數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于均值不等式的探討

1、畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文關(guān)于均值不等式的探討discussion on inequality學(xué)院（部）： 理學(xué)院 專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)07-1學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 2011年 6 月 8 日42關(guān)于均值不等式的探討摘要均值不等式是高二教材的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果,用解決最值問(wèn)題、不等式證明以及實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題,具有極為重要的意義。關(guān)鍵詞均值不等式，最值，應(yīng)用discussion on inequalityabstractinequality is a sophomore course content materials, understand

2、and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.keywords：inequality ，the most value，the value of application朗讀顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音字典目錄關(guān)于均值不等式的探討id

3、iscussion on inequalityii1、淺談均值不等式及類型11.1 淺談均值不等式11.1.1均值不等式是攻破最值問(wèn)題的有力武器11.1.2均值不等式用于不等式的證明21.1.3均值不等式的拓展及其相關(guān)結(jié)論21.1.4均值不等式的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和認(rèn)知投入41.2 試談運(yùn)用均值不等式的待定系數(shù)法“套路”51.3 運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧81.4 利用均值不等式求最值的技巧102均值不等式錯(cuò)例及“失效”時(shí)的對(duì)策152.1 均值不等式應(yīng)用錯(cuò)例分析152.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯(cuò)舉例172.3均值不等式求最值“失效”時(shí)的對(duì)策193均值不等式的推廣及應(yīng)

4、用243.1均值不等式的推廣2432應(yīng)用均值不等式的推廣證不等式293.3均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用333.4均值不等式在一類數(shù)列收斂證明中的應(yīng)用373.5例說(shuō)利用均值不等式解應(yīng)用問(wèn)題40參考文獻(xiàn)42謝辭431、淺談均值不等式及類型1.1 淺談均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第二冊(cè)第六章第二節(jié)說(shuō)明,如果a、b是正數(shù),那么 ab,當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“ = ”號(hào)。即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。這個(gè)不等式,我們通常把它稱為均值不等式。對(duì)均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其運(yùn)用條件,便能在解題中快速找到突破口,進(jìn)而找到正確解決問(wèn)題的方法。1.1.1均值不

5、等式是攻破最值問(wèn)題的有力武器對(duì)均值不等式認(rèn)真觀察分析知道,若兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的和有最小值;若兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的積有最大值。最值問(wèn)題在此便略有體現(xiàn)。經(jīng)研究后,歸納出3個(gè)用均值不等式求最值問(wèn)題的適用條件。條件一:在所求最值的代數(shù)式中,各變數(shù)都是正數(shù),否則變號(hào)轉(zhuǎn)換;條件二:各變數(shù)的和或積要為常數(shù),以確保不等式的一端為定值,否則執(zhí)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;條件三:各變數(shù)必須有相等的可能。一個(gè)題目同時(shí)滿足上述三個(gè)條件,或者可以變形成適合以上條件的,便可用均值不等式求,這就幫助學(xué)生在解題時(shí)迅速找到了突破口,從而找到正確方法,快速簡(jiǎn)易地求最值。下面舉出一些實(shí)例

6、。例1:代數(shù)式的最小值是_ 解: =1=3故的最小值是3。例2:若0 x 0, b 0, a + b = 1,求代數(shù)式的最小值解:故滿足條件的代數(shù)式的最小值是9。例5:過(guò)點(diǎn)p (2, 1)作直線l交x , y軸正向于a, b 兩點(diǎn), 求l的方程,使三角形aob 的面積最小。 解:設(shè)直線l的方程為y - 1 = k ( x - 2) , l 與x軸交點(diǎn)為( a, 0) , l 與y軸交點(diǎn)為(0, b) ,其中a 0, b 0, k 0= 2,求的最小值,并求x, y的值。解：當(dāng)且僅當(dāng),即y = 2x時(shí),上式取等號(hào)。故取最小值是3。由 解得即當(dāng)x = 1, y = 2時(shí), 取得最小值31.1.3.

