等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文范文

1、合肥師范學(xué)院2012屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）裝訂線(xiàn) 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用 22淺談等價(jià)關(guān)系在大學(xué)數(shù)學(xué)一些課程中的應(yīng)用摘 要等價(jià)關(guān)系作為集合元素之間的一種特殊二元關(guān)系，在大學(xué)數(shù)學(xué)多門(mén)課程中均有廣泛應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，近世代數(shù)，離散數(shù)學(xué)，點(diǎn)集拓?fù)涞然A(chǔ)課程和專(zhuān)業(yè)核心課程本文首先從等價(jià)關(guān)系的兩種定義出發(fā)，通過(guò)等價(jià)關(guān)系的不同定義其在高等代數(shù)中的矩陣合同、相似概念；近世代數(shù)中的陪集、商群概念；離散數(shù)學(xué)中的等值式；圖論及點(diǎn)集拓?fù)渲械倪B通關(guān)系、商空間等概念，并討論這些概念在一些課程中的作用其次，討論等價(jià)關(guān)系在高等數(shù)學(xué)的求解極限中的應(yīng)用最后，本文討論了等價(jià)關(guān)系在大學(xué)課程之外的

2、應(yīng)用拓展關(guān)鍵詞：等價(jià)關(guān)系；相似；陪集；商群；商空間abstract裝訂線(xiàn)as a special mutual relation within elements of a set, equivalence relation play an important and wide role in the university mathematics courses, such as mathematical analysis, advanced algebra, modern algebra, discrete mathematics, point set topology and other b

3、asic curriculum and the professional core courses. firstly, from the two definition of equivalence relation, this paper define the concepts of matrix similar in higher algebra, the conset quotient groups of modern algebra, equivalent type of the discrete mathematics,connected relation, quotient spac

4、e concepts of graph theory and topology through different equivalence classes and discuss application of these concepts in those courses. secondly,this paper is using the equivalent relation to solving limit of higher mathematics. finally, this paper discusses the application development of equivale

5、nt relation which is outside of university courses.key words: equivalence relation ; similar ; conset ; topology of connected relation ; quotient space目 錄摘 要iabstractii1引言12基本概念23等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)間的關(guān)系43.1由集合分類(lèi)唯一確定一等價(jià)關(guān)系43.2等價(jià)關(guān)系唯一確定一集合分類(lèi)43.3簡(jiǎn)單的應(yīng)用64等價(jià)關(guān)系在幾門(mén)課程中的應(yīng)用74.1數(shù)學(xué)分析中的等價(jià)關(guān)系74.2高等代數(shù)中的等價(jià)關(guān)系94.2.1初等變換94.2.2矩陣的相似

6、104.2.3矩陣的合同104.3等價(jià)關(guān)系在離散數(shù)學(xué)中的引出的新概念114.4等價(jià)關(guān)系在近世代數(shù)中的引出的新概念134.4.1陪集134.4.2商群154.5等價(jià)關(guān)系在點(diǎn)集拓?fù)渲械囊龅男赂拍?54.5.1商空間154.5.2連通分支164.5.3道路連通空間175等價(jià)關(guān)系的發(fā)展以及應(yīng)用拓展186小結(jié)20參考文獻(xiàn)21致謝221 引言大學(xué)四年，在開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、核心課程中，我們發(fā)現(xiàn)，大多課程都是以集合作為第一章內(nèi)容，隨后利用集合定義映射、函數(shù)等概念，反之兩集合元素之間的關(guān)聯(lián)體現(xiàn)元素與元素之間關(guān)聯(lián)，而映射和函數(shù)均為一種特殊的關(guān)系在集合的所有關(guān)系中，有一種特殊的關(guān)系等價(jià)關(guān)系出現(xiàn)在了大學(xué)數(shù)學(xué)

