高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、資料來(lái)源：來(lái)自本人網(wǎng)絡(luò)整理！祝您工作順利！高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn) 高三函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，那么相關(guān)的學(xué)問(wèn)點(diǎn)又有什么呢?下面就隨我一起去閱讀高三數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)問(wèn)點(diǎn)，信任能帶給大家關(guān)心。 一、一次函數(shù)定義與定義式： 自變量x和因變量y有如下關(guān)系： y=kx+b 那么此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。 特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。 即：y=kx(k為常數(shù)，k0) 二、一次函數(shù)的性質(zhì)： 1.y的改變值與對(duì)應(yīng)的x的改變值成正比例，比值為k 即：y=kx+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)) 2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。 三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)： 1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟 (1)列

2、表; (2)描點(diǎn); (3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)) 2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。 3.k，b與函數(shù)圖像所在象限： 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大; 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限; 當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn) 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。 特殊地，當(dāng)b=o時(shí)，直線通過(guò)

3、原點(diǎn)o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。 這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。 四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式： 已知點(diǎn)a(x1，y1);b(x2，y2)，請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。 (1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。 (2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)p(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b和y2=kx2+b (3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最終得到一次函數(shù)的表達(dá)式。 點(diǎn)擊查看：高中數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用： 1.當(dāng)時(shí)間t肯定，間隔 s是速度v的一次函數(shù)。s=vt

4、。 2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)肯定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。 六、常用公式： 1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2) 2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2 3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2 4.求任意線段的長(zhǎng)：(x1-x2)2+(y1-y2)2(注：根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和) 二次函數(shù) i.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c (a，b，c為常數(shù)，a0，且a打算函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下,iai還可以打算開口大小,ia

5、i越大開口就越小,iai越小開口就越大.) 那么稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k拋物線的頂點(diǎn)p(h，k) 交點(diǎn)式：y=a(x-x)(x-x)僅限于與x軸有交點(diǎn)a(x，0)和b(x，0)的拋物線 注：在3種形式的相互轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax,x=(-bb2-4ac)/2a iii.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。 iv.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是

6、軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x=-b/2a。 對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。 特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0) 2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為 p(-b/2a，(4ac-b2)/4a) 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，p在y軸上;當(dāng)=b2-4ac=0時(shí)，p在x軸上。 3.二次項(xiàng)系數(shù)a打算拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。 |a|越大，那么拋物線的開口越小。 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同打算對(duì)稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸右。 5.常數(shù)項(xiàng)c打算拋物線與y軸

7、交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于(0，c) 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) =b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 =b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 =b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。x的取值是虛數(shù)(x=-bb2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a) v.二次函數(shù)與一元二次方程 特殊地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=

8、ax2+bx+c(各式中，a0)的圖象樣子一樣，只是位置不同 當(dāng)h0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行挪動(dòng)h個(gè)單位得到， 當(dāng)h0時(shí)，那么向左平行挪動(dòng)|h|個(gè)單位得到. 當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行挪動(dòng)h個(gè)單位，再向上挪動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象; 當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行挪動(dòng)h個(gè)單位，再向下挪動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象; 當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行挪動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上挪動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象; 當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行挪動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下挪動(dòng)|k|個(gè)單

9、位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象; 因此，討論拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清晰了.這給畫圖象供應(yīng)了便利. 2.拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象：當(dāng)a0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，4ac-b2/4a). 3.拋物線y=ax2+bx+c(a0)，假設(shè)a0，當(dāng)x-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.假設(shè)a0，當(dāng)x-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小. 4.

10、拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： (1)圖象與y軸肯定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c); (2)當(dāng)=b2-4ac0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩根.這兩點(diǎn)間的間隔 ab=|x-x| 當(dāng)=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0;當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0. 5.拋物線y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，那么當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a. 頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是獲得最值時(shí)的自

11、變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值. 6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式： y=ax2+bx+c(a0). (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0). (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a0). 7.二次函數(shù)學(xué)問(wèn)很簡(jiǎn)單與其它學(xué)問(wèn)綜合應(yīng)用，而形成較為冗雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)學(xué)問(wèn)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn). 反比例函數(shù) 形如y=k/x(k為常數(shù)且k0)的函

12、數(shù)，叫做反比例函數(shù)。 自變量x的取值范圍是不等于0的一實(shí)在數(shù)。 反比例函數(shù)圖像性質(zhì)： 反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。 由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為k。 如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)(2和-2)時(shí)的函數(shù)圖像。 當(dāng)k0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù) 當(dāng)k0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù) 反比例函數(shù)圖像只能無(wú)限趨向于坐標(biāo)軸，無(wú)法和坐標(biāo)軸相交。 學(xué)問(wèn)點(diǎn)： 1.過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這

13、兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。 2.對(duì)于雙曲線y=k/x，假設(shè)在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù)(即y=k/(xm)m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。(加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移) 對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它事實(shí)上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。 右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。 (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。 (3)函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。 (4)a大于1時(shí)

14、，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。 (5)明顯對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。 指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的爭(zhēng)論就可以知道，要想使得x可以取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，那么只有使得 如下圖為a的不同大小影響函數(shù)圖形的狀況。 可以看到： (1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槿繉?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的狀況，那么必定使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。 (2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。 (3)函數(shù)圖形都是下凹的。 (4)a大于1，那么指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，那么為單調(diào)遞減的。 (5)可以看到一個(gè)明顯的規(guī)律，

15、就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與x軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與x軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中程度直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。 (6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于x軸,永不相交。 (7)函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)。 (8)明顯指數(shù)函數(shù)無(wú)界。 奇偶性 注圖：(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù) 1.定義 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x) (1)假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。 (2)假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f

16、(x)就叫做偶函數(shù)。 (3)假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。 (4)假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。 說(shuō)明：奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言 奇、偶函數(shù)的定義域肯定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假如一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)肯定不是奇(或偶)函數(shù)。 (分析：推斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再嚴(yán)格根據(jù)奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比擬得出結(jié)論) 推斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的依據(jù)是定義 2.奇偶函數(shù)圖像的特征： 定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱圖形。 f(x)為奇函數(shù)=f