7、 2研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果對(duì)a 0, b 0,作進(jìn)一步研究,顯然有,又由于等價(jià)的均值不等式 因此,對(duì)于a 0, b 0,有三個(gè)重要結(jié)論: ; 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),上面三式取等號(hào),這三個(gè)式子雖然是由均值不等式推廣而得,但掌握并應(yīng)用于解題之中,有時(shí)候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面舉幾個(gè)例子予以說(shuō)明:例10:已知a0, b0, a + b = 1,求代數(shù)式的最大值解:由得。故滿足條件的最大值是。例11:已知a b 0,求的最小值。解:由式得, 所以,故的最小值是16。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c ,求的最小值。解:由式得 所以 =例13:一段長(zhǎng)為l的籬笆

8、圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大的面積是多少?解:設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為，于是,菜園面積為:當(dāng)且僅當(dāng)x =l - x,即時(shí)取等號(hào)。這時(shí)寬為故這個(gè)菜園的長(zhǎng)為,寬為時(shí),菜園面積最大,最大面積是1.1.4均值不等式的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和認(rèn)知投入本人在這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生思維,讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并相互探討,尋求以上例題的解法,直接或變形后運(yùn)用均值不等式及其相關(guān)結(jié)果,學(xué)生感到很輕松,非常感興趣,并能自覺(jué)或不自覺(jué)地用聯(lián)系和理解的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不是依賴于死記硬背的方法,對(duì)完成學(xué)習(xí)任務(wù)有一種愉快的感覺(jué),學(xué)生在領(lǐng)會(huì)知識(shí)方面具有一定的獨(dú)立性,能夠舉一

9、反三,觸類旁通,充分體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱情投入,這一良性循環(huán),對(duì)今后的學(xué)習(xí),對(duì)素質(zhì)的培養(yǎng),將具有深遠(yuǎn)的影響?？傊?對(duì)均值不等式的學(xué)習(xí)研究,理解掌握和運(yùn)用,對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答,對(duì)實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和素質(zhì)的培養(yǎng),都具有極為重要的意義。1.2 試談運(yùn)用均值不等式的待定系數(shù)法“套路”不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 均值不等式是不等式進(jìn)行變形的一個(gè)重要依據(jù), 在應(yīng)用時(shí)不僅要牢記三個(gè)條件“正、定、等”, 而且要善于根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件,利用待定系數(shù)法湊定值是常用的解題技巧, 本文舉例說(shuō)明.例1 已知常數(shù)a , b都是正數(shù),變量x 滿足0

10、 x 0 ,則由1 = x + (1 - x) 及題設(shè)知0 x 1 ,0 1 - x 0 , b 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.解設(shè)m 0 ,則由題設(shè)及均值不等式可知: (1)(1) 式當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).又,即,亦即 (2)顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取到最小值.例3 若a,且a + b = 1. 求證: 證明設(shè)m 0 ,則.由均值不等式得. (1)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).同理可得: (2)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是.由于a + b = 1 , 故可解得將m =

11、1 代入(1) , (2) ,并將兩式相加得即.例4 已知a 0 , b 0 ,且a + b = 1. 求證: .證明設(shè)m 0 , 則由題設(shè)及均值不等式可得: (1)(1) 式當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號(hào).同理可得 (2)(2) 式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).再由題設(shè)及均值不等式可得:. (3)(3) 式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).于是(1) , (2) , (3) 同時(shí)取等號(hào)的條件是. .將分別代入(1) 式, (2) 式可得.兩式相乘得: . 故例5 (第42 屆imo 試題) 已知a 0 , b 0 ,c 0 ,求證: 證明a 0 , b 0 , c 0 ,.為了脫掉根號(hào),設(shè)m 0 ,且 (1) 而 ,故 (2)

12、比較(1) , (2) , 令, 則可得,代入(2) 得: . 又 , 故 (3)同理可得: (4) (5)由(3) , (4) , (5) 相加知: .思考題1 已知 ,且a + b + c = 1.求證: . (提示:1)可利用 ;2) 可推知. )思考題2 已知a + b + c = 1 , 求 的最大值. (答案: . )1.3 運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時(shí)往往需要采用“ 拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來(lái)求解，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果!1.3.1 拆項(xiàng)例1（原人教版課本習(xí)題）已知n0, 求證：

13、證明：因?yàn)閚0，所以 當(dāng)且僅當(dāng)n=2 時(shí)等號(hào)成立!1.3.2 拆冪例2 (1993年全國(guó)高考題）如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)為定值，那么圓柱體積的最大值（） a b. c. d. 解 設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則2h+4r= ，即 所以 ，故選 a.1.3.3 升冪例3 設(shè)，求的最大值. 解 因?yàn)?，所?，所以 所以當(dāng)且僅當(dāng)即tanx=時(shí)等號(hào)成立，故.1.3.4 整體代換 例4 已知，且x+2y=1，求證：證明：因?yàn)?，x+2y=1，所以. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.1.3.5 平衡系數(shù)例5 用總長(zhǎng)14.8米的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5米，那么高為多少時(shí)容

