東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測(二)數(shù)學(xué)(理科)試題及答案

1、2016年東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù) 學(xué)（理科）沈陽命題：沈陽市第四中學(xué) 吳 哲 沈陽市第二十中學(xué) 何運亮沈陽市第二十七中學(xué)李剛 沈陽市第五十六中學(xué)高文珍沈陽市第二十中學(xué) 王 艷 沈陽市第三十一中學(xué)李曙光沈陽主審：沈陽市教育研究院 周善富 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，其中第卷第22題第24題為選考題，其它題為必考題 注意事項：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)域.2. 第卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定

2、位置書寫作答，在本試題卷上作答無效3. 考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.第卷一選擇題:（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 已知集合，集合，則（ ）a. b. c. d. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且，則（ ） a. b. c. d. 3. 已知向量，則=（ ） a. b. c. 2 d. 44. 已知函數(shù)，則=（ ） a4 b c-4 d5. 已知，且，則的概率（ ） a. b c d. 6. 已知，為第一象限角，則的值為（ ）a. b. c. d.7. 如圖，在長方體中，點p是棱上一點，則三棱錐的左視圖可能為（）

3、否是i=i+1把a的右數(shù)第i位的數(shù)字賦給ti=1b=0開始輸出b輸入a i6結(jié)束 a b c d 主視方向8. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位后的圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在上的最小值為（ ）a. b. c. d. 9. 見右側(cè)程序框圖，若輸入，則輸出結(jié)果是（ ）a. 51 b. 49 c. 47 d. 4510. 已知點是雙曲線： 的右焦點，以為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為，且與雙曲線的實軸垂直，則雙曲線離心率是（） a. b. c. d. 211. 在中，是中點，已知，則的形狀為（ ） a. 等腰三角形 b. 直角三角形 c. 等腰直角三角形 d. 等腰三角形或直角三角形12.

4、偶函數(shù)定義在上，且，當(dāng)時，總有 恒成立，則不等式 的解集為（ ） a. 且 b. 或 c. 且 d. 或第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答二.填空題:（本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上）13. 已知實數(shù)滿足，則的最大值為 .14. 在橢圓上有兩個動點，若為定點，且，則的最小值為 .15. 已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，當(dāng)三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為 .16.設(shè)是一個非空集合，是定義在上的一個運算.如果同時滿足下述四個條件：（）對于，都有；（）對于，都有

5、；（iii）對于，使得；（iv）對于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.則稱關(guān)于運算構(gòu)成一個群.現(xiàn)給出下列集合和運算：是整數(shù)集合，為加法；是奇數(shù)集合，為乘法；是平面向量集合，為數(shù)量積運算；是非零復(fù)數(shù)集合，為乘法. 其中關(guān)于運算構(gòu)成群的序號是_（將你認(rèn)為正確的序號都寫上）.三.解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17. (本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足.（i）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（ii）令，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）某小學(xué)對五年級的學(xué)生進行體質(zhì)測試，已知五年一班共有學(xué)生30人，測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如下（單

6、位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”女生成績在165cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績在165cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”（i）求五年一班的女生立定跳遠成績的中位數(shù)；（ii）在五年一班的男生中任意選取3人，求至少有2人的成績是合格的概率；（iii）若從五年一班成績“合格”的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用表示其中男生的人數(shù)，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望19、（本小題滿分12分）如圖（1），在等腰梯形中

7、，分別為和的中點，且，為中點，現(xiàn)將梯形沿所在直線折起，使平面平面，如圖（2）所示，是線段上一動點，且.（）當(dāng)時，求證：平面；（）當(dāng)時，求二面角的余弦值. 20.（本小題滿分12分）動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設(shè). （i）求點的軌跡的方程； （ii）設(shè)點，過的直線交軌跡于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求的最小值.21. (本小題滿分12分)已知函數(shù)，.（i）若函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（ii）若，證明：，總有.請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分做答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑22.（本小題滿分10分）選修41：幾何證

8、明選講已知四邊形為的內(nèi)接四邊形且，其對角線與相交于點，過點作的切線交的延長線于點.（）求證：；（）若，求證：. 23.（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點在直線上. （i）若直線與曲線交于兩點，求的值； （）設(shè)曲線的內(nèi)接矩形的周長為，求的最大值.24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知使得關(guān)于的不等式成立(i)求滿足條件的實數(shù)的集合；()若，且對于，不等式恒成立，試求的最小值.2016年沈陽市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答給出了