7、眾多課程中，例如：數(shù)學(xué)分析中等價(jià)無(wú)窮小的概念，高等代數(shù)中矩陣的合同、相似、等價(jià)概念，近世代數(shù)的中集合的分類(lèi)等等基于此，本文從等價(jià)關(guān)系的兩種定義出發(fā)，即代數(shù)角度和集合角度的定義出發(fā)，通過(guò)其等價(jià)類(lèi)來(lái)統(tǒng)一總結(jié)與等價(jià)關(guān)系息息相關(guān)的這些概念，一方面有助于對(duì)這些課程中新概念的理解，另一方面進(jìn)一步了解等價(jià)關(guān)系以及各種具體的等價(jià)類(lèi),有助于大家對(duì)等價(jià)關(guān)系的更深理解,并提高大家抽象思維能力和邏輯推理能力，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握與等價(jià)關(guān)系相關(guān)的新概念打好基礎(chǔ)所以有必要對(duì)等價(jià)關(guān)系做一個(gè)更為深刻的理解本文首先介紹了等價(jià)關(guān)系的定義，其次分析了等價(jià)關(guān)系在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、近世代數(shù)和離散數(shù)學(xué)等課程中的主要應(yīng)用，最

8、后對(duì)這些應(yīng)用作了分析與拓展，使大家對(duì)等價(jià)關(guān)系有更為透徹的把握，也希望大家有一個(gè)大致的輪廓：以等價(jià)關(guān)系為主線(xiàn)，周?chē)由斐銎湓谝恍┱n程的應(yīng)用2 基本概念首先，從代數(shù)和集合兩個(gè)角度分別給出等價(jià)關(guān)系的定義.定義 2.1 一個(gè)到的映射叫做的元間的一個(gè)關(guān)系若=對(duì)，就說(shuō)和符合關(guān)系，記成定義 2.2 設(shè)為非空集合 上的二元關(guān)系如果滿(mǎn)足自反的、對(duì)稱(chēng)的和傳遞的，則稱(chēng)為 上的等價(jià)關(guān)系(1) 反射律( 自反性) : , 均有;(2) 對(duì)稱(chēng)律（對(duì)稱(chēng)性）: , 均有;(3) 推移律( 傳遞性) : , 均有.等價(jià)關(guān)系是指非空集合中二元反射律，對(duì)稱(chēng)律及推移律的一種二元關(guān)系，也就是定義2.3 設(shè)是一個(gè)非空集合，是中的一個(gè)二元

9、關(guān)系，它滿(mǎn)足以下條件: 1.，均有； 2.，若有，則有； 3.，若有及則有就叫集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系這個(gè)定義也可改寫(xiě)為較簡(jiǎn)單的定理2.1 設(shè)是一個(gè)非空集合，是中的一個(gè)二元關(guān)系，它滿(mǎn)足以下條件:1,均有；2，若有及，則定有.就叫集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 再來(lái)看為何前兩個(gè)定義是一致的說(shuō)明:（i）由定義2.1的自反性推出定義2.2中的第二條是顯然的，這里就不再討論了（ii）由的對(duì)稱(chēng)律知，所以有 ，又，所以有 證畢 數(shù)學(xué)中，等價(jià)關(guān)系有很多，例如，容易驗(yàn)證：為等價(jià)關(guān)系，我們稱(chēng)之為平凡的等價(jià)關(guān)系 下面再舉幾個(gè)例子 例1 集合的冪集中兩個(gè)元素之間的“相等關(guān)系”可以理解為的子集,容易驗(yàn)證它是自反的，對(duì)稱(chēng)的，傳遞的因此是

10、中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系例2 集合的冪集中的兩個(gè)元素之間的“包含關(guān)系”可以理解為集合的子集顯而意見(jiàn)他是自反的，傳遞的，但是他不是對(duì)稱(chēng)的，因此不是中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 例3 實(shí)數(shù)集合中有一個(gè)通常的小于等于關(guān)系，即的子集容易驗(yàn)證關(guān)系是傳遞的，但是反對(duì)稱(chēng)的，反自反的所以不是上的等價(jià)關(guān)系3 等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)間的關(guān)系本節(jié)中，我們討論等價(jià)關(guān)系與集合的分類(lèi)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，近世代數(shù)中的內(nèi)容告訴我們，集合的任一等價(jià)關(guān)系可唯一的確定集合的一種分類(lèi)，反之，集合的任一分類(lèi)可唯一地確定一等價(jià)關(guān)系本文就是從等價(jià)關(guān)系確定的等價(jià)類(lèi)出發(fā)，來(lái)討論幾門(mén)課程中與等價(jià)關(guān)系息息相關(guān)的新概念3.1 由集合分類(lèi)唯一確定一等價(jià)關(guān)系先來(lái)看集合的分類(lèi)定

