蘇科版九年級數(shù)學下冊第七章《銳角三角函數(shù)》教學案

1、初中數(shù)學課題7.1正切（1）自 主 空 間知識與技能：學習 目標1.理解正切的概念，能通過畫圖求出一個角的正切的近似值。能運 用正切解決與直角三角形有關的簡單問題。過程與方法：1.經(jīng)歷探索表示物體傾斜程度，形成正切的概念的過程，練就創(chuàng)造 性解決問題的能力。學習重點難點理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正切值。計算一個銳角的正切值的方法。預 習 導 航圖（2）教學流程觀察回答：如圖某體育館,為了方便不同需求的觀眾設計了多種形式的臺階。 下列圖中的兩個臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？圖（1）答：圖的臺階更陡，理由1、合作探究2、新知探究：思考與探索一：除了用臺階的傾斜角度大小外，還

2、可以如何描述臺階的傾斜程度呢？可通過測量bc與ac的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。（思考：bc與ac長度的比與臺階的傾斜程度有何關系？）答： 討論：你還可以用其它什么方法？能說出你的理由嗎？答：思考與探索二：（1）如圖，一般地，如果銳角a的大小已確定,我們可以作出無數(shù)個相似的rtab1。，rtabca,bc c crtab3g3,那么有：rtabgs根據(jù)相似三角形的性質，點撥可將這兩個臺階抽象地看成兩個三角形b1c1 ac1(2)由上可知：如果直角三角形的一個銳角的大小已確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也3、正切的定義如圖，在rtabc中，z c= 90 , a、b分

3、別是/ a的對邊和鄰邊。我們 將/ a的對邊a與鄰邊b的比叫做/ a，記作。即：tana =(你能寫出/ b的正切表達式嗎？)試試看 .4.思考：當銳角a越來越大時，a的正切值有什么變化?.例題分析：例1:某樓梯的踏板寬為30cm, 一個臺階白高度為 15cm,求樓梯傾斜角的正切值。如圖，在 rtabc中，/ c=90 , ab=5, bc= 4,求tana與tanb的值.4如圖，在 rtabc中，/ c=90 , bc=12, tana=二 求 ab的值。3例2:在在 rtaabc中，/ acb=90 , cd是ab邊上的高，tana=; tanb=;tan / acd=; tan / bc

4、d=;三.展示交流：1 .在光的反射中，入射角等于反射角，入射角為/ 1, ac! cd，bd cd且 ac=3, bd=q cd=11,求 tan / 1ac od2 .在直角坐標系中， abc的三個頂點的坐標分別為 a(4,1) , b( 1,3 ) , c( 4,3),試求 tanb 的值。四、提煉總結：請你說說本節(jié)課有哪些收獲？1.如圖，在 abc中，cdi ab邊上的高，ad=2 ac=3求tana值2.如圖，在等腰直角二角髻1若tan / dbc= 求ad的長。3abc中，/c=90q ac=bc ac=6 d 是 ac上一點,學習反思:課題7.2正弦、余弦（一）自主 空間學習知識

5、與技能：理解并掌握正弦、余弦的含義，會在直角三角形中求 出某個銳角的正弦和余弦值。目標過程與方法：能用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切。情感、態(tài)度與價值觀： 通過對正弦、余弦概念的學習感受數(shù)學知識的系統(tǒng)性。學習理解并掌握正弦、余弦的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的重點正弦和余弦值。_ _一，、,、，一人、一八，在直角二角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。教學流程問題1:如圖，小明沿著某斜坡向上行走了 13m后，他的相對位置升高了 5m,如果他沿著該斜坡行走了 20m,那么他的相對位置升高了多少？行走了 am呢？預 習 導 航20m問題2:在上述問題中，他在水平方向又分別前進了多遠？三新知探究:

6、1 .思考：從上面的兩個問題可以看出：當直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對邊與斜邊的比值 ;它的鄰邊與斜 邊的比值。（根據(jù)是。）2 .正弦的定義如圖，在 rtabc中，/ c= 90 ,合我們把銳角/ a的對邊a與斜邊c的比作叫做/a的,記作,即：sina =:3 .余弦的定義如圖，在rtabc中，/ c= 90 ,我們把銳角/ a的鄰邊b與 斜邊 c 的比叫做/ a的 , 記作= , 即： cosa=。（你能寫出/ b的正弦、余弦的表達式嗎？）試試看4 .怎樣計算任意一個銳角的正弦值和余弦值呢？（1）如書p42圖78,當小明沿著15。的斜坡行走了 1個單位長度 到p點時，他的位置在豎

7、直方向升高了約0.26個單位長度，在水平方向前進了約0.97個單位長度。根據(jù)正弦、余弦的定義，可以知道：sin15 =0.26, cos15 = 0.97(2)你能根據(jù)圖形求出 sin30 、cos30 嗎？ sin75 、cos75 呢?sin30 =, cos30 =.sin75 =, cos75 =(3)利用計算器我們可以更快、更精確地求得各個銳角的正弦值和余(4)觀察與思考:從sin15 , sin30 , sin75 的值，你們得到什么結論?從cos15 , cos30 , cos75 的值，你們得到什么結論?當銳角“越來越大時，它的正弦值是怎樣變化的？余弦值又是怎樣變化的？二、例題

8、分析:例：已知：如圖，/acb=90 ,cd，ab,垂足為 d.()bcac()cd()() abcd(3) cos acd ,cos bcd()(1) sin a(2)sin bbc(4) tana cd ( ),tanb () ac() acbd ()展示交流：1.根據(jù)如圖中條件， 分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值。 2 .如圖，在 rtabc中，/c= 90 , ac= 12, bc= 5,貝u sina = cosa =, sinb =, cosb =。3 .在 rtabc中,ag= bc, / c= 90 ,求(1) cosa; (2)當 ab= 4 時，求 bc的長。4

9、.已知在 abc中，a、b、c分別為/ a / b、/ c的對邊，且 a： b:c=5: 12: 13,試求最小角的三角函數(shù)值。四、提煉總結： 三角函數(shù)的實質是直角三角形中邊之間的比：a的對邊a的鄰邊sina 77t cosa 77t斜邊斜邊1.在 rtabc 中，/ c= 90 , ac= 73, bc= 1 ,貝u sina =,當 堂 達 標cosb=,cosa=,sinb=.2 .在rtabc中，如果各邊長度都擴大3倍，則銳角數(shù)值（）a.不變化b.擴大3倍 c.縮小1d.33 .若0 vav 90 ,則下列說法不止確的是（a、sin a隨a的增大而增大b、cos a隨a的增大而減小c、

10、tan a隨a的增大而增大d sin a、cos a、tan a的值都隨a的增大而增大4 .在 rtmbc中,/ c= 90 , tana = - , ab= 10,4/aa的各個三角函縮小3倍）求 bc和 cosboc學習反思：課題7.2正弦、余弦（二）自主 空間學習 目標知識與技能：能夠根據(jù)直角三角形的邊角關系進行計算；過程與方法：能用三角函數(shù)的知識根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角情感、態(tài)度與價值觀：在學習中體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)應用意識。學習 重點能根據(jù)直角三角形的邊角關系進行計算；用函數(shù)的觀點理解正切， 正弦、余弦值。學習 難點用函數(shù)的觀點理解正切，正弦、余弦值。教學流程預

11、 習 導 航合作探究1 .在 rtabc中，/ c=90 ,bc=2,ac=4, 貝u sinb=,cosb=,tanb= 。2 .如圖，在 rtabc中，/ c=90 , ab=10,sina= 3 ,求 bg ac5一、新知探究：在直角三角形中，知道一邊長及一銳角的三角函數(shù)值，你能求出其它各邊的長和另一銳角的三角函數(shù)值嗎？二、例題分析：小明正在放風箏，風箏線與水平線成35。角時，小明的手離地面1m,若把放出的風箏線看成一條線段，長95m,求風箏此時的高度。(精確到1m)(參考數(shù)據(jù)：sin35 =0.5736, cos35 = 0.8192,tan35 =0.7002)三、展示交流：1.為了

