同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理

1、第九節(jié) 同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理重點(diǎn)、難點(diǎn)：同態(tài)基本定理，滿同態(tài)與子群的關(guān)系.一 同態(tài)基本定理前幾節(jié)是研究一些定量的東西，下面我們來研究一些定性的東西.本節(jié)中的同態(tài)基本定理是群論中的研究基礎(chǔ).定理2.9.1 一個(gè)群與它的每一個(gè)商群同態(tài).證 令顯然是到的滿射.，故是一個(gè)滿同態(tài).注1 定理2.9.1中的稱為自然同態(tài)；注2 自然同態(tài)一定是滿同態(tài).利用子群來研究群本身，任意給定一個(gè)不變子群 ，有兩個(gè)可以供我們參考的群：和，由于，故更容易推測(cè)的性質(zhì).自然會(huì)問：定理2.9.1的逆命題是否成立？即，是否與的某個(gè)商群是同構(gòu)的呢？我們說是對(duì)的.首先有一個(gè)概念.定義2.9.1 設(shè)為一個(gè)群同態(tài).為的單位元,集合稱為同

2、態(tài)映射的核.注1 未必要求為滿射，但本書中同態(tài)均為滿同態(tài)；注2 一個(gè)同態(tài)是單同態(tài).推論2.9.2 設(shè)是的自然同態(tài)，則.證 由于的單位元是，則.定理2.9.3 （同態(tài)基本定理）設(shè)是群到群的一個(gè)同態(tài)滿射，則 (1)；(2).證 (1)由于.則為的單位元.則即.又由于，即.(2)令.下證為一個(gè)同構(gòu)映射：()為映射：() 為滿射：使得() 為單射：，則() 為一個(gè)同態(tài)：，則.綜上所述，.注 一般地，設(shè)為一個(gè)群同態(tài)，則我們知道，群在一個(gè)群的滿同態(tài)映射之下，一個(gè)群的若干性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變的，下面討論哪些性質(zhì)不發(fā)生變化.定義2.9.2 設(shè)為集合之間的一個(gè)滿射.(1) 設(shè)，記稱為子集在之下的像；(2)設(shè)，記稱為子集在之下的逆像（或后像）.注 一個(gè)不能多且一個(gè)不能少！定理2.9.4 設(shè)是一個(gè)群之間的同態(tài)滿射，() 則；() 則；() 則；() 則.證 ().，故.() 則 .從而，故.()由.（）即.()則故.注第()條不需要用道為滿射.由()可知.二 同構(gòu)定理第一同構(gòu)定理 設(shè)為群同態(tài)，則第二同構(gòu)定理（方塊定理）且有.第三同構(gòu)定理（分式定理） 設(shè)，則（） .第四同構(gòu)定理（對(duì)應(yīng)定理） 設(shè)為群的滿同態(tài)，則 ；且正規(guī)子群對(duì)