小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)

1、任意四邊形、梯形與相似模型4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 1 of 17模型三蝴蝶模型（任意四邊形模型）任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:D4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17S1: S2 = S4: S3或者 S S3 =S2 S4 AO : OC =S S2 : S4 S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊 形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系?！纠?】（小數(shù)報(bào)

2、競賽活動(dòng)試題）如圖，某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線 AC BD分成四個(gè)部分， AOB面積為1平方千米， BOC面積為2平方千米， COD勺面積為3平方千米，公園由陸地面積是6. 92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【分析】根據(jù)蝴蝶定理求得 Saod =3 1-2=1.5平方千米，公園四邊形 ABCD的面積是12 3 45 = 7.5平 方千米，所以人工湖的面積是7.5-6.92=0.58平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形BGC的面積；（2）

3、AG:GC= ?4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】根據(jù)蝴蝶定理，Sbgc 1=2 3，那么Sbgc=6 ；根據(jù)蝴蝶定理，AG:Gj：1 2:36 =1:3 . （?）4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【例2】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0（如圖所示）。如果三角形 ABD的面積等于三角形 BCD的面積的1，且A0 =2，D0 =3，那么CO的長度是DO的長度的 倍。34- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 2 of 17【解析】在本題中，

4、四邊形 ABCD為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形?？吹筋}目中給出條 件SABD : S BCD =1:3，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已 知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來改 造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。 再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請老師注意比較兩種解法，使 學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定

5、理解決問題。解法一 ：T AO : OC =Sabd：sbdc -1:3 ,0C=2 3=6 ,OC:OD =6:3 =2:1 解法二：作 AH _BD 于 H , CG_BD 于 G S.ABD = S.BCD ,1 AH CG ,3-S Aod S Doc ,1 AO CO ,30C=2 3=6 , OC:OD =6:3 =2:1 【例3】如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于 0點(diǎn)，ACEF、OEF、ODF、BOE的面積依次是 2、4、4和6。求：求 AOCF的面積；求 AGCE的面積?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知， BCD的面積為2 4 4 16，那么 BCO和 CDO的面積都是16亠2 =8

6、 ,所以AOCF的面積為8-4=4;由于 BCO的面積為8, BOE的面積為6,所以AOCE的面積為8-6=2 ,根據(jù)蝴蝶定理，EG：FG =S-coe：Scof =2:4 =1:2，所以 S.gce：S.gcf = EG : FG =1:2 ,1 12那么 S gceS ceF 2 二1+2334- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 3 of 17【例4】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了 4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？D4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 4 of 17【解析

7、】 在L ABE，LCDE中有.AEB = . CED，所以L ABE，LCDE的面積比為(AE EB) :(CE DE)。同理有 LADE , L BCE 的面積比為(AE DE)：(BE EC)。所以有 Sabe xScde = Sade xSbce，也就是 說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個(gè)部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。即Sabe 6= Sade 7 ,所以有L ABE與L ADE的面積7G比為 7:6 , Sabe =39 =21 公頃，Sade =39 =18 公頃。6+76+7顯然，最大的三角形的面積為21公頃。1，則圖

8、中陰影三角形的面積【例5】(2008年清華附中入學(xué)測試題)如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是為?！窘馕觥窟B接AD、CD、BC。則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到ABC的面積為：1 4 -2 , ACD的面積為:24 .ABD的面積為：21=3 .24 412所以 BO: 0D = S abc : S acd 2:3.5 4:7，所以 S aboS abd3 = 4+711113 ? _1 =3.5 ,2【鞏固】1，求三角形 ABC的面積。5 510【解析】因?yàn)?BD:CE =2:5，且 BD /CE，所以 DA:AC=2:5 , SABc 二一, SDB- 2 =昱.2 + 577【例6】(2007年人大

9、附中考題)如圖，邊長為1的正方形 ABCD中，BE=2EC , CF二FD，求三角形 AEG4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】的面積.連接因?yàn)橐驗(yàn)锽E =2EC ,CF =FDS aedABCD所以S def，根據(jù)蝴蝶定理,111=()S ABCD232江1 1 AG:GF :2 12二 6:1 ,ABCD .6 1S ABCD74 L_ _1S AGE =S AED - S AGD =? S|_ABCD2 即三角形AEG的面積是-.7所以所以S agd =6S g DFS14 -ABCD .32S ABCD S ABCD