12、測量河的寬度，在河的一邊選定點c,使它正對著(視線與河2.某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高 6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房.在該樓的前面15米處要蓋一棟 高20米的新樓.當冬季正午的陽光與水平線的夾角為30。時.(1)超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？岸垂直)河對岸的一棵樹 b,沿著點c所在的河岸行走100m,到達a 處，測得/ cab= 35 ,求河的寬度 bc (精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)： sin35 =0.5736, cos35 =0.8192, tan35 =0.7002)(2)若要使超市采光不受影響，兩樓應相距多少米？四、提煉總結：在直角三角形中

13、，知道一邊長及一銳角的三角函數(shù)值，就能求出其它各邊的長和另一銳角的三角函數(shù)值。1 .在 abc中，/ c= 90 , cosb=： ,ac= 10,求 abc的周長和斜邊ab邊上的高。2 . 一把梯子靠在一堵墻上，若梯子與地面的夾角是68。，而梯子底部離墻腳1.5m,求梯子的長度(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)：sin68 =0.9272, cos68 =0.3746, tan68 =2.475)當 堂 達 標3 .如圖是引拉線固定電線桿的示意圖，已知：cdlab, cd= 3.3m,/cad= /cbd= 60 ,求拉線ac的長。(精確到 0.1m)(參考數(shù)據(jù)：sin60 =0.8660, co

14、s60 =0.5000, tan60 =1.732)學習反思:課題7. 3特殊角的三角函數(shù)學習 目標知識與技能：知道特殊銳角300、450、600三角函數(shù)值。過程與方法：體會數(shù)形結合的數(shù)學思想在三角函數(shù)中的應用。情感、態(tài)度與價值觀：引導學生積極投入到探索新知的活動中，從中感受狄得新知的樂趣。學習 重點特殊角與其三角函數(shù)之間的對應關系。學習 難點利用特殊角的三角函數(shù)值進行求值和化簡。自主 空間教學流程1 .同學們已經(jīng)學習了銳角的三角函數(shù)，你能分別說出正切、正弦、預 習 導 航余弦的定義嗎?2 .在 rtabc中，/acb=90 2 a=30 , bc=1,在圖中標出ab ac的長并求出:合作探究

15、二耳函數(shù)&、9 三角304560sin 0工222旦2cos 0m2運212tan 0旦313一、新知探究：1、利用直角三角形的三邊關系求30、45、600角的三角函數(shù)值，并填在下表中：思考：當銳角a變大時，sin a的值變, cos a的值變, tana的值變.sin30 = cos30 = tan30(2) 3tan 1 0二、例題分析：例1:求下列各式的值(1) 2sin30 0-cos450(2) sin60 0cos600( 3) sin 2300+cos2300例2:求滿足下列條件的銳角11) 2sin 2 =0三、展示交流：1.求下列各式的值(1)tan45 sin30 cos6

16、0(2)sin 600 1tan6002tan4502.求滿足下列條件的銳角a :(1) 2 cos a -2=0(2) tan=、3(a +10 )3 .在 rtabc 中，/ c=90 ,若 sina=工，則 b。ac： ab 等于(2a. 1 ： 2 ： 5 b.1: 3 :c. 1 ： j3 ： 2 d.1： 2 ： j324 .已知a為銳角，當無息義時，求tan( a +15 )-tan( a1 tan a-15 )的值.5.已知：如圖，在 rt abc中，/ acb=90 ,cd，ab,垂足為d,bc=2,bd=j3.分別求出 abc actd bcd中各銳角.b四、提煉總結：1、

17、300、450、600三角函數(shù)值2、由特殊角的三角函數(shù)值確定角的大小1 .計算下列各式的值.(1)2sin30 +3cos60 -4tan45 tan45cos 60o2 2)一 tan30sin 602 .右sin a =,貝u銳角a =.右2cos a =1,貝u銳角a=.3 .右/ a是銳角，且 tana=，貝u cosa= 國一 4 .在 abc中，若 tana=1 , sinb=,貝 abc的形狀是()當2a.等腰二角形b .等腰直角二角形c .直角二角形d . 一般早 達標銳角三角形5.右/ a=41 ,則cosa的大致范圍是()a. 0v cosav 1 b. b三、展不交流：c