11、義 3.1.1若把一個(gè)集合分成若干個(gè)叫做類(lèi)的子集，使得的每一個(gè)元屬于而且只屬于一個(gè)類(lèi)，那么這些類(lèi)的全體叫做集合的一個(gè)分類(lèi)等價(jià)關(guān)系于集合的分類(lèi)的關(guān)系由以下的兩個(gè)定理可以看出定理 3.1.1 集合的一個(gè)分類(lèi)決定的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系我們利用給的分類(lèi)來(lái)做一個(gè)等價(jià)關(guān)系規(guī)定：,當(dāng)而且僅當(dāng)，在同一類(lèi) 這樣規(guī)定的 顯然是的元間的一個(gè)關(guān)系只需證明，它是一個(gè)等價(jià)關(guān)系即可 （i）與同在一個(gè)類(lèi)，即; （ii）若和同在一類(lèi)，那么與也在一類(lèi)，即; （iii）若，同在一類(lèi)，且，同在一類(lèi)，因?yàn)轭?lèi)與類(lèi)之間兩兩無(wú)交，所以，也在同一類(lèi)，即 從而命題得證3.2 等價(jià)關(guān)系唯一確定一集合分類(lèi) 反之，下面的定理告訴我們：集合中元之間的一種

12、等價(jià)關(guān)系亦能唯一確定集合的一種分類(lèi) 定理3.2.1 集合元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系決定的的一個(gè)分類(lèi) 我們利用給定的等價(jià)關(guān)系來(lái)做一個(gè)的分類(lèi)把所有同的一個(gè)固定元等價(jià)的元都放在一起，作為一個(gè)子集，這個(gè)子集有符號(hào)來(lái)表示我們說(shuō)，所有這樣得到的子集就做成的一個(gè)分類(lèi)可以分三步來(lái)證明這一點(diǎn)(i) 假定 那么，由等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)以及 和 的定義， 這就是說(shuō)，(1) 但由等價(jià)關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)， 因此同樣可以推得(2) 由(1)與(2)， (ii) 的每一個(gè)元只能屬于一個(gè)類(lèi)，假定 那么由，的定義， ，這樣有上面的定理3.1.1證明的（ii） ，（iii）步得 ，于是由（i）可得 =(iii)的每一個(gè)元的的確屬于某一個(gè)類(lèi)因?yàn)?，?/p>

13、定理3.1證明的（i）以及上述類(lèi)的定義， 證完 由此可見(jiàn)，集合的等價(jià)關(guān)系與集合的分類(lèi)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而本文正是基于這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，由集合的某一種等價(jià)關(guān)系確定的等價(jià)類(lèi)誘導(dǎo)出數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、近世代數(shù)等課程中的幾個(gè)重要概念及應(yīng)用3.3 簡(jiǎn)單的應(yīng)用 等價(jià)關(guān)系及對(duì)應(yīng)的等價(jià)類(lèi)例子在生活中隨處可見(jiàn)，比如定義一個(gè)班級(jí)同學(xué)的性別關(guān)系：甲乙滿(mǎn)足關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)甲乙同性別（甲乙分別是指同學(xué)甲、乙），顯然其為等價(jià)關(guān)系，利用等價(jià)關(guān)系確定等價(jià)類(lèi)的方法很快得出兩個(gè)等價(jià)類(lèi)：男生、女生下面再介紹等價(jià)關(guān)系的兩個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用的例子來(lái)說(shuō)明如何利用等價(jià)關(guān)系來(lái)確定相應(yīng)的等價(jià)類(lèi). 例 1 我們?nèi)∫粋€(gè)固定的整數(shù)，利用這個(gè)，我們規(guī)定的元間的一