14、器的容積最大？并求出它的最大容積!解 設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x 米，則另一邊長(zhǎng)為x+0.5 米，并設(shè)容積為y ，其中容器的高為，0x0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值.總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，靈活運(yùn)用均值不等式.1.4 利用均值不等式求最值的技巧均值不等式 ( a 0 , b 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立) 是一個(gè)重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問(wèn)題. 對(duì)于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技巧.1.5.1 配湊1) 湊系數(shù)例1 當(dāng)0 x 4 時(shí),求

15、= x (8 - 2 x) .解析由0 x 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為2 個(gè)式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 - 2 x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可. ,當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 8 - 2 x 即x = 2 時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)x = 2時(shí), y = x (8 - 2 x) 的最大值為8.點(diǎn)評(píng)本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 湊項(xiàng)例2 已知 ,求函數(shù)的最大值.解析由已知4 x - 5 0 ,.當(dāng)且僅當(dāng)即x = 1 時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng)本

16、題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值.3) 分離例3 求的值域.解析本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離.當(dāng)x + 1 0 ,即x -1 時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時(shí)取“ = ”號(hào)) .當(dāng)x + 1 0 ,即x 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負(fù)) 的形式,然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求.鏈接練習(xí)1. 某公司一年購(gòu)買某種貨物400 t ,每次都購(gòu)買x t ,運(yùn)費(fèi)為4 萬(wàn)元/ 次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4 x 萬(wàn)元. 要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x = t .2. 若a、b、c 0 且a( a + b + c) + bc = ,則

17、2 a + b + c的最小值為( ) .a ; b ; c ; d 3. 已知 、 為雙曲線的2 個(gè)焦點(diǎn), p 為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn), o為坐標(biāo)原點(diǎn). 下面4 個(gè)命題中真命題的代號(hào)是(寫出所有真命題的代號(hào)) .a 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = a 上;b 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = b 上;c 的內(nèi)切圓的圓心必在直線o p 上;d 的內(nèi)切圓必通過(guò)點(diǎn)( a ,0) .4. 設(shè)a 0 , b 0 ,則下列不等式中不恒成立的是( ) .a ; b ;c ; d5. 已知平面上點(diǎn) ,求滿足條件的點(diǎn)p 在平面上所組成的圖形面積.鏈接練習(xí)提示及答案1. 20. (提示:可知共購(gòu)買次,所求即

18、取最小值時(shí)x 的值,由均值不等式, ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即x = 20 時(shí)取到. )2. d. 提示:由a( a + b + c) + bc = ,得( a + b) ( a + c) = ,則 .3. a. 提示: 如圖3 , 設(shè)的內(nèi)切圓與各邊交點(diǎn)是a 、b 、c,有 , , ,結(jié)合雙曲線的第一定義,有 , 即 , 由圓m 與x軸相切, 設(shè)m ( m, n) , 則m = a , 即的內(nèi)心m 恒在直線x =a 上.4. b. 提示:可證選項(xiàng)a、c、d 都是正確的,也可舉反例確定b不恒成立,如a = 3 , b = 4 ,則 ,而.5. 動(dòng)點(diǎn) 在圓上,又 = 4 ,故點(diǎn)p的軌跡是到原點(diǎn)的距離不小于2

19、 且不大于6 的點(diǎn)的集合,圖形實(shí)際是一個(gè)圓環(huán)面,可得所求面積是32.1.5.2整體代換例4 已知a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.解析當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ = ”號(hào).由 ,得,即時(shí),的最小值為.點(diǎn)評(píng)本題巧妙運(yùn)用“1”的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值.1.5.3 換元例5 求函數(shù)的最大值.解析變量代換,令 ,則 ( t 0) ,則,當(dāng)t = 0 時(shí), y = 0 ,當(dāng)t 0 時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即 時(shí)取“= ”號(hào), 所以時(shí), .點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)變量代換,使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化,而且將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問(wèn)題,從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)設(shè)有利條件.1.5