18、1,已知 sina=0.9816 , / a=; cosa = 0.8607，/a=_一；已知 tana=0.1890 , / a=; tana = 56.78 ,/ a= o2.判斷下列等式是否成立？為什么？(1)sin15 +sin25 = sin40 (2)cos20 +cos26 =cos46(3)tan25 +tan15 = tan403.如圖，工件上有一 v型槽,測得它的上口寬 20mm深19.2mm.求v型 角(/ acb)的大小(結果精確到10 ).每個三角形都是以點。為4.圖中的螺旋形由一系列直角三角形組成一頂點.(1)求/ aooa, / aoa, /a2oa,的大小.(2

19、)已知/ moa,是一個小于200的角，求n的值.當 堂 達 標1 .根據(jù)卜列條件求銳角0的大小：(1)sin 。=蟲； (2)cos0 = 12 ; (3)tan。=v3 ;(4)sin 9=0.3957;(5) cos。= 0.7850 ; (6)tan 9 = 0.8972;2 .如圖，為了方便行人，市政府在10m局的天橋.兩端修建了 40m長的斜道.這條斜道的傾斜角是多少？hllilmijii1四、提煉總結：知道三角函數(shù)的值，也可以求出角的度數(shù)。3 .如圖，物華大廈離小偉家 60m,小偉從自家的窗中眺望大廈，并測得大廈頂部仰角是 45o ,而大廈底部的俯角是37o，求該大廈的的高度（結

20、果精確到,行l(wèi) 一j - 、一 , - - e / 丁， 一閱學習反思:課題7.5解直角三角形自主空間學習 目標了解解直角二角形的概念，能運用直角二角形的角與角（兩銳角互余），邊與邊（勾股定理）、邊與角關系解直角三角形。學習 重點了解解直角二角形的概念，能運用直角二角形的角與角（兩銳角互余），邊與邊（勾股定理）、邊與角關系解直角三角形。學習 難點運用直角三角形的角與角（兩銳角互余），邊與邊（勾股定理）、邊與 角關系解直角三角形。教學流程預 習 導 航如圖所示，一棵大樹在一次強烈的臺風中于地面10米處折斷倒下，樹頂落在離數(shù)根24米處。問大樹在折斷之前高多少米 ？顯然，我們可以利用勾股定理求出折斷

21、倒下的部分幫鋁限的長度為= ,+ io=36所以，大樹在折斷之m的高為36米。-合 作 探 究、新知探究：1.解直角三角形的定義。任何一個三角形都有六個元素，三條邊、三個角，在直角三角形中，已知有一個角是直角，我們把利用已知的元素求出末知元素的過程，叫 做解直角三角形。像上述的就是由兩條直角邊這兩個元素，利用勾股定 理求出斜邊的長度， 我們還可以利用直角三角形的邊角關系求出兩個銳 角，像這樣的過程，就是解直角三角形。2.解直角三角形的所需的工具。如圖712,在 rtabc中，/ac由90 ,其余5個元素之間有以下關系：(1)兩銳角互余/ a+ / b=(2)三邊滿足勾股定理 a2+b2=(3)

22、邊與角關系sina =c ,cosa=sinb = - , tana =, cota =-oc a二、例題分析：例 1:在 rtabc 中，z c= 90 , z c= 30 , a=5,解直角三角 形。例 2: rtabc 中，z c= 90 , a=104, b=20.49 ,求(1) c的大小(精確到 0.01 )(2) / a、/ b的大小。例3:如圖713,圓o半徑為 的邊長(精確到0.1 )10,求圓。的內接正五邊形abcde三、展示交流：1、已知：在 rtabc中，z c= 90 , b=2 3 , c = 4 ,求(1) a ; (2)求/ r / a2、求半徑為12的圓的內接