14、個(gè)關(guān)系，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這里表示能整除可以驗(yàn)證這就一個(gè)等價(jià)關(guān)系 例 2 定義在整數(shù)集上的關(guān)系，則可以驗(yàn)證是等價(jià)關(guān)系，并且有4 等價(jià)關(guān)系在幾門(mén)課程中的應(yīng)用4.1 數(shù)學(xué)分析中的等價(jià)關(guān)系數(shù)學(xué)分析中，等價(jià)關(guān)系主要是指等價(jià)無(wú)窮小，有時(shí)候當(dāng)我們?cè)谇髽O限時(shí)，我們可以不用羅比達(dá)法則，而利用等價(jià)無(wú)窮小會(huì)往往會(huì)給我們的求解帶來(lái)極大地方便定義4.1 若性質(zhì) ，則； .1) 自反性：；2) 對(duì)稱(chēng)性：；3) 傳遞性：.綜上所述，等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)關(guān)系.常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)時(shí)，從等價(jià)關(guān)系的角度來(lái)看，求極限時(shí)，將比值極限為1的兩個(gè)無(wú)窮小量定義為等價(jià)關(guān)系，從而根據(jù)此等價(jià)關(guān)系將比值極限為1的無(wú)窮小量歸為一類(lèi)，在求極限時(shí)可以相互

15、替代，給大家在求極限時(shí)帶來(lái)很大的方便.例1 求極限解 因?yàn)?，?2 解 利用,則例 3 解 此題如果不用等價(jià)無(wú)窮小，在第二步的時(shí)候就要使用羅比達(dá)法則對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，讀者可以自己嘗試，但這樣可能會(huì)帶來(lái)一定的計(jì)算量同時(shí)還有可能出錯(cuò)例 4 解 有，從而 從以上四例可以看出如果用羅比達(dá)法則去解題都會(huì)帶來(lái)很大的計(jì)算量，而且很容易出錯(cuò)，而利用等價(jià)無(wú)窮小去求解極限，它大大提高了求解的效率和正確率，從而帶來(lái)了解題的方便性4.2 高等代數(shù)中的等價(jià)關(guān)系4.2.1 初等變換在高等代數(shù)中我們講的等價(jià)關(guān)系主要是講矩陣的等價(jià)在講等價(jià)矩陣之前，我們先定義初等變換定義4.2.1 對(duì)矩陣施行一下三種運(yùn)算稱(chēng)為初等行(列)變換

16、：（1） 對(duì)調(diào)矩陣的某兩行（列）；（2） 非零數(shù)乘以矩陣的某一行(列)；（3） 一個(gè)數(shù)乘以矩陣的某一行（列）加到另外一行（列）我們?cè)賮?lái)看等價(jià)矩陣定義4.2.2 若矩陣經(jīng)有限次的初等行變換變成矩陣，則稱(chēng)與行等價(jià)，記為;若矩陣經(jīng)有限次的初等列變換變成矩陣，則稱(chēng)與列等價(jià)，記為;若矩陣經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣，則稱(chēng)與等價(jià)，記為所以初等變換滿(mǎn)足等價(jià)關(guān)系，也就滿(mǎn)足等價(jià)關(guān)系的自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性4.2.2 矩陣的相似定義4.2.3 設(shè),為階方陣，若存在可逆矩陣,使得則稱(chēng)與相似值得一提的是相似矩陣也必須滿(mǎn)足反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，因?yàn)榫仃囅嗨票氐葍r(jià)由定義我們注意兩點(diǎn)：1 單位矩陣和矩陣或者單位矩陣相似的只

17、能是他們本身 即,2 存在可逆矩陣.易知所以我們可以得出結(jié)論：，但是反過(guò)來(lái)就不成立4.2.3 矩陣的合同定義4.2.4 設(shè)為階方陣，若存在可逆矩陣使得,則稱(chēng)與合同合同是矩陣之間的一種關(guān)系，很容易看出，合同關(guān)系具有 反身性: ; 對(duì)稱(chēng)性：由即得； 傳遞性：由和即得合同我們必須注意兩點(diǎn)1.合同必定等價(jià)，等價(jià)未必合同；2.是對(duì)稱(chēng)矩陣既相似有合同與一個(gè)對(duì)角陣，即存在可逆矩陣使得下面通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)進(jìn)一步了解高等代數(shù)中的等價(jià)、相似、合同 例 1 已知4階矩陣相似與,的特征值為2、3、4、5，則 解 要解決這個(gè)問(wèn)題首先就要對(duì)等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)要有一個(gè)透徹的理解，由得特征值和性質(zhì)相似的性質(zhì)就可以知道矩陣的特

