函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別[共7頁]

1、1 / 7函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別 姓名： 學(xué)號： 指導(dǎo)老師：摘要：函數(shù)項級數(shù)問題是數(shù)學(xué)分析中極其重要的部分,判別其一致收斂的方法有多種。本文探討了對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法,并對有關(guān)的注意事項進(jìn)行了分析。關(guān)鍵字：函數(shù)項級數(shù) 一致收斂 判別法Judgment on Uniform Convergence for Function SeriesName: Student Number: Advisor:Abstract: Issue of function series plays a very important role in Mathematical Analysis.There ar

2、e various methods to judging the uniform convergence of function series .This paper gives several methods of juding the uniform convergence of function series. Apart from that, the paper also analysizes some relative points that need to be paid special attention. Key words: Function series Uniformly

3、 convergence Judgment 在數(shù)學(xué)分析中級數(shù)問題是一個特別重要的問題。級數(shù)內(nèi)容主要分為兩大塊,即數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)。數(shù)項級數(shù)通常被認(rèn)為是函數(shù)項級數(shù)的一個典型例子,而函數(shù)項級數(shù),在某種意義上,是對數(shù)項級數(shù)的延伸。在研究內(nèi)容和性質(zhì)上,它們又有著許多類似的地方,例如使用第個部分和數(shù)列的斂散性來判斷級數(shù)的斂散性,以及判別收斂性的方法等。對于函數(shù)項級數(shù),研究它的性質(zhì)和一致收斂的判別則是學(xué)習(xí)的重點(diǎn),并且它還是研究級數(shù)問題最重要的工具,對進(jìn)一步研究函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)起著重要的作用。教材中判別一致收斂的方法有很多,下面給出一種最基本的方法,即根據(jù)一致收斂的定義來進(jìn)行判別。一 利用一致收斂的定義

4、定義11： 設(shè)函數(shù)項級數(shù)在上和函數(shù)為,稱-為函數(shù)項級數(shù)的余項.定義21： 設(shè)函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上收斂于和函數(shù),若任給有,則稱函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂或一致收斂于和函數(shù).例1 證明：函數(shù)項級數(shù)在(其中)一致收斂。證 因為 有=,要使不等式=成立,從不等式 解得 取 N=于是 N=有 即函數(shù)項級數(shù)在一致收斂。以上的方法判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,都必須要給出和函數(shù),如果在題目中沒有給出或者很難計算出和函數(shù),那么怎樣才能判別它的一致收斂性,這時可以使用余項法來進(jìn)行判斷。二 利用余項的一致收斂性定理1 2 函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是： .例2 證明：函數(shù)項級數(shù)在內(nèi)一致收斂.證 設(shè)函數(shù),則

5、,可見,當(dāng)充分大時,級數(shù)通項的絕對值趨于0,（當(dāng)）,故該級數(shù)為Leibniz級數(shù),因而 （當(dāng)）所以函數(shù)級數(shù)在內(nèi)一致收斂.注意 如果函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)或余項易于求得,判別它的一致收斂性可應(yīng)用上述的定義2或定理1. 有時雖然知道函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上收斂,但很難求得它的和函數(shù)或余項,這時候,如果要想判別此函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的斂散性,可以通過分析級數(shù)本身的結(jié)構(gòu)和組合特點(diǎn),并對相關(guān)的判別法進(jìn)行比較,選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?下面給出Cauchy判別法。三 利用Cauchy準(zhǔn)則判別定理23 函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂的充要條件為：對任意給定的存在正整數(shù),使得當(dāng)時,對一切和任意的,都有: .或例3 證明：函數(shù)項級數(shù)在

6、區(qū)間上一致收斂證 .即 要使不等式=成立.從不等式 解得 取 N=,于是,N=,有 ,即級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。通過上文的幾個例題,我們可以看出,判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的方法有很多,這就要求大家在平時學(xué)習(xí)時,要學(xué)會善于總結(jié)。在做題目的過程中,我們會發(fā)現(xiàn)有這樣一類級數(shù),它們可以通過各項的特點(diǎn)來判別,比如對級數(shù)的通項進(jìn)行適當(dāng)放大,這樣就會顯得更加簡便,下面給出利用weierstrass判別法。四 利用weierstrass判別法定理3 4 設(shè)函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集上,為收斂的正項級數(shù),若,每一項滿足 ,則函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂.例4 證明：函數(shù)項級數(shù)在閉區(qū)間上一致收斂.證 對通項求導(dǎo),令得出全