20、.4取平方例6 求函數(shù) 的最大值.解析注意到2 x - 1 與5 - 2 x 的和為定值,.又y 0 ,所以,當(dāng)且僅當(dāng)2 x - 1 = 5 -2 x ,即 時(shí)取“ = ”號(hào),所以點(diǎn)評(píng)本題將解析式2 邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件.總之,我們利用均值不等式求最值時(shí),一定要注意“一正二定三相等”,同時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式.鏈接練習(xí)1. 當(dāng)0 x 0 , y 0 ,且,求x + y 的最小值.5. 已知a 0 , b 0 , c 0 ,且a + b + c = 1 ,求證:.鏈接練習(xí)參考答案1. ; 2. 5 ; 3. 8 ; 4. 4/ 9 ;5

21、. 提示: , , 三式相乘即可.2均值不等式錯(cuò)例及“失效”時(shí)的對(duì)策2.1 均值不等式應(yīng)用錯(cuò)例分析均值不等式在初等數(shù)學(xué)中有著非常重要而廣泛的應(yīng)用, 然而學(xué)生往往對(duì)均值不等式“一正, 二定, 三相等”這個(gè)條件理解不透或運(yùn)用不慎, 出現(xiàn)下面常見的錯(cuò)誤。2.1.1 漏記“一正”條件致誤 例1: 求函數(shù)的值域。在均值不等式a其中, 錯(cuò)解: 故得結(jié)論: y4,+)上述解法中, 僅僅具備了相等、定值這兩個(gè)條件, 是否均為正數(shù)呢? 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)? - , 0)u( 0, +) , 顯然, “一正”條件不夠充分的情況下, 貿(mào)然使用均值不等式, 得出不完全正確的結(jié)論。所以在運(yùn)用公式前, 應(yīng)先檢查公式的條件

22、是不是已滿足, 若不滿足, 應(yīng)創(chuàng)造條件應(yīng)用公式或改用其它途徑去解決問(wèn)題。解: 當(dāng)x0 時(shí), 可以滿足“一正, 二定, 三相等”可得y4當(dāng)x0 b0 a+b=1 求函數(shù)的最小值。錯(cuò)解: 故, s 取得最大值8根據(jù)均值不等式取等號(hào)的充分必要條件是每個(gè)數(shù)皆相等, 否則: 則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實(shí)上: 其中等號(hào)在時(shí)取到。故當(dāng)a=b=時(shí), s 取得最小值9。例3: 用總長(zhǎng)14.8m 的鋼條制作長(zhǎng)方體容器框架, 如果所制作容器框架的底邊的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 米, 當(dāng)長(zhǎng)方體的高為多少時(shí), 容器的容積最大? ( 2002 年數(shù)學(xué)高考題)

23、錯(cuò)解: 設(shè)則 是定值長(zhǎng)方體容器最大值為3.7 立方米事實(shí)上, x+0.5=3.2- 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結(jié)果為錯(cuò)誤的。但作適當(dāng)系數(shù)調(diào)整就滿足“相等”這個(gè)條件。 是定值 且3x=2x+1=8- 5x 的值存在, 為x=1, 則高為1.2 時(shí), 長(zhǎng)方體容器容積最大立方米。例4: 三棱錐, s-abc 的例棱, sc與底面垂直,sa=sb=a ab=2.sc求此三棱錐體積v 的最值。錯(cuò)解: 如圖所示, 設(shè)ab 中點(diǎn)為d, 連結(jié)cd, 令ab=2x,則sc=x 顯然ac=bc cd 是等腰三角形abc 底邊上的高,即: 當(dāng) 即時(shí), 三棱錐體積v 取得最大值, v 最大這

24、里得出的結(jié)果是對(duì)的, 但推理的依據(jù)卻是錯(cuò)的。原因在于忽略了 不是定值這一點(diǎn)。即不滿足一正, 二定, 三相等, 這個(gè)條件。解: 而是定值。可見當(dāng)即時(shí)三棱錐體積v 取得最大值。以上例子分析, 在使用均值定理時(shí)一定要搞清楚, 只有在“一正,二定, 三相等”都同時(shí)具備時(shí)方能使用公式, 否則得出的結(jié)論不可靠,甚至是錯(cuò)誤的結(jié)論。以上幾例僅是均值不等式應(yīng)用中的幾種常見錯(cuò)誤, 僅供老師們?cè)诮虒W(xué)中參考使用, 以引導(dǎo)學(xué)生找出錯(cuò)誤所在, 并且弄清產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因, 從而提高糾正錯(cuò)誤和正確應(yīng)用均值不等式的能力。2.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯(cuò)舉例用“ 均值不等式”求最值是求最值問(wèn)題中的一個(gè)重要方法, 也是高考考

