中考復(fù)習(xí)將軍飲馬類題型大全

1、“將軍飲馬”類題型大全 一.求線段和最值1 （一）兩定一動(dòng)型例1:如圖，ami ef, bnl ef,垂足為 m n, mn= 12ml a隹 5mbnn= 4m, p 是 ef 上任意一點(diǎn)，則pa+ pb的最小值是分析：這是最基本的將軍飲馬問題，a, b是定點(diǎn)，p是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型， 根據(jù)常見的“定點(diǎn)定線作對稱”，可作點(diǎn)a關(guān)于ef的對稱點(diǎn)a,根據(jù)兩點(diǎn)之間， 線段最短，連接ab,止匕時(shí)ap + pb即為ab,最短.而要求ab,則需要構(gòu)造 直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點(diǎn)a關(guān)于ef的對稱點(diǎn)a,過點(diǎn)a作acbn的延長線于c易知am=am= no5m bo9rn ac = mn=

2、 12日 在 rtabc 中，ab=15rn 即 pa+ pb的最小 值是15m如圖，在邊長為2的正三角形abc中，e, f, g為各邊中點(diǎn)，p為線段ef上一 . 周長的最小值為動(dòng)點(diǎn)，則bpg分析：兩的最小值，又是的周長最小轉(zhuǎn)化為求 b巴pg考慮到bg為定值是1, 則bpg勺對稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出 ef定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作 點(diǎn)g關(guān)于直角三角形,根據(jù)“，則agl bg再連接eg來到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不 妨連接agr關(guān)于ef的對稱點(diǎn).eg則點(diǎn)a就是點(diǎn)g=斜邊中線等于斜邊的一半”, 可得ae后計(jì)算周長時(shí)，別忘了加上bg的長度.解答：，ba3p+ pg= b+ pa當(dāng), p, a三點(diǎn)共線時(shí)

3、，bpbppg連接ag易知=pa +p氏3.1,即bpgra長最短為,此時(shí)最短，ba= 2b氏2（二）一定兩動(dòng)型例2:如圖，在 abc, a況ao5, d為bc中點(diǎn)，a況5, p為ad上任意一點(diǎn)，e 為ac上任意一點(diǎn)，求p8 pe的最小化分析：，由于 abc是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型 c是定點(diǎn)，p, e這里 的點(diǎn)，bc關(guān)于ad的對稱點(diǎn)是點(diǎn)，是bc中線，則ad垂直平分bc點(diǎn)人或等腰三 角形，更短.但此時(shí)還不是最短，be, e三點(diǎn)共線時(shí)，b= pb+ pe,顯然當(dāng)，ppc + pe時(shí)，用be面積法即可.垂線段最短”只有當(dāng)be! ac時(shí)，be最短.求根 據(jù)”解答：6 , =3, bo bd交

4、于點(diǎn)作be! ace交ad于點(diǎn)p,易知adl bc,則 ad- bo be- ac, 4.8be= 4x6=be 5,變式：如圖，bd平分/abc e, f分別為線段bg bd上的動(dòng)點(diǎn)，ab= 8, aabc的周長為20,求ef+ cf的最小值分析：這里的點(diǎn)c是定點(diǎn)，f, e是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線作對稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問題.因?yàn)辄c(diǎn) c的對稱點(diǎn)c必然在 ab上，但由于bc長度未知，bc長度也未知，則c相對的也是不確定點(diǎn)，因此 我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)e關(guān)于bd的對稱點(diǎn).解答：e,當(dāng)ef+ cf= ef + cf如圖，作點(diǎn)e關(guān)于bd的對稱點(diǎn)e,連接ef ,則

5、e, 于作此時(shí)較短.過點(diǎn) cce abf, c三點(diǎn)共線時(shí)，ef + c日ec,邊上的高， ec =abe與點(diǎn)e重合時(shí)，ec最短，ec為當(dāng)點(diǎn)5.（三）兩定兩動(dòng)型例3:如圖，/ ao由30 ,。諼5,。512,點(diǎn)e, f分別是射線 oa objjq動(dòng)點(diǎn), 求cf+ ef+ de的最小值.of d b分析：這里的點(diǎn)c,點(diǎn)d是定點(diǎn)，f, e是動(dòng)點(diǎn)，屬于 兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊 可以用“定點(diǎn)定線作對稱”來考慮.作點(diǎn)c關(guān)于ob的對稱點(diǎn)，點(diǎn)d關(guān)于oa的 對稱點(diǎn).解答：作點(diǎn)c關(guān)于ob的對稱點(diǎn)c,點(diǎn)d關(guān)于oa勺對稱點(diǎn)d,連接cd . cf+ef+ d已 cf + ef+ de,當(dāng)c, f, e, d四點(diǎn)共

