(完整版)韋達定理知識點及應(yīng)用解析最新（精華版）

1、九年級一元二次方程（知識點詳解）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）知識點及應(yīng)用解析1、定義： 若 x 1， x 22是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a 0) 的兩個根，則有x1 + x2 = -b ，ax1 x2 =c。對于二次項系數(shù)為1 的一元二次方程 x2+px+q=0，則有 x1 + x 2 =-p ，x1 x 2 =qa2、應(yīng)用的前提條件：根的判別式0方程有實數(shù)根。23、若一個方程的兩個為x1， x2 ，那么這個一元二次方程為ax4、根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：+(x 1+x2)x+ x 1 x 2=0(a 0)222x+x =(x22+x ) -2x x =- b

2、2c = b2ac121 1121 2ax1x2baa 2x1x2x1 x2c2(x +a)(x+a)= xx +a(x+x ) +a= c -b +a 2121 212a222b- 4ac(x 1-x 2)=(x 1+x2)-4x 1x 2 =a 25、方法歸納： （ 1）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運用條件條件為一元二次方程，即a0，且必須有實數(shù)根，即0；（2） 運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時，一元二次方程應(yīng)化為一般形式，若系數(shù)中含字母要注意分類討論；（3） 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有時與一元二次方程根的定義綜合運用，注意觀察所求代數(shù)式是特點。（4） 解題思路：將含有根的代數(shù)式變

3、形成含有兩根和與兩根積的式子，再通過韋達定理轉(zhuǎn)化成關(guān)于系數(shù)的式子，同時要注意參量的值要滿足根的實際意義。6、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：（1） 不解方程，判別一元二次方程兩根的符號。（判別根的符號，需要把“根的判別式”和 “根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進行確定，判別式判定根的存在與否，若0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。 ）例：不解方程，判別方程兩根的符號。解： ， 4 2 ( 7) 65 0方程有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)方程的兩個根為， 0原方程有兩個異號的實數(shù)根。（2） 已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。例

4、：已知方程的一個根為 2，求另一個根及的值。解： 設(shè)方程的另一個根為，根據(jù)題意，利用韋達定理得：，把代入，可得：把代入，可得：，即解得方程的另一個根為 4， 的值為 3 或 1。（3） 運用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例： 已知 、是關(guān)于 的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根，問和能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關(guān)于 的一元二次方程有兩個非零實數(shù)根，則有又 、是方程的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：假設(shè) 、同號，則有兩種可能：（ 1）（ 2）若， 則有：；即有：解這個不等式組，得時方程才有實樹根，此種情況不成立。若， 則有：即有：解這個

5、不等式組，得；又，當時，兩根能同號(4) 運用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值例: 已知一元二次方程2x -3x+1=0 的兩個根分別為2x1， x2 ，求（ x 1-x 2） 的值2解：由題意及韋達定理得：x 1+x2= - （ - 3 ） = 3 ， x 1x 2 = 1222(x -x )=(x21212+x ) -4x x= （ 3 ） 2-4 1 = 121 2224（ x1-x 2） 的值是214(5)運用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題例：在 abc中，若 c=90， ab=5，ac、bc的長是關(guān)于 x 的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的兩個實數(shù)根，求k 的值和 abc的面積解： ac+bc=25 (ac+bc) -2acbc=25222 ac+bc=2k+3,ac bc=k+3k+2 (2k+3) -2(k+3k+2)=25整理，得 k