25、查的一項(xiàng)重要內(nèi)容, 運(yùn)用這種方法有三個(gè)條件:(1)正; (2)定; (3)相等。在此運(yùn)用過(guò)程中, 往往需要對(duì)相關(guān)對(duì)象進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤糯蟆⒖s小, 或不等式之間進(jìn)行傳遞等變形, 在此過(guò)程中, 學(xué)生常常因?yàn)楹鲆晽l件成立而導(dǎo)致錯(cuò)誤, 而且錯(cuò)誤不易察覺(jué)。2.2.1 忽視均值不等式中的各項(xiàng)為“ 正”致錯(cuò)例1 求的值域。錯(cuò)解因?yàn)樗栽u(píng)注雖然的積是常數(shù), 但x- 1 不一定是正數(shù), 因此解法是錯(cuò)誤的。正確解當(dāng)x1 時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即x=2 時(shí)等號(hào)成立; 當(dāng)x1 時(shí), , 所以y- 1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)取 等號(hào),所以原函數(shù)的值域?yàn)?.2.2 忽視均值不等式中的等號(hào)成立條件致錯(cuò)例2 求的最小值。錯(cuò)解, 所以y

26、 的最小值是2。評(píng)注在y2 中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即, 這是不可能的, 所以等號(hào)不成立,故y 的最小值不是2。正確解 因, 令, 則(t2), 易證在2,+)上遞增,所以y 的最小值是, 當(dāng)且僅當(dāng)t=2 時(shí), 即, x=0, 取“ =”號(hào)。例3 若正數(shù)x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。錯(cuò)解 因, 于是, 故的最小值是。評(píng)注這里中, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=y 時(shí)取“ =”號(hào)。而中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即x=y 時(shí)取“ =”號(hào), 這兩個(gè)式子不可能同時(shí)成立, 因此不是的最小值。正確解, 當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)(此時(shí))取“ =”號(hào), 故的最小值是。例4 實(shí)數(shù)x、y、m、n 滿足, 且, 求的最大值。錯(cuò)解 因, 所以,

27、故的最大值是。評(píng)注 這里兩次用到了均值不等式, 當(dāng)且僅當(dāng)m=x 且n=y 時(shí)取“ =”號(hào), 于是, 即與已知矛盾, 因此等號(hào)不成立, 故的最大值不是.正確解, 所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ =”號(hào)。故的最大值是 (本題也可用三角代換解。)2.2.3 忽視均值不等式中的定值致錯(cuò)。例5 若正數(shù)x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。錯(cuò)解: , 當(dāng)且僅當(dāng)x=y 且x+2y=6, 即x=y=2 時(shí)取“ =”號(hào), 將其代入上式, 可得xy 的最大值為4。評(píng)注 初看起來(lái), 很有道理, 其實(shí)在用均值不等式求最值時(shí), 在各項(xiàng)為正的前提下, 應(yīng)先考慮定值, 再考慮等號(hào)是否成立。但在中, x+y 不是定值, 所以x

28、y 的最大值不是4 .正確解因, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y 時(shí)(此時(shí))取“ =”號(hào), 所以.在教學(xué)過(guò)程中, 這些錯(cuò)誤屢見不鮮, 為解決這個(gè)問(wèn)題, 筆者認(rèn)為, 不妨采用“ 挫折”教育, 如例題出示后, 不加任何啟發(fā), 讓學(xué)生大膽嘗試, 積極探索, 對(duì)出現(xiàn)的每一個(gè)問(wèn)題, 不必急于評(píng)價(jià), 而放手讓學(xué)生討論, 反思和質(zhì)疑, 讓他們自己在辨析中總結(jié)規(guī)律, 在“ 挫折”中形成知識(shí), 深刻思維。這樣經(jīng)過(guò)多次反復(fù), 會(huì)收到良好的效果。2.3均值不等式求最值“失效”時(shí)的對(duì)策運(yùn)用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻, 不少同學(xué)在使用時(shí)往往顧此失彼,從而導(dǎo)致均值不等式“失效”. 下面例說(shuō)幾種常用的處理策