10、14 -7 -如圖，長方形 ABCD中, 方形ABCD的面積.連接AE，F(xiàn)E .因?yàn)?BE: EC =2:3 , DF、 1 因?yàn)镾a長方形ABCD ,方厘米.因?yàn)?Safd如圖，已知正方形 形BDG的面積.BE:EC =2:3， DF : FC =1:2:FC =1: 2 ,AG:GF J三角形DFG的面積為2平方厘米，求長所以S def1 5:1 2 101S長方形ABCD , 所以長方形6ABCD的邊長為10厘米,1 1)S長方形ABCDS長方形ABCD 210所以Sagd =5Sgdf -10平方厘米，所以SafdABCD的面積是72平方厘米.=12平E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，G為B

11、F中點(diǎn)，求三角設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為0，連接BE、 DF .1由蝴蝶定理可知 EO:OC二S BED : S BCD , 而 S BEDABCD , S BCD4-1S2 S ABCD ,4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 6 of 171所以 EO:OC 二Sbed：Sbcd =1：2，故 E0 二EC 31由于 F 為 CE 中點(diǎn)，所以 EF EC，故 EO:EF=2:3 , FO:EO=1:2 21 1由蝴蝶定理可知 S BFD : S BED = FO ： EO =1:2，所以 S BFD S BED S ABCD ,- 2 8 11 1 、那么 S_bgdS bfd S

12、 abcd10； 10 =6.25 （平方厘米） u 2 - 16 - 16【例9】如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊 AC、BC上，BM與AN相交于O,若.AOM、厶ABO和BON的面積分別是 3、2、1MNC的面積是 4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 7 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解.根據(jù)蝴蝶定理得S mon =Sao7.鑒二工S営ob22設(shè)S mon -X，根據(jù)共邊定理我們可以得解得 x=22.5.S ANM _ S ABMS MNC SMBC【例10】（2

13、009年迎春杯初賽六年級）正六邊形AA2AA4A5A6的面積是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米.【解析】如圖，設(shè)B6A2與BA的交點(diǎn)為O,則圖中空白部分由6個(gè)與 A2OA3 一樣大小的三角形組成，只要求出了A2OA3的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積.連接 AsAb、B6B1、B6A3 設(shè) A1B1B6的面積為” 1 “，則BAB6面積為” 1 “，UAA2B6面積為” 2 “，那么=AeA3B6面積為 1A2B6 的2倍，為” 4 “，梯形A1A2A3A6的面積為2 2 4 2 =12 , A2B6A3

14、的面積為” 6 “，BAzAb的 面積為2 根據(jù)蝴蝶定理,B - A3O =S B1A2B6 : S A3A2B6=1： 6，故 S a2 A32所以S a2a3 : S梯形A a2a3a6: 1 2： 1 : 7，即.AOA3的面積 為梯形 AAAA面積的7 ,故為六 邊形3人心入民人人面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的 6二-，所以陰影部分面積為41472009： 11-? =1148（平方厘米）I 7丿4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 8 of 17板塊二梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 9 o

15、f 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17 S1:S3 二a2:b222 Si: S3: S? : S4 = a : b : ab: ab ； S的對應(yīng)份數(shù)為 a b .梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié) 論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明）【解析】【例11】 如圖，S =2 , S3 =4，求梯形的面積.2Sa=4=b,所以b=2 ;又因?yàn)镾2二a b，所以2a =1 ;那么 S=a=1,S4=ab =2，所以梯形面積 SiS2S3S4 12

16、49，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，S二aF2 = 1,22=9 .【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營）如下圖，梯形 ABCD的AB平行于CD，對角線AC , BD交于O,已知厶AOB與厶BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形 ABCD的面積是 平方厘米.【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob ：S_boc =a2：ab =25: 35 ,可得a:b=5:7 ,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，2 2 2 2Saob : S DOC二a :b =5:7 =25:49 ,所以S doc =49 （平方厘米）.那么梯形ABCD的面積為25353549二 14平方厘米）.【例12】梯形ABCD的對角線AC