9、一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則.二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一選擇題1.b 2.c 3.b 4.b 5.b 6.c 7.d 8.d 9.a 10.c 11.d 12.b一選擇題1.解：集合b化簡為，依題可見選b.2.解：依題，從而，于是，選c

10、.3.解：由，或用坐標(biāo)法直接計算，選b.4.解：由題，選b. 5.解：由題基本事件空間中的元素有：，滿足題意的有，所以選b.6.解：由題，所以，所以選c.7.解：在長方體中, 三棱錐的左視圖中，、的射影分別是、.所以選d.8.解：由題依題，所以.這樣又，所以，選d .9.解：a.10.解：由題，所以，即離心率為，選c.11.解：如圖，因為，所以，abcd在與中，由正弦定理得，所以，即，所以，從而或，于是或.選d.12解：因為是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于縱軸對稱，所以不等式的解集也應(yīng)是對稱的，所以d排除；當(dāng)時，總有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因為，所以，所以即是恒成立，可見函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為

11、函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減。又，所以，所以的圖象如下：xyo-11所以在時，而，所以成立而在時，而，所以,又由函數(shù)的圖象對稱性可知，選b.二.填空題:13. 4 14. 15. 16.13.解析：14. 解：因為，所以由向量數(shù)量積的幾何意義可知：，又因為點m在橢圓上，則，帶入上式，得，當(dāng)時，取得最小值.15. 解：如圖所示，設(shè)為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知， ，此時三棱柱的體積為，其中. 令，則，令，則，當(dāng)時，函數(shù)增，當(dāng)時，函數(shù)減.故當(dāng)三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為.16.解： 若是整數(shù)集合，則（i）兩個整數(shù)相加仍為整數(shù)；（）整數(shù)加法滿足結(jié)合律；（iii） ,

12、則；（iv），在整數(shù)集合中存在唯一一個，使；故整數(shù)集合關(guān)于運算構(gòu)成一個群；是奇數(shù)集合，為乘法，則,不滿足（iv）；是平面向量集合，為數(shù)量積運算, 則不滿足（i）;是非零復(fù)數(shù)集合，為乘法，則（i）兩個非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；（）非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；（iii） ,則；（iv），在中存在唯一一個，使.三.解答題17.解：(i)由知，2分所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. 4分則，. 6分（ii）， 設(shè)數(shù)列的前項和為，則， 10分當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以. 12分18.解：（i）五年一班的女生立定跳遠成績的中位數(shù)為cm2分（ii）設(shè) “僅有兩人的成績合格”為事件a，“有三人的成績合格”為事件b，

13、至少有兩人的成績是合格的概率為p，則pp（a）+p（b），又男生共12人，其中有8人合格，從而， .4分，所以. 6分（iii）因為女生共有18人，其中有10人合格，依題意，的取值為0,1,2.則，(每項1分)10分因此，的分布列如下：012p（人）（未化簡不扣分）12分（或是，因為服從超幾何分布，所以（人）19.解：（）過點作于點，過點作于點，連接. 由題意， ，2分且，4分又，則，即，可知且平面，則平面. 6分（）以為坐標(biāo)原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系. 由題意，平面的法向量為平面的法向量，即，8分在平面中，即，10分則，又由圖可知二面角的平面角是銳角，所以二面角的

14、大小的余弦值為.12分20.解：（i）設(shè)點，則由，得，因為點在拋物線上，所以，. 4分（ii）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點，則聯(lián)立，得，由韋達定理，得. 6分當(dāng)直線經(jīng)過點即或時， 當(dāng)時，直線的斜率看作拋物線在點處的切線斜率， 則 ，此時；同理，當(dāng)點與點重合時，（學(xué)生如果沒有討論，不扣分）直線不經(jīng)過點即且時， 8分， 10分故，所以的最小值為1. 12分方法二：同上，8分 10分所以的最小值為1. 12分方法三：設(shè)點，由直線過交軌跡于兩點得:,化簡整理得:8分. 10分而 12分21.解：（i）由已知，得2分因為函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，所以方程有解.而恒成立，即有解， 所以.又，所以，. 5分(ii)因為，所以，所以.因為，所以又對于任意，.6分要證原不等式成立，只要證，只要證，對于任意上恒成立. 8分設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，所以,在上，所以.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號）10分設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，所以在上，所以，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號）.綜上所述，因為不可能同時取等號所以，在上恒成立，所以，總有成立. 12分22. 解：（）由可知，2分由角分線定理可知，即得證. 5分（）由，可知，