29、略.2.3.1 化負(fù)為正 例1 已知0 x 1 ,求的最大值.分析本題滿足 為定值,但因?yàn)? x 1 , lgx 0 , 所以此時(shí)不能直接應(yīng)用均值不等式,需將負(fù)數(shù)化正后再使用均值不等式.解0 x 1 , lgx 0 , , 即y - 4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立, 故2.3.2 平衡系數(shù)例2 求y = x(1 - 2x) 的最大值.分析x +(1 - 2 x) 不是定值,但可通過(guò)平衡系數(shù)來(lái)滿足和為定值.解 . 當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 1 - 2 x ,即時(shí)等號(hào)成立. 故2.3.3 添項(xiàng)例3 已知a b 0 , 求的最小值.分析不是定值,但可通過(guò)添項(xiàng)、減項(xiàng)來(lái)滿足積為定值.解. 當(dāng)且僅, 即a = 8

30、,b = 4時(shí)等號(hào)成立. 故.2.3.4 拆項(xiàng)例4 已知0 x 0 , y 0 , ,求x + y 的最小值.分析若直接運(yùn)用均值不等式, 則需使用兩次均值不等式,即由,得xy16 ,再由,得x + y 8 ,但此時(shí)兩次均值不等式中等號(hào)成立的條件不一致,從而x + y 8 中等號(hào)不能成立. 但若將x + y 乘1 ,則只需使用一次均值不等式即可.解當(dāng)且僅當(dāng),且 ,即x = 3 , y = 6時(shí)等號(hào)成立,故2.3.8 取倒數(shù)例8 已知x 0 ,a ,b 為正常數(shù), 求 的最大值.解析 , 當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立.故2.3.9 三角代換例9 求 的最小值.分析不是定值,但由0 x 2 可用三角代換來(lái)創(chuàng)

31、造積為定值.解0 x 0 ,且, , .當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z 即a = b = c 時(shí)等號(hào)成立. 故.評(píng)注通過(guò)換元, 把陌生的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為重要不等式的形式,證題思路自然流暢.2.3.11 對(duì)偶代換例11 已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.證明, x + 2 y = 1 , 可設(shè), ,則當(dāng)且僅當(dāng), 即 , , 時(shí)等號(hào)成立. 故的最小值為.2.3.12 公差代換例12 若a , b 是正實(shí)數(shù), 且a + b = 1 , 求 的最小值.解a + b = 1 , a , , b 是等差數(shù)列,設(shè)公差為d ,則, d = 0 即a = b =時(shí), 有最小值9.2.3.13用向量例13 已知

32、 , ,求ax + by的最大值.分析直接運(yùn)用均值不等式時(shí),等號(hào)成立的條件為a = x 且b = y ,從而 ,即4 = 9 ,顯然等號(hào)不能成立,故不能直接運(yùn)用均值不等式, 但此時(shí)利用向量則可迅速求出最值.解法1 令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 則由內(nèi)積的性質(zhì)m n | m| | n| ,得ax + by 6 ,當(dāng)且僅當(dāng)m與n 同向即時(shí)等號(hào)成立,故ax + by 的最大值為6.本題也可用柯西不等式求解.解法2 由柯西不等式 ,得 ,即| ax + by| 6 ,故ax + by 的最大值為6.2.3.14 用函數(shù)的單調(diào)性例14 求函數(shù)的最小值.分析直接運(yùn)用均值不等

33、式 時(shí), 等號(hào)成立的條件為, 即, 無(wú)解, 所以等號(hào)不可能成立. 故不能直接用均值不等式求最小值,需另辟蹊徑,可利用函數(shù)的單調(diào)性解決.解設(shè),則 .易證函數(shù)在t 2 , + ) 上是增函數(shù), t = 2 即x = 0 時(shí), 2.3.15運(yùn)用放縮例15 求函數(shù) 在x 1 , +) 上的最小值.分析此題看似無(wú)法使用均值不等式, 但可運(yùn)用兩次放縮便可達(dá)到求解目的.解.以上兩個(gè)“ ”號(hào)中“= ”成立的條件都是x = 1. y 的最小值為- 2.3均值不等式的推廣及應(yīng)用3.1均值不等式的推廣3.1.1 引言均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一.巧妙地應(yīng)用此不等式在求

34、最值,比較大小,證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據(jù)之一.定理a(均值不等式) 設(shè)為n 個(gè)正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有: 引理(jensen 不等式）若函數(shù)f在區(qū)間i上存在二階導(dǎo)數(shù),且有f(x)0,則有其中xii,qi 0,i=1,2,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1 q1=x2 q2=xnqn時(shí)等號(hào)成立;若f(x)0,不等式反號(hào).3.1.2 主要結(jié)論定理1 設(shè) 0， 0，i1，2，n,則 (1)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； (2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。證明 設(shè)f（x）lnx，x（0，+）,則f（x）= 0,i 0,i=1,2,n,且 (3