17、與BD交于點(diǎn)O ,已知梯形上底為 2,且三角形 ABO的面積等于三角形BOC面積的-，求三角形 AOD與三角形BOC的面積之比.3【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob ：S BOC =ab:b2 =2:3，可以求出a:b=2:3 ,2 2 2 2再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S aod : S BOC二a :b =2 :3 =4:9 .通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個(gè)問題，而沒有像以前一樣，為了某個(gè)條件的缺乏而千 辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論.【例13】（第十屆華杯賽）如下圖，四邊形 ABCD中，對角線AC和BD交于0點(diǎn)，已知 A0 =1，并且三角形ABD的面積三角形

18、CBD的面積，那么0C的長是多少?5【解析】根據(jù)蝴蝶定理,三角形窗豐積血，所以空工，又A0.1，所以CO三角形CBD的面積 COCO 53【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2，問三角形 AOD的面積是多少?AD4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 11 of 17【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，a : b =1:1.5= 2:3 ， S OD : S boc = a2 : b2 = 22:32 = 4:9， 所以 S AOD =4 cm2 .【鞏固】如圖，梯形 ABCD中， AOB、 COD的面積分別為1.2和2.7 ,求梯形ABCD的面積.AD【解析】根

19、據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOB :S ACOD二a2：b2=4:9，所以a:b=2:3 ,23Saod : S aob ab : a b: a = 3: 2 , S AOD - S COB一 2S弟形ABCD =1.21.8 1.82.7 =7.5 .4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【例15】如下圖，一個(gè)長方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11，三角形BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 12 of 17【解析】如圖，連結(jié)EF，顯然四邊形 ADEF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得

20、到三角形EFG的面積等于三角形 ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形 EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積 是 11 23 =34.【鞏固】（人大附中入學(xué)測試題）如圖，長方形中，若三角形 1的面積與三角形 3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三角形1的面積為4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角45形3,所以1的面積就是36 16 , 3的面積就是36 20 .4+54 + 5【例16】M是A

21、D邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以 AM :BC =1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道amg : abg : mcg : Sbcg 二1 ： 2）：（ 2）：2 =1：2：2：4，設(shè) Sa agm = 1 份，則 Sa mcd =1*2=3 份, 所以正方形的面積為1 2 2 4 12份，S陰影=2 2 =4份，所以S陰影：S正方形=1:3 ,所以S陰影=1 平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形 ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平 方厘米，那么正方形 AB

22、CD面積是平方厘米.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】連接DE ,根據(jù)題意可知BE: AD =1:2 ,根據(jù)蝴蝶定理得S梯形（1 - 2）=9（平方厘米），Sa ecd =3（平方厘米），那么Sabcd =12（平方厘米）.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【例17】如圖面積為12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 13 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模

23、型題庫page # of 17【解析】因?yàn)镋,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，所以 EF : AB =1:3，設(shè)Sef -1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道 I , 2S aoe = Sa ofb =3份 ,Sa aob =9 份，Sa ADE = Sa bcf = （1 + 3）份，因此正方形的面積為 4+4+（1+3） =24 份， s陰影=6 , 所以 S陰影：S正方形 = 6:24 =1:4，所以 s陰影 =3平方厘米.【例18】 如圖，在長方形 ABCD中，AB=6厘米，AD =2厘米，AE=EF=FB，求陰影部分的面積.4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】

24、方法一：如圖，連接 DE , DE將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形AED的面積為2 6-：-32=2平方厘米.3由于EF : DC =1:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理 ,DEO : S EFO = 3:1 ,所以 S DEO = S def , 而S旺=s =243平方厘米，所以 Sdeo二2=1.5平方厘米，陰影部分的面積為2 45 = 3.5平方厘米.4方法二：如圖，連接 DE , FC，由于EF:DC=1:3，設(shè)Sa旺=1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， Saoed = 3 份，S梯形 EFCD=（13）2=16份，Sa ADE =Sa BCF=1，3=4 份，因此S長方形 ABCD =416

25、*4=24 份，s陰影=4，3=7份，而S長方形abcd = 6 2=12平方厘米，所以S陰影二3.5平方厘米【例19】（2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題 ）已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AC .由于 ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3 ,2 2根據(jù)梯形蝴蝶定理， S|JCOE : S_AOC : SiDOE : S_AOD =2 :2匯3:2漢3:3 =4:6:6:9 ,所以 Saoc =6 （平方厘 米），Saod =9（平方厘米），又Sabc二Sacd =6 9 =15（

