(完整)上海師范大學(xué)高數(shù)試題(12).docx

1、第九章作業(yè)一單選題1二元函數(shù) z1的定義域 (D)ln( xy)A.x+y 0B.x+y 0C.x+y 1D.x+y 0 且 x+y 12.設(shè) z=sin(x 2y),則 z =(C)yA.cos(x 2y)B.-cos(x 2y)C.x 2cos(x2y)D.-x 2cos(x2y)3. limsin xyB)(x0xy2A. 不存在B.2C.0D4.函數(shù) f(x,y)=x 3+y3 -3xy 在駐點(diǎn) (1,1)處（B）A. 取得極大值B. 取得極小值C.不取得極值D. 無(wú)法判斷是否取得極值5.設(shè) zexy ,則 dz (D)A. yexy dxB. xexydyC. exy (xdx yd

2、y)D. exy ( ydx xdy)z6.設(shè) zln( x ln y) ，則 y11A.B.e2ex 1 y e(B)C. eD. 2e7.設(shè) z xyexy ， 則2 z=(C)x yA. ( y xy)exyB. (xx 2 y)exyC. (1 3xyx 2 y2 ) exyD. ( x2 y3xyxy 2 )exy8.函數(shù) f ( x, y)x2y 2在點(diǎn) (0,0) 處（ B）A 有極大值B. 有極小值C.無(wú)極值D.不是駐點(diǎn)9.區(qū)域 D ( x, y) x2y 22且 yx 1是 （C）A. 有界閉區(qū)域B. 無(wú)界閉區(qū)域1C. 有界開(kāi)區(qū)域10若函數(shù) f ( x, y)xy , 則 f

3、 ( 1 , y)xyxD. 無(wú)界開(kāi)區(qū)域（ C ）A.xy1xy1xy1yxyB.xyC.xyD.11x11. 函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) ( x0 , y0 ) 處存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f x (x0, y0 ), f y (x0 , y0 ) 是函數(shù)在該點(diǎn)存在全微分的（B）。A. 充分條件B. 必要條件C. 充要條件D. 無(wú)關(guān)條件12設(shè) f (xy, xy)x 3y 3x2 yxy 2x 2y2 ，則 f x ( x, y)（B）。A.3x2y 22xy 2xB. 3x22 y 2xC.2x 2yD. x 22 y 2f ( xy, xy)x3y3x2 yxy 2x2y 2( x y) 3

4、2xy( xy)( x y) 22xyf ( x, y) x32 yx x 22 yf x3x22 y 2x13. 設(shè) zln( nxny ),則 x zyz （C）xyA. B. nC. 1D. 以上均不正確n14. 若 z（A），則有 zf。xxA. zf ( x, y 2 )B.zf ( x2 , y)C.zf ( x, xy)D.zf ( x, z)zf 11f20f xfxx15設(shè) f ( x)sin xg ( x)2 xt )dt ，則當(dāng) x0sin( 2t ) dt ,0ln(10 時(shí)， f ( x) 與g( x) 相比是（B）A. 等價(jià)無(wú)窮小B. 同價(jià)但非等價(jià)無(wú)窮小C.高價(jià)無(wú)窮

5、小D. 低價(jià)無(wú)窮小2sin xlimf ( x)lim0(sin 2t )dtlim sin( 2 sin x) cos x2 xx0 g ( x)x 00ln( 1t ) dtx 02 ln( 12 x)lim2 sinx1x 022 x2二、填空題1設(shè) f ( x, y)ln( xy ) 則 f x (1,0)1。2x2函數(shù) f ( x, y)ln( x 2y21)的定義域是(x, y)1x2y 24 。（用集合表示）4x2y 23設(shè) zx 2 y2，則 z=0。x yx ( 2,1)4設(shè) z 2x 2y 2 ，則 dz x 3 = 3 dx4 dy 。y 4555設(shè)函數(shù) f ( x, y