23、正八邊形的邊長(精確到 0.1)四、提煉總結1、（09年廣西柳州）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60 ,看這棟高樓底部的俯角為 30 ,熱氣球與高樓的水平距離為66 m ,這棟高樓有多高？（結果精確到0.1 m ,參考數(shù)據(jù)：事1.73 ）2、（ 09年湖北仙桃）如圖所示，小華同學在距離某建筑物6米的點a當堂達標 -d處測得廣告牌 b點、c點的仰角分別為52。和35； 則廣告牌的高度 bc為 米（精確到0.1米）.（sin35 0.57 , cos35 0.82 , tan35 0.70 ;/,52 7sin52 0.79 , cos52 0.62 , tan52 1.

24、28） /嘉at 6米（第2題圖）3、（ 09年山東濟南）九年級三班小亮同學學習了 “測量物體高度” 一 節(jié)課后，他為了測得右圖所放風箏的高度，進行了如下操作：（1）在放風箏的點 a處安置測傾器，測得風箏 c的仰角/cbd 60 ;（2）根據(jù)手中剩余線的長度出風箏線bc的長度為70米;（3）量出測傾器的高度 ab 1.5米.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計算出風箏的高度ce約為米.（精確到0.1米，點1.73）學習反思:課題7.6銳角三角函數(shù)的簡單應用（1）自主空間學習 目標通過具體的一些實例，能將實際問題中的數(shù)量關系，歸結為直 角三角形中元素之間的關系。學習通過具體的一些實例，能將實際問題中的數(shù)量關系，歸結

25、為直重點 學習 難點角三角形中兀素之間的關系。通過具體的一些實例，能將實際問題中的數(shù)量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系。教學流程1、在4abc中，/c=90，/a=45，則 bc: ac: ab=。預 習 導 航2、在 abc中，/ c=90 。（1）已知/ a=30 , bc=8cm 求 ab與 ac的長；（2）已知/ a=60 , ac=/3 cm,求 ab與 bc的長。一、例題分析：例1: “五一”節(jié)，小明和同學一起到游樂場游玩，游樂場的大型摩天輪的半徑為 20m,旋轉1周需要12min。小明乘坐最底部的車 廂（離地面約 0.5m）開始1周的觀光，2min后小明離地面的高度 是多少

26、（精確到 0.1m） ? a分析：如圖，小明開始在車廂點b,經(jīng)過2min后到了點c,點c離地面的高度就是小明離地面的高度，其實就是da的長度合 作 探 究da= ae - 解：拓展延伸：1、摩天輪啟動多長時間后，小明離地面的高度將首次到達10m?2、小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面20m以上的空中？二、展示交流：合 作 探 究1、甲、乙兩樓相距 50米，從乙樓底望甲樓頂仰角為60。，從甲樓頂望乙樓頂俯角為 45。，求兩樓的高度.（要求畫出正確圖形后再解答）2、某船向正東航行，在 a處望見燈塔c在東北方向，前進到 b處望見燈塔c在北偏西30o，又航行了半小時到 d處，望燈塔c恰在西北方向，若船速

27、為每小時 20海里，求 a d兩點間的距離。1、如圖為了測量某建筑物 ab的高度，在平地上 c處測得建筑物頂端a的仰角為30 ,沿cb方向前進12 m到達d處，在d處測得建筑物頂端a的仰角為 的高度等于a. 6 （ 飛行 + 1） m bc. 12 （ v3 + 1） m d2、用a, b, c分別表示學校、小明家、小紅家，已知學校在小明家的南偏東25，小紅家在小明家正東,小紅家在學校北偏東 35 ,則/acb等于（）a. 35 b. 55 c. 60 d . 65當 堂 達 標3、有人說，數(shù)學家就是不用爬樹或把樹砍倒就能夠知道樹高的人.小敏想知道校園內一棵大樹的高（如圖），他測得cb=10米