26、平方厘米），陰影部分面積為6 75 = 21（平 方厘米）.【鞏固】右圖中 ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 SpcD二S.oae 根據(jù)蝴蝶定理，S OCD S OAE = S OCE S OAD = 4 9 = 36，故 S OCD =36 ,所以Socd -6（平方厘米）.【鞏固】（2008年三帆中學(xué)考題）右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.4- 2-3任意四邊形、梯

27、形與相似模型題庫page 15 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】連接AE 由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 SPcS oae 根據(jù)蝴蝶定理，S ocd S oae = S oce S oad =2 8=16，故 Sqcd? =16，所以 S -OCD =4（平方厘米）.1 1另解：在平行四邊形 ABED中，S-ad-Sabe- 16 8 =12（平方厘米），所以 S.aoe =S.ade _S.aod =128=4（平方厘米），根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8 24=4（平方厘米）.【例20】如圖所示，BD、CF將長方形A

28、BCD分成4塊，.DEF的面積是5平方厘米，ACED的面積是10平方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？【分析】 連接BF ,根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為10 10一：一5=20（平方厘米），所以長方形的面積為20 102 =60 （平方厘米）.四邊形 ABEF的面積為60-5-10 - 20 =25 （平方厘米）.【鞏固】如圖所示， BD、CF將長方形ABCD分成4塊，厶DEF的面積是4平方厘米， CED的面積是6平 方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？【解析】（法1）

29、連接BF ,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是 6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為6 6-：-4=9（平方厘米），所以長方形的面積為9 6 2 =30（平方厘米）四邊形ABEF的面積為30-4-6-9=11（平方厘米）（法2）由題意可知，巨4 = 2,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，史二巨2 ,所以三角形BCE的面積為：EC63EB EC36 “2 =9（平方厘米）則三角形CBD面積為15平方厘米，長方形面積為 15 2=30（平方厘米）四3邊形 ABEF的面積為30-4-6-9=11（平方厘米）【鞏固】（98迎春杯初賽）如圖，AB

30、CD長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54 , OD的長是16 , OB的長是9.那么四邊形 OECD的面積是多少？DC4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 17 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】因?yàn)檫B接ED知道 ABO和厶EDO的面積相等即為54，又因?yàn)镺D：OB=16：9,所以 AOD的面積為549 16=96，根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道： BEO的面積為：54 54 96 =30.375,所以四邊形OECD的面積為：54 96 -30.375 =119.625（平方厘米）.【例21】（2007年”迎春杯”高年級初賽）如

31、圖，長方形 ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中 3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 OFBC的面積為平方厘米.【解析】連接DE、CF 四邊形EDCF為梯形，所以S.Eod =Sfoc，又根據(jù)蝴蝶定理，S.eod S Foc =S.Eof SCod，所以 s eod S.Foc =SEof S.Cod = 2 8=16，所以 s eo = 4 （平方厘米）， s ECD =4 8 =12（平方厘米）那么長方形 ABCD的面積為12 2=24平方厘米，四邊形 OFBC的面 積為24-5 -2 -8 =9（平方厘米）【例22】（98迎春杯初賽）如圖，長方形ABCD中，AOB是直

32、角三角形且面積為 54, OD的長是16, OB的長是9 .那么四邊形 OECD的面積是 BECBEC【解析】解法一：連接DE ,依題意Saob11BO ： AO 9 ； AO = 54，所以 AO =12 , 22小11則 S aod DO AO 16 12 =96 .2 21 3又因?yàn)镾 DOE以 OE =6，2 41 133得 S boe BO EO 9 630，2 2483 5所以Soecd = S|BDC S BOE =S ABD S BOE8816解法：由于 S aod : S aob = OD : OB =16:9，所以 S aod = 5496，而 S doe = S aob

33、= 54，根據(jù)_9_蝴蝶定理,3S|_boes_aod =s_aob s doe，所以 S boe 54 5496 = 30 ,_ _ _ 8所以SoECD,35=S|_bdc - S_boe =S_abd - S_ boe = 54 96 - 30119 .8 8【例23】 如圖，.ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段 AB與CD相交于K點(diǎn).已知正方形DEFG的面積48, AK:KB =1:3，貝U BKD的面積是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和1 1ACK的面積是相等的.而AK : KB =1:3，所以

