數(shù)學(xué)中八種重要思維模式.doc

1、數(shù)學(xué)中八種重要思維模式波利亞說： “如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對(duì)處理將來的問題可能有用的特征。 如果一種解題方法是你通過自己的努力而掌握的， 或者是你從別處學(xué)來或聽來并真正理解了的， 那么這種解法就可以成為你的一種模式， 即在解類似問題時(shí)可用做模仿的一種模式” 。波利亞在闡述他的數(shù)學(xué)思維模式時(shí)， 總是從典型的問題出發(fā)， 在解決它們的過程中逐步抽象出一般的方法， 然后再概括上升為更一般的模式， 從而實(shí)質(zhì)上就得到了數(shù)學(xué)思維模式。 它們是解題思維過程的一般思路的程序化的概括。 也就是從樣例出發(fā)，抽象概括出一般模式， 這些模式的意義是在于它們形成了后續(xù)思

2、維活動(dòng)中解決類似問題的通用思想方法。下面介紹常用的八種重要的思維模式：1 逼近模式 ：逼近模式就是朝著目標(biāo)推移前進(jìn)， 逐步溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系而使問題解決的思維方式。其思維程序是：（ 1）把問題歸結(jié)為條件與結(jié)論之間因果關(guān)系的演繹。（ 2）選擇適當(dāng)?shù)姆较蛑鸩奖平繕?biāo)。我們一般的分析法就是逼近模式。2 疊加模式疊加模式是運(yùn)用化整為零 , 以分求合的思想對(duì)問題進(jìn)行橫向分解或縱向分層實(shí)施各個(gè)擊破而使問題獲解的思維方式 , 其思維程序是 :(1) 把問題歸結(jié)為若干種并列情形的總和或者插入有關(guān)的環(huán)節(jié)構(gòu)成一組小問題;(2) 處理各種特殊情形或解決各個(gè)小問題 , 將它們適當(dāng)組合 ( 疊加 ) 而得到問題的

3、一般解。上述意義下的疊加是廣義的 , 可以從對(duì)特殊情形的疊加 , 得到一般解 , 也可以分別解決子問題 , 將結(jié)果疊加得到問題的解 ; 可以在條件與結(jié)論中間設(shè)立若干中途點(diǎn) , 構(gòu)成小目標(biāo)把原問題分解成一串子問題 , 使前面問題的解決為后面問題的解決服務(wù)將結(jié)果疊加得問題的解 ; 也可以引進(jìn)中間的媒介或輔助元素以達(dá)到解決問題的目的。3 變換模式變換模式是通過適當(dāng)變更問題的表達(dá)形式使其由難化易 , 由繁化簡(jiǎn) , 從而最終達(dá)到解決問題的思維方式 , 其思維程序是 :(1) 選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q , 等價(jià)的或不等價(jià)的 ( 加上約束條件 ), 以改變問題的表達(dá)形式 :(2) 連續(xù)進(jìn)行有關(guān)變換 , 注意整個(gè)過程的

4、可控制性和變換的技巧 , 直至達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)4 映射模式映射模式是把問題從本領(lǐng)域 ( 或關(guān)系系統(tǒng) ) 映射到另一領(lǐng)域 , 在另一領(lǐng)域中獲解后再反演回原領(lǐng)域使問題解決的思維方式 , 它與變換模式在本質(zhì)上是一致的 , 但變換通常是從一個(gè)數(shù)學(xué)集合到它自身的映射 , 它的思維程序是 : 關(guān)系映射定映反演得解5 方程模式方程模式 ( 即函數(shù)模式 ) 是通過列方程 ( 或方程組 ) 與解方程組來確定數(shù)學(xué)關(guān)系或解決數(shù)學(xué)問題的思維方式 它是溝通已知元素與未知元素之間的辯證聯(lián)系的一種基本方法 , 其思維程序是 :(1) 把問題歸結(jié)為確定一個(gè)或幾個(gè)未知量 ;(2) 列出已知量與未知量之間按照條件必須成立的所有關(guān)系式

5、( 即方程 );(3) 解所得的方程或方程組得出結(jié)果6 交軌模式交軌模式是通過分離問題的條件以形成滿足每個(gè)條件的未知元素的軌跡或( 集合 ), 再通過疊加來確定未知元素而使問題解決的思維方式 , 它與方程模式有部分相通的地方 , 交軌模式的思維程序是 :(1) 把問題歸結(jié)為去確定一個(gè) “點(diǎn)”一個(gè)或幾個(gè)未知元素 , 或一個(gè)幾何點(diǎn) , 或一個(gè)解析點(diǎn) , 或某個(gè)式子的值 , 或某種量的關(guān)系等 .(2) 把問題條件分離成幾個(gè)部分 , 使每一部分能確定所求 “點(diǎn)”的一個(gè)軌跡 ( 或集合 ).(3) 用軌跡 ( 或集合 ) 的交確定所求的“點(diǎn)”或未知元素, 并由此得出問題的解7 退化模式退化模式是運(yùn)用聯(lián)系

6、轉(zhuǎn)化的思想 , 將問題按適當(dāng)方向后退到能看清關(guān)系或悟出解法的地步 , 再以退求進(jìn)而達(dá)到問題結(jié)論的思維方式 , 其思維程序是 :(1) 將問題從整體或局部上后退 , 化為較易解決的簡(jiǎn)化問題、 類比問題或特殊情形、極端情形等 , 而保持轉(zhuǎn)化回原問題的聯(lián)系通途 ;(2) 用解決退化問題或情形的思維方法 , 經(jīng)過適當(dāng)變換以解決原問題 . 如降次法 , 類比法 , 特殊化法 , 極端化法等對(duì)于一些較難解決的一般性命題 , 可先從研究它的特例的解法入手 , 從中探索、抽象、歸納出一般的解法規(guī)律8 遞歸模式遞歸模式是通過確立序列的相鄰各項(xiàng)之間的一般關(guān)系以及初始值來確定通項(xiàng)或整個(gè)序列的思維方式 它適用于定義在自然數(shù)集上的一類函數(shù) , 是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要邏輯模式 , 在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著重要的應(yīng)用 , 其思維程序是 :(1) 得出序列的第一項(xiàng)或前幾