28、，z acb=50，請你幫他算出樹高 ab約為 米.（結果精確到0.1米）.4、如圖，在某建筑物 ac上，掛著“多彩靖江”的宣傳條幅bg小明站在點f處，看條幅頂端b,測的仰角為30 ,再往條幅方向前行20米到達點e處，看到條幅頂端b,測的仰角為60 ,求宣傳條幅 bc的 長（小明的身高不計，結果精確到 0.1 米）.ac b學習反思:課 題7.6銳角三角函數(shù)的簡單應用（2）自 主 空 間學 習 目 標進一步掌握解直角三角形的方法， 比較熟練的應用解直角三角形的知識 解決與仰角、俯角有關的實際問題，提高把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。學 習 重 占 八、進一步掌握解直角三角形的方法， 比較熟練的

29、應用解直角三角形的知識 解決與仰角、俯角有關的實際問題，提高把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。學 習 難 占 八、進一步掌握解直角三角形的方法， 比較熟練的應用解直角三角形的知識 解決與仰角、俯角有關的實際問題，提高把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。教學流程預 習 導 航如右圖，從下往上看，視線與水平鉛噬線視線線 的夾角叫仰角，從上往下看，視線與水平 線永平 it的夾角叫做俯角。右圖中的/ i就是仰角，1視線/ 2就是俯角。一、例題講解：例2、為了測量停留在空中的氣球的高度，小明先站在地面上某點觀測氣球，測得仰角為27。，然后他向氣球方向前進了 50m,此時觀測氣球，測確至ij 0.01m)得仰角

30、為40。若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計算氣球的高度呢 （精分析：1、由題目可知道，氣球的高度就是cd的長加上小明的眼睛離地面1.6m2、彳段設cd為h m bd為x m在rta dca和rtb dc利用正弦列出兩個方程求出二、展示交流:1 .如圖，為了測量電線桿的高度ab,在離電線桿22.7米的c處，用1.20米的測角儀cd測得電線桿頂端b的仰角a=22 ,求電線桿ab的高度.合作探究dyc2.為了測量停留在空中的氣球的高度，小明先站在地面上某點處觀測氣球，測得仰角為 27度，然后他向氣球方向前進了50米，此時觀測氣球，測得仰角40度.若他的眼睛離1.6米地面，他如何計算氣的高度呢 ？

31、（精確到0.1米)?1 .熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30。，看這棟高樓底部的俯角為 60 ,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高？當 堂 達 標2 .為50 ,觀察底部b的仰角為45 ,求旗桿的高度（精確到0.1m）d3 .如圖，一艘海輪位于燈塔p的北偏東65方向，距離燈塔 80海里的a處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔p的南偏東34方向上的b處，這時，海輪所在的 b處距離燈塔p有多遠？ （精確到0.01海里）學習反思:課 題第七章銳角函數(shù)小結與思考自主空間學習通過復習，系統(tǒng)地掌握本章知識。能夠靈活運用知識解決問題。目學 習 重 占 八、 習 難

32、占 八、通過復習，使學生系統(tǒng)地掌握本章知識。在系統(tǒng)復習知識的同時，能夠靈活運用知識解決問題。教學流程一、知識回顧（填空）1 .應用相似測量物體的高度 （1）如圖（一），利用光線的平行和物體在地面的投影和物體構成的兩個直角三角形相似，從而求得物體的高度。一da預 習 導 航度數(shù)，用皮尺量出 ce的長度，而后按一定的比例尺（例如1:500）畫出圖形，進而求出物體的高度。2 .銳角三角函數(shù)。（如圖三）（1）定義：sina =, cosa=,=a, cota =（余b a切）。（2）若/ a 是銳角，則 0v sina l , 0 cosav 1, tina x cota =1,sin 2a+ cos 2a= 1,你知道這是為什么嗎？（3）特殊角的三角函數(shù)值。同學們在記憶這些三角函數(shù)值時，一方面能由角度求出它的各個三角函數(shù)值，另一力回，要能由三角函數(shù)值求出相應的角度。(4)熟練應用計算器求出銳角三角函數(shù)值。(5)