18、征值是2、3、4、5，所以的特征值是1、2、3、4，所以，所以這道題利用相似的性質(zhì)去解答就很簡(jiǎn)單 例 2 設(shè)則的個(gè)特征值是多少？ 解 由可以知道矩陣是可以對(duì)角化的，而且可以知道矩陣的秩是1(讀者可以自己利用矩陣的性質(zhì)加以證明）,所以有且僅有一個(gè)非零特征值，再由相似的性質(zhì)可知該特征值是，而其余個(gè)特征值都是零 例 3 試判定=，=是否等價(jià)？是否相似？是否合同？ 解 首先觀(guān)察這兩個(gè)矩陣很容易看出他們是等價(jià)的，因?yàn)榫仃嚳梢杂山?jīng)過(guò)一系列的初等變換而得，至于相似和合同我們可以通過(guò)求他們的特征值來(lái)確定, 具有四階特征值1，具有二階特征值1,二階特征值-1，所以他們是不相似的（特征值的大小不一樣）而且是不合同

19、的（特征值的正負(fù)性是不同的）4.3 等價(jià)關(guān)系在離散數(shù)學(xué)中的引出的新概念離散數(shù)學(xué)中的等價(jià)關(guān)系是從代數(shù)角度出發(fā)定義的，也就是等價(jià)關(guān)系的定義2.1所定義的，在這里記作 定義 4.3.1 設(shè)為非空集合 上的等價(jià)關(guān)系，令 ，則稱(chēng) 為關(guān)于 的等價(jià)類(lèi)，簡(jiǎn)記為 定義 4.3.2 設(shè)為非空集合 上的等價(jià)關(guān)系，以 的所有不交的等價(jià)類(lèi)作元素的集合稱(chēng)為 關(guān)于 的商集，記為，即 定義 4.3.3 設(shè)為非空集合 上的等價(jià)關(guān)系，如果是自反的、反對(duì)稱(chēng)的和傳遞的，則稱(chēng)為上的偏序關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)偏序，記作例如實(shí)數(shù)集上的小于等于關(guān)系，正整數(shù)集上的整除關(guān)系都是偏序關(guān)系 需要指出的是偏序關(guān)系是等價(jià)關(guān)系的一種延伸，它和等價(jià)關(guān)系一起作為離散數(shù)學(xué)

20、的兩種重要的關(guān)系，對(duì)集合進(jìn)行不同的分類(lèi)例 ，其中的含義就是可以被3整除不難驗(yàn)證為上的等價(jià)關(guān)系，其中可以得到相應(yīng)的等價(jià)類(lèi)有 ，另外可以得到的相應(yīng)的商集 數(shù)理邏輯中，命題公式 和等值(記為)是指由它們構(gòu)成的等價(jià)式 為永真式命題公式的等值關(guān)系是建立在由所有命題公式構(gòu)成的集合上的一種等價(jià)關(guān)系，這種等價(jià)關(guān)系將所有命題公式按其是否等值劃分成若干個(gè)等價(jià)類(lèi)，屬于同一個(gè)等價(jià)類(lèi)中的命題公式彼此等值，因而，只要清楚了等價(jià)類(lèi)中某一個(gè)公式的性質(zhì)，則與該公式同類(lèi)的公式的性質(zhì)也就完全清楚了至于等價(jià)類(lèi)的公式這里不再介紹，下面看幾個(gè)例題 例 1 驗(yàn)證等值式 證明 蘊(yùn)涵等值式 結(jié)合律 德.摩根律 蘊(yùn)涵等值式 需要指出的是上面的每