35、)由jensen 不等式得 由y=lnx 的單調(diào)性知 由jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.由于 0, 0,i=1,2,n 及(3)式,運(yùn)用jensen 不等式得從而有由jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.注1:當(dāng) 時(shí),定理1 即為定理a(均值不等式) 推論1 設(shè)0, 0,i=1,2,n,則 (4)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； （5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立證明 由, 0，i=1,2,n,及(1)得即由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.由，i=1,2,n,及(2)得即由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.推論1 得證推論2 設(shè) 0， 0，i=1,2,n,且,

36、則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.注2：當(dāng)q=1時(shí)，則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.例1 試證對(duì)任意正數(shù)a，b，c,d，有證明 在(4)中令n3,得令 , , , , 得 例2 設(shè)n 為自然數(shù),n2, 試證證明 由(5)得取i，1 ，i1，2，n,由(6)得又取i，1 ，i1，2，n,由(6)得從而有例3 設(shè)n 為自然數(shù),n2,試證 證明 記上式的左端為 ,對(duì)任意p0,有由(6)得令，得32應(yīng)用均值不等式的推廣證不等式文1 用列表法證明了算術(shù) 幾何平均數(shù)不等式的推廣.本文應(yīng)用均值不等式的推廣證明一些不等式.為了閱讀方便，將均值不等式的推廣擇錄如下:符號(hào) a =a()與=()分別表

37、示非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù).推廣 設(shè)由n行和k列組成的長(zhǎng)方形表中，全部填寫著非負(fù)實(shí)數(shù):第一行填寫 ;第二行填;第n行填寫、在每一行中計(jì)算幾何平均數(shù)并分別用 表示.在每一列中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)并分別用 表示(表1). 則()a() (*) (證明詳見文1).特別 ，當(dāng) 長(zhǎng)方形表為nn 的正方形表時(shí)(如表2填寫法)，便得到;.因此.即(*)式是均值不等式的推廣.課程卷頻頻出現(xiàn)這類綜合題.例6 由原點(diǎn)向曲線引切線，切于異于點(diǎn)的點(diǎn)，再由引此曲線的切線，切于不同于的點(diǎn)，如此繼續(xù)地作下去，得到點(diǎn)(i )求;(ii )求與的關(guān)系;(iii )若 a0，比較與a的大小，并加以證明.解 (i)因?yàn)?所以切線

38、的斜率為,而的斜率又為.于是=.因?yàn)?故 (ii)切線的斜率為,而直線的斜率又為.于是 = .整理得但 所以=0(iii)設(shè),得,令得.故數(shù)列是以合為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 0，故a; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 0，故 0, 證明證明:作3x2長(zhǎng)方形表: 由(*)式，得，即兩邊 平 方 ，整理得例 2 ( 2001)年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明:對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b ,。，均有證明作 3x3正方形表：由(*)式，得，即兩邊立方，化簡(jiǎn)，得例3(第 24屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如果正數(shù)的和為1，則證明 作nx2長(zhǎng)方形表: 由(*)式，得注意到，將上述不等式兩邊平方，整理，即得例4 (2003年

39、第64屆普特蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)和都是非負(fù)實(shí)數(shù).證明證明 作2x n長(zhǎng)方形表:由（*）式得即例5 (第36屆imo試題)設(shè)a,b ,c為正數(shù)，且abc=1.試證證明 作3x2長(zhǎng)方形表由（*）式，得注意到abc=1，兩邊平方，整理，得 即例6 (第39屆imo備選題)已知，且xyz=1求證 證明 作3x3正方形表由（*）式，得由均值不等式，得注意到xyz=1，化簡(jiǎn)，得例 7 (第31屆imo備選題)設(shè)a,b ,c,d0,且 ab+bc+cd+da=1。求證證明 作4x2長(zhǎng)方形表:由（*）式，得因?yàn)榇肷鲜阶蠖?，所以上述不等式兩邊平方，整理，?.3均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極限概念是高等數(shù)學(xué)中的重