34、 ACK的面積是厶ABC面積的=，那么 BDK 1十341的面積也是 厶ABC面積的-.4由于ABC是等腰直角三角形，如果過 A作BC的垂線，M為垂足，那么 M是BC的中點(diǎn)，而且 AM二DE，可見AABM和 ACM的面積都等于正方形 DEFG面積的一半，所以 ABC的面積與正 方形DEFG的面積相等，為 48.1那么 BDK的面積為48 - =12 .4【例24】如圖所示，ABCD是梯形，ADE面積是1.8 , ABF的面積是9, BCF的面積是27.那么陰影MEC面積是多少？4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 20 of 17AD【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到SafB S

35、DFC而S AFB = SpFC （等積變換），所以可得S CDF 9 927并且 S AEF = S ADF S AED=31.8 =1.2，而 SAFB : SF = AF : FC = 9 : 27 =1:3所以陰影 AEC的面積是：S AEC =Saef 4=1.2 4=4.8 .【例25】4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 21 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17空6工.183ABC的面積是多少平方厘米?【解析】 連接陰影圖形的長對角線，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占

36、了其中八份，所以陰影部分的面積ABC由這6部分【例26】如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)三角形【解析】因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2FE且平行于 AD，則四邊形 ADEF為梯形在梯形ADEF中有=，X=X，：=AD2 : FE2=4.又已知-=6,所以=（4-1） =2 ,=4=8，所以X=X=16，而=，所以=4,梯形ADEF的面積為、四塊圖形的面積和，為 8 4 4 18 .有L CEF與L ADC的面積比為CE平方與CD平方的比， 即為1:4.所以L ADC面積為梯形ADEF面積的 =-，即為18 - = 24 .因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以4-133LABD

37、與L ADC的面積相等，而LABC的面積為L ABD、L ADC的面積和，即為 24*24=48平方厘 米三角形 ABC的面積為48平方厘米.【例27】如圖，在一個(gè)邊長為 6的正方形中，放入一個(gè)邊長為 2的正方形，保持與原正方形的邊平行,現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分 的面積為.【解析】本題中小正方形的位置不確定,所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況.解法一：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高均為1.5，因此空白處的總面積為 6 1.5“2 4 2 2 =22，陰

38、影部分的面積為 6 6-22 =14 .解法二：連接兩個(gè)正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個(gè)梯形，這四個(gè)梯形的上底都為2,下底都為6,上底、下底之比為 2: 6 =1:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個(gè)梯形每個(gè)梯形中的四個(gè)小三角形的面積之229比為12：1 3:1 3:32=1:3:3:9 ，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯形面積的，陰影部分的面16積占該梯形面積的，所以陰影部分的總面積是四個(gè)梯形面積之和的-，那么陰影部分的面積為1616722(6 -2 ) =14 .16【例28】如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE=2BE , CF=2DF，連接BF、DE，相交于點(diǎn)G，過G作M

39、N、PQ得到兩個(gè)正方形 MGQA和PCNG，設(shè)正方形MGQA的面積為S，正方形PCNG的面積為S2，則3 : S2 =4- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 22 of 174- 2-3任意四邊形、梯形與相似模型題庫page # of 17【解析】 連接BD、EF .設(shè)正方形ABCD邊長為3，則CE =CF =2 , BE =DF =1 ,所以，EF22 28 ,2 2 2 2 2 2BD33=18 .因?yàn)镋F BD=818=144=12，所以EFBD=12.由梯形蝴蝶定理，得2 2Sa GEF : Sa GBD : S DGF : SnBGE =EF : BD : EF BD : EF BD =8:18:12 :12=4:9:6:6 ,所以,Sa bgeS梯形 BDFE625S梯形BDFE9=3 y , S ce2 ”2=2 ,所以S弟形 BDFE-Sa BCD _Sa CEF55，所以,2Sa bge因?yàn)镾 BCD2525由于 BGE底邊BE上的高即為正方形 PCNG的邊長，所以CN二-2亠1=, ND=3-二,5 5552 2所以 AM :CN =DN :CN =3:2，則 S ： S =AM : CN =9:4 .【例29】如下圖，在梯形 ABCD中，AB與CD平行，且CD =2AB，點(diǎn)E、F分別是AD和BC的中點(diǎn),已