21、一步都用了置換規(guī)則在上述演算中，是從左邊公式開(kāi)始進(jìn)行的，當(dāng)然也可以從右邊公式演算 例 2 判別公式的類(lèi)型： 解 因而是滿(mǎn)足式 圖論中，無(wú)向圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間的連通關(guān)系實(shí)際上是一種等價(jià)關(guān)系，它是建立在由無(wú)向圖中所有結(jié)點(diǎn)做成的集合上的等價(jià)關(guān)系，只要兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間存在通路，則這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)就是等價(jià)的，它們便歸于同一類(lèi)，無(wú)向圖中連通分支的概念就建立在連通關(guān)系的基礎(chǔ)之上圖的同構(gòu)關(guān)系也是圖論中又一種十分重要的等價(jià)關(guān)系，它實(shí)際上是全體圖集合上的一個(gè)同時(shí)具有自反、對(duì)稱(chēng)和傳遞三個(gè)性質(zhì)的二元關(guān)系，可按此等價(jià)關(guān)系對(duì)全體圖集合中的圖進(jìn)行劃分，使屬于同一個(gè)等價(jià)類(lèi)中的圖具有完全相同的性質(zhì)4.4 等價(jià)關(guān)系在近世代數(shù)中的引出的新概念我們

22、知道群、環(huán)、域是近世代數(shù)的三個(gè)重要組成部分，三部分中的由等價(jià)關(guān)系所引出的陪集和商群的概念是大家學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn) 先看一個(gè)群和的一個(gè)子群，先規(guī)定一個(gè)的元中間的關(guān)系： ,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候給出了和，可以唯一決定是不是屬于，所以是一個(gè)關(guān)系且(1) ,所以；(2) ，所以 ；(3) ，所以 這樣，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系利用這個(gè)等價(jià)關(guān)系，可以得到一個(gè)的分類(lèi)這樣得來(lái)的類(lèi)有一個(gè)特殊的名字，并且用一種特殊的符號(hào)來(lái)表示他們，在下一節(jié)中將會(huì)對(duì)其有一個(gè)詳細(xì)的介紹4.4.1 陪集定義 4.4.1 由上節(jié)的等價(jià)關(guān)系所決定的類(lèi)叫做子群的右陪集包含元的右陪集用符號(hào)來(lái)表示 同樣的道理我們可以定義左陪集我們可以再規(guī)定等價(jià)關(guān)系：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)

23、候 同右陪集一樣可以看出，也是一個(gè)等價(jià)關(guān)系利用這個(gè)等價(jià)關(guān)系，可以得到的另一個(gè)分類(lèi)，第三章已經(jīng)講過(guò)，這里就不再做過(guò)多的描述 定義 4.4.2 由等價(jià)關(guān)系所決定的類(lèi)叫做子群的左陪集，包含元的左陪集用符號(hào)來(lái)表示例 ，求子群的左右陪集解 容易得到 同樣也可以用來(lái)做右陪集但是因?yàn)樗砸欢ㄓ?可以算一個(gè)測(cè)驗(yàn)一下：,.這樣，子群把整個(gè)群分成三個(gè)不同的右陪集而這三個(gè)右陪集放在一起顯然是的一個(gè)分類(lèi)類(lèi)似的可以得到右陪集：可以看到的左右陪集并不相同 利用左右陪集的概念可以得到不變子群給出一個(gè)群，一個(gè)子群，那么的一個(gè)右陪集未必等于 定義 4.4.3一個(gè)群的子群叫做一個(gè)不變子群，假如對(duì)于的每一個(gè)元來(lái)說(shuō)，都有=時(shí)一個(gè)不變

24、子群的左(右)陪集叫做的一個(gè)陪集 注意，所謂=，并不是說(shuō)可以和的每一個(gè)元交換，而且說(shuō)和這兩個(gè)集合一樣4.4.2 商群定義 4.4.4 一個(gè)群的不變子群的陪集所做成的群叫做一個(gè)商群，用符號(hào)來(lái)表示 因?yàn)榈闹笖?shù)就是的陪集的個(gè)數(shù)，顯然有，商群的元的個(gè)數(shù)等于的指數(shù)，當(dāng)是有限群的時(shí)候，有 從等價(jià)關(guān)系的角度看, 商群就是關(guān)于不變子群根據(jù)上述等價(jià)關(guān)系所做的一個(gè)分類(lèi), 把每一個(gè)類(lèi)“粘合”成一個(gè)元, 這些新的元素構(gòu)成的群稱(chēng)為的商群例1 是一個(gè)不變子群首先容易看出是子群，因?yàn)?但是,，所以從而命題得證4.5 等價(jià)關(guān)系在點(diǎn)集拓?fù)