6、) 的駐點(diǎn)為 ( x0 , y0 ) Af xx ( x0 , y0 ),Bf xy ( x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 ),DAC B 2 ，則點(diǎn) ( x0 , y0 ) 為極小值點(diǎn)的充分條件為D0且A 0。三. 計(jì)算題1.設(shè) z x ln( x y) 求2 z2 z2 zx2y 2x y解：zln( xy)x2 z1x y xx 2 yxx yx 2x y(x y) 2(x y)2zx2 z1xyyx yx yx y (x y)2(x y) 22 zxy 2( xy) 22設(shè) z=uev 而 u=x2 +y, v=xy, 求z ,zxy3解：zev 2x u evy

7、exy (2 x x2 y y 2 )xzev1uevxexy (1x3xy)y3設(shè) x2 +y2+2x-2yz=e z 確定函數(shù) z=f(x,y), 求 z ,z .xy解：令 F ( x, y, z)x2y 22x2 yzezFx2x 2 ，F(xiàn)y2 y2z ，F(xiàn)z2 y ezzFx2x 2zFy2 y 2zxFz2y ezyFz2 y ez4設(shè)xyz0,2y 2z2求 dx , dy .x1,dz dzdxdy10dxyzdzxy解：dzdz2x dx2 y dy2z0dyzxdzdzdzxy5計(jì)算 (10.1) 2.03 的近似值。解：設(shè) zx yx010x0.1y02y0.03zxyx

8、 y 1zyx y ln x(10.1) 2.0310 22100.1102ln 10 0.03 =10023ln 10108.96設(shè) z u 2 ln v,而 uxv 3x2y 求 z zyxy解：z2uln v1u2132 x2 ln( 3x2 y)y23x2xyvy(3x 2 y)z2uln v(x )u 2 1(2)2x 2ln(3x2 y)2x 2yy 2vy 3y2 (3x 2 y)47.設(shè) f 可微 zf ( x2y2 , exy ) 求 zx zy解：zf1 2x f 2 exy y 2x f1yexy f 2xzf1 ( 2 y)f 2 exy x2 y f1xexy f 2

9、y8 求函數(shù) z x3y 33xy 的極值解：zx3x23yzx0(0,0) (1,1)為駐點(diǎn)zy3y23x令0zyzxx6xzxy3 z yy6 y在（ 0， 0）處 DACB290無(wú)極值。在（ 1，1）處 DACB2270A 60(1,1) 為極小值點(diǎn)且極小值為 -1。9求函數(shù) f (x, y)xy(1 xy) 的極值。f xy(1xy)xy(1)f x0解：x(1xy)xy(1)令 f y0f y11駐點(diǎn) (0,0) (1,0) (0,1) ( ,)33Af xx2 y(0,0) 處ACB(1,0) 處ACB(0,1) 處ACBB f xy1 2x 2 y C f yy2x210無(wú)極值2

10、10無(wú)極值210無(wú)極值(1, 1）處 ACB210A20 為極大值點(diǎn)且極大值為1 。33332710求函數(shù) I ( x )xln tdt 在區(qū)間 e, e2 上的最大值。e t22 t1I ( x)ln xln x0I (x)x 22x1( x1) 25在 xe2 取得最大值e2ln te211I (e2 )(t2dtln td ()(ln t)e1)et1t1=122211)dt(ee1e1et1te2e21ee (tdt1)t12ln( t 1) ln tee=e11ln(e1)1e11ln( e21) 2 ln( e 1) 1e1四綜合題1.設(shè)函數(shù) u=f(x,y,z) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

11、 z=z(x,y) 由方程 xex -yey=zez 所確定 ,求 du.設(shè) F ( x, y, z)xexye yzezFxexxe xF ye yyeyFze zzezzFx(1x)exzFy(1y)eyxFz(1z)ezyFz(1z)ezuffzxxzxuffzyyzy=ff1x ex zxz1z=ff1y ey zyz1zduu dxu dy =（ ff1x ex z ） dx +（ ff 1y ey z ） dyxyxz1zyz 1z2若 f ( x) 在 0 ， 1 上連續(xù)，證明：xf (sin x) dx2f (sin x )dx ,00x sin x并計(jì)算01cos 2 xdx6證明；令 xtxf