6、線時(shí)，c斗ef+ d已cd最短.易知/ doc = 90 , od= 12, oc=5, cd =13, cf+ . 13 最小 值為de+ef.jf w /i變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面 ab寬1.78m,白球e距adj 0.22m,距cd 邊1.4m,有一顆紅球f緊貼bc邊，且距離cd4 0.1m,若要使白球e經(jīng)過邊ar dg兩次反彈擊中紅球f,求白球e運(yùn)動(dòng)路線的總長度.分析：本題中，點(diǎn)e和點(diǎn)f是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的 經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)e關(guān)于ad邊的對稱點(diǎn)e,作點(diǎn)f關(guān)于cd邊的對稱點(diǎn)f, 即可畫出白球e的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型.解答：作點(diǎn)

7、e關(guān)于ad邊的對稱點(diǎn)e,作點(diǎn)f關(guān)于cd邊的對稱點(diǎn)f,連接ef,交ad 于點(diǎn)g,交cdt點(diǎn)h,則運(yùn)動(dòng)品&線長為ej gh hf長度之和，即ef長，延長 ee 交 bc于 n,交 ad于 m,易知 em= emh0.22m, en = 1.78 +0.22 =2由 nf =nocf= 1.4+0.1 = 1.5m,則 rtenf中，ef =2.5m,即白球運(yùn)動(dòng)路線 的總長度為2.5m.小結(jié)：以上求線段和最值問題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)” 類的將軍飲馬型問題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對稱”，利用“兩點(diǎn)之間線段垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或邊

8、上的高，借助勾股定理，或者面積法來求解.當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對稱.(二)求角度例1：p為/aoeft一定點(diǎn)，m n分別為射線oa ob上一點(diǎn)，當(dāng)pmns長最小時(shí)，/mpn= 80 .(1) / ao樂(2)求證：。葉分/ mpn分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將m, n的位置找到，再來思考/ aob勺度數(shù)，顯然作點(diǎn)p關(guān)于oa勺對稱點(diǎn)p,關(guān)于ob的對稱點(diǎn)p”，連接pp , 其與oa交點(diǎn)即為m, ob交點(diǎn)即為n,如下圖，易知/ dpct/aobs補(bǔ)，則求出 /dpc勺度數(shù)即可.解答：(1)法 1：如圖，/1 + /2=100 , /1 =

9、/p + /3=2/3, /2=/p” +/4= 2/4,則 / 3+/4 = 50 , / dpg= 130 , / ao樂50 .再分析：考慮到第二小問要證明 op平分/ mpn我們就連接op則要證/ 5=/6,顯然 很困難，這時(shí)候，考慮到對稱性，我們再連接 op, op,則/5= / 7, /6 = /8,問題迎刃而解.解答：(1)法 2:易知 op=op”，/7+/8=/5+/6 = 80 , /pop” =100 ,由對稱性知， /9=/11, / 10= / 12, /ao樂/9+/10=50(2)由 op=op”，/ pop” =100 知，/ 7=/8 = 40 , / 5=

10、/ 6= 40 , op分/mpn變式：如圖，在五邊形 abcd中，/ ba巳136 , / b= / e= 90 ,在bg de上分別 找一點(diǎn)m n,使得amn!勺周長最小時(shí)，則/ amn- / anm勺度數(shù)為分析：這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，必然是作a點(diǎn)關(guān)于bg de的對稱點(diǎn)a、a，連接a a，與bg de的交點(diǎn)即為 amnw長最小時(shí)m n的位置.解答：如圖，./bae= 136 , ；/ma a+ /na a= 44由對稱性知，/ maa = / ma a,/ naa = / na a, / amnf / anm=2/ma a+ 2/na a= 887思考題：1. （2017 安順）如圖所示，正方形 ab