2=bd2,于是dcdb.在dc上截取db=db，連結(jié)ab交pc于q，連結(jié)pb。顯然adbadb， pdbpdb，于是ab=ab，pb=pb。所以 ac+bp= ac+bpaq+ qc +qb+pq= ab+cp=ab+cp.13.(1) 過m作mnah交bc于n，于是mn=ah，又因ah=bm, 故mn=bm.在rtbmn中,mn=bh, 所以mbn=30，即mbc=60.(2) 因m是ac的中點，所以sbcm=sbam. 即 bcbmsinmbc = bmbasinmba，因而bcsinmbc= basin