多角思維多度探究-一道雙曲線離心率題的拓展

1、 多角思維，多度探究一道雙曲線離心率題的拓展 摘要：圓錐曲線中涉及橢圓或雙曲線的離心率問題一直是考試的一個(gè)熱點(diǎn)問題，也是歷年高考中比較常見的一個(gè)基本考點(diǎn)，知識(shí)板塊融合巧妙，破解思維與方法多樣，能有效開拓學(xué)生的解題視野與深度，提升學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)，充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)探究的樂趣，并收獲到成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心關(guān)鍵詞：雙曲線；圓；橢圓；離心率；切線；坐標(biāo)；幾何圓錐曲線中涉及橢圓或雙曲線的離心率問題一直是考試的一個(gè)熱點(diǎn)問題，也是歷年高考中比較常見的一個(gè)基本考點(diǎn)，倍受命題者的青睞此類問題?？汲Ｐ拢瑑?nèi)涵豐富，融合度高，可以巧妙把解析幾何中的相關(guān)知識(shí)融入其中，也可以交匯函數(shù)、不等式、平面向

2、量等其他相關(guān)知識(shí)，知識(shí)板塊融合巧妙，破解思維與方法多樣，是數(shù)學(xué)能力提升與思維拓展養(yǎng)成，創(chuàng)新意識(shí)與核心素養(yǎng)培養(yǎng)的好場(chǎng)所1問題呈現(xiàn)【問題】（燕博園2020屆高三年級(jí)綜合能力測(cè)試（cat）（一）數(shù)學(xué)理科11）已知雙曲線m： =1（ba0）的焦距為2c，若m的漸近線上存在點(diǎn)t，使得經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c：（xc）2+y2=a2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率的取值范圍是（ ）a（1， b（ ， c（ ， d（ ， 此題以雙曲線為問題背景，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及切線的性質(zhì)等來巧妙設(shè)置，進(jìn)而確定雙曲線的離心率的取值范圍難度中等，內(nèi)涵豐富，把解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線等

3、相關(guān)知識(shí)加以合理交匯融合，是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力展示全面的創(chuàng)新性問題2問題破解方法1：（坐標(biāo)法）解析：不失一般性，設(shè)點(diǎn)t在雙曲線m的漸近線bxay=0上，其坐標(biāo)為（t，t），設(shè)經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點(diǎn)分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=a，而c（c，0），則有|ct|= =a，整理可得t22ct+c22a2=0，由題可知以上關(guān)于t的二次方程有實(shí)根，則判別式=4c24 （c22a2）0，整理可得c23a2，又由ba0，可得b2a2，即c2a2a2，亦即c22a2，則有2a2c23a2，

4、可得2e23，則有 a0，則有aba，即1b0）的焦距為2c，若m上存在點(diǎn)t，使得經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則橢圓m的離心率的取值范圍是（ ）a ，1） b ， ） c ，1） d ，1）解析：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點(diǎn)分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，結(jié)合點(diǎn)t在橢圓m上，可知b0，b0）的焦距為2c，若m的兩條漸近線上各僅存在一個(gè)點(diǎn)t，使得經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c：（xc）2+y2=a2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率是（ ）a b c2 d解析：

5、設(shè)經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點(diǎn)分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=a，而圓心c（c，0）到雙曲線m的漸近線bxay=0的距離為d= =b，而m的兩條漸近線上各僅存在一個(gè)點(diǎn)t滿足條件，可知b=a，所以雙曲線m的離心率e= = = ，故選擇答案：b探究3：同樣，改變變式1的條件，改變“m上存在點(diǎn)t”為“m上僅存在兩個(gè)點(diǎn)t”，進(jìn)而來確定橢圓的離心率的值問題【變式3】已知橢圓m： + =1（ab0）的焦距為2c，若m上僅存在兩個(gè)點(diǎn)t，使得經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則橢

6、圓m的離心率是（ ）a b c d解析：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點(diǎn)分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，由于m上僅存在兩個(gè)點(diǎn)t，結(jié)合對(duì)稱性知這兩個(gè)點(diǎn)t恰好就是橢圓m的左右頂點(diǎn)，可知b=a，所以橢圓m的離心率e= = = ，故選擇答案：b探究4：改變?cè)瓉眍}目條件中圓的方程，同時(shí)改變?cè)瓉怼癿的漸近線上存在點(diǎn)t”為“m上存在點(diǎn)t”，同樣來確定雙曲線的離心率的取值范圍問題【變式4】已知雙曲線m： =1（a0，b0）的焦距為2c，若m上存在點(diǎn)t，使得經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率的取值范圍是（ ）a ，+） b ，+） c ，+） d ，+）解析：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點(diǎn)分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，而點(diǎn)t在雙曲線m上，可知ba，即 ，所以雙曲線m的離心率e= = ，+），故選擇答案：b4解后反思結(jié)合一道充分交匯與融合解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線等相關(guān)知識(shí)的雙曲線的離心率問題，抓住題目本質(zhì)，認(rèn)真分析，通過坐標(biāo)法和幾何法等角度切入來解決問題，并在此基礎(chǔ)上不同方式加以探究、拓展、深入，有效實(shí)現(xiàn)“認(rèn)真解答一個(gè)題，拓廣解