40、要概念， 極限理論是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論。高等數(shù)學(xué)中有許多重要的概念都是以極限形式來(lái)定義的。而極限概念是用不等式刻畫的。這就決定了不等式運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算之一， 因此作為基本不等式之一的均值不等式在解決高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用。3.3.1 證明重要極限的存在性。 證明：先證數(shù)列單調(diào)遞增。令，則由均值不等式得即 所以數(shù)列單調(diào)遞增。再證數(shù)列有上界。下面的證明可以看到一個(gè)更強(qiáng)的命題： 數(shù)列以（ k 為正整數(shù)） 為上界。先證不等式：當(dāng)nk 時(shí)，.設(shè) ，.由均值不等式 因此， 其次由，有當(dāng)nk 時(shí)， 任取一個(gè)正整數(shù)k，均是數(shù)列的上界。又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增， 當(dāng)nk 時(shí)， 不等式仍然成立。因此

41、， 對(duì)于數(shù)列（ n=1，2） 恒有（ k 為正整數(shù)） 。任意選定一個(gè)k值，均是數(shù)列的上界。所以數(shù)列單調(diào)有界， 由單調(diào)有界定理， 數(shù)列極限存在。設(shè)極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數(shù)列極限存在且其極限也是e。證明如下：記所以數(shù)列 單調(diào)減少，且 數(shù)列收斂，且極限也是e。由上面的結(jié)果有，兩邊取對(duì)數(shù)有由此可以證明數(shù)列收斂。（ 其極限稱為euler 數(shù)）3.3.2 求極限解：利用因?yàn)橛?，?.3.3 證明積分不等式例1 2 證明：若函數(shù)f（ x） 在 a，b 連續(xù)，且x a，b ，有f（ x）0，則證明：利用的變形.由已知條件：與在 a，b 上均可積。應(yīng)用積分定義，將區(qū)間 a，b

42、進(jìn)行n 等分。取極限（ n） 則有例2 2 證明：若函數(shù)在 a，b 上是正值可積的，k=1，2n，且0ab，則證明：利用有于是：即例3 設(shè)f （ x） 在 ， 上非負(fù)連續(xù)， 證明：證明：由題設(shè)知f（ x） ，1nf（ x） 在 ， 上可積，將 ， n 等分，作積分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的結(jié)論僅僅是著名的jensen 不等式的一個(gè)特例。注2：jensen 不等式： 設(shè) 是在集 內(nèi)的代數(shù) 上的正測(cè)度，使得（ ） ，若f 是內(nèi)的實(shí)函數(shù)，對(duì)所有的x，af（ x） 0. 由定理2有 其中 1,故“ =”不成立,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,又因?yàn)?其中,故“ =”不成立,故,即上式對(duì)一切偶數(shù)成

43、立, 又為單調(diào)遞增數(shù)列, 故對(duì)一切正整數(shù)n, 有 0,則數(shù)列有下界.根據(jù)定理1推論2,數(shù)列收斂.問(wèn)題三:證明數(shù)列收斂證明由猜想數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.下面要明證化簡(jiǎn)得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列. 又,由問(wèn)題一知. 所以數(shù)列有上界.由定理1推論1,數(shù)列收斂.綜上問(wèn)題的證明過(guò)程中,有一定的分析的思路,過(guò)程簡(jiǎn)潔,比較容易理解.3.5例說(shuō)利用均值不等式解應(yīng)用問(wèn)題 要解決實(shí)際問(wèn)題, 需要運(yùn)用數(shù)學(xué)模型, 而某些數(shù)學(xué)模型常用到不等式的知識(shí),尤其是均值不等式.本文試舉例說(shuō)明均值不等式在解實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 例1 小強(qiáng)家住農(nóng)村,十月一日國(guó)慶節(jié)回家,正趕上父親收割莊稼,由于今年大豐收糧食太多,自家糧倉(cāng)全部裝滿, 還剩下很多. 這時(shí)爸爸想出一個(gè)主意,決定用一塊長(zhǎng)方形木板, 借助兩面成直角的墻,在屋子的墻角處圍成一個(gè)直三棱柱的谷倉(cāng), 木板可立,可橫. 小強(qiáng)心想,這么多糧食,怎樣圍才能裝最多的糧食呢? 經(jīng)過(guò)測(cè)算,小強(qiáng)得出滿意的答案,向父親提供了建議,請(qǐng)你敘述小強(qiáng)的做法. 如果換成任意的兩面墻,如何處理?解小強(qiáng)用直