7、部極值可疑點(diǎn),1,因為所以,為在上的最大值,因此, 又收斂,故由M判別法知,函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.注意 定理3是一種很簡便而又有技巧性的判別法,但是這個方法有很大的局限性,即用它判別的函數(shù)項級數(shù)不僅一致收斂,而且還是絕對收斂的。但如果函數(shù)項級數(shù)是一致收斂的,并且它還是條件收斂的,此時運(yùn)用定理3進(jìn)行判別就會失效。5 若函數(shù)項級數(shù)條件收斂,此時要判別其一致斂散性,通常使用狄尼克雷或阿貝爾判別法,它們可以在一定程度上彌補(bǔ)上述的局限性。五 利用狄尼克雷判別法定理46 若級數(shù)滿足下面三個條件：1）函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列= （）在區(qū)間上一致有界2）對于每一個,函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)的。3）在區(qū)間上函數(shù)項級數(shù)

8、0,（）,則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.例5 證明：函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。證 求級數(shù)的部分和 = =對,有： 即函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界,而數(shù)列單調(diào)遞減,且趨近于零0,當(dāng)然在上也是一致收斂于0. 根據(jù)狄尼克雷判別法,函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。在題目中若能看出級數(shù)收斂和有界等隱含條件時,若使用狄尼克雷判別法失效,此時要想得到較確切的判別方法,可以依據(jù)這些題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽ζ鋽可⑿赃M(jìn)行判斷,通常選擇阿貝爾判別法則顯得相對簡便,在很大程度上可以提高解題速度。六 利用阿貝爾判別法定理56 若級數(shù)滿足下面三個條件：1）函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂2）對于每一個,函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)的。3）函

9、數(shù)列在區(qū)間上一致有界,即對所有的和,使得則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。例6 假設(shè) 均為常數(shù),級數(shù)收斂,試證：在上一致收斂。證 1）由題意知收斂,顯然關(guān)于一致收斂2）0利用歐拉積分,因為,即一致有界3）當(dāng)時,即關(guān)于單調(diào),故由Abel判別法,在上一致收斂. 上面各種判別法都有各自的優(yōu)點(diǎn),同時每一種方法對不同的題目時又具有一定的局限性和適用范圍,也就是說,在遇到具體實際問題時,用以上的方法判別級數(shù)收斂性可能顯得有些復(fù)雜,甚至是無法下手,下面再給出一種新的方法,即利用狄尼定理。七 應(yīng)用Dini定理定理6 7 設(shè)函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上點(diǎn)態(tài)收斂于,如果（1） （=1,2）（2）（3）對,是正項級數(shù)或負(fù)項級數(shù),

10、則在上一致收斂于.例7 證明：函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂. 證 對, 有,補(bǔ)充定義則 計算和函數(shù),當(dāng)時,顯見有,當(dāng)時,有 ,于是得出 注意到 可見,故由Dini定理知在上一致收斂。本文對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一些常用判別法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述和總結(jié),并對每種方法都給予了典型例題,可以看出判別方法的有效性與多樣性,并且希望通過對判別法的總結(jié),使大家在學(xué)習(xí)和探討函數(shù)項級數(shù)一致收斂問題時,能夠更加準(zhǔn)確和熟練的的運(yùn)用各種判別法。同時,也可以看出,有些題目可以一題多解,深層掌握各個知識點(diǎn)間的聯(lián)系,通過分析和比較選用最合適的判別法,問題就會迎刃而解,有助于拓展解題思路,進(jìn)行發(fā)散性思維,以提高快速準(zhǔn)確解題的能力。

11、另外,運(yùn)用泛函分析和復(fù)變函數(shù)中的有關(guān)知識也可以判別一致收斂,例如導(dǎo)數(shù)判別法,比式以及根式判別法,利用它們來判別級數(shù)的一致收斂性也是可行的。本文雖沒有給出詳細(xì)的介紹,但這也是一個值的深入討論的問題。參考文獻(xiàn)：1華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.30-32.2陳紀(jì)修,復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.數(shù)學(xué)分析（下冊第三版）M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2001. 25-27.3劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1992.48. 4裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,2006.586.5張筑生.數(shù)學(xué)分析新講M.北京:北京出版社,2004.49.6吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析例題集題解M.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1999.300. 7錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹（第二版）M.武漢:湖北長江集團(tuán)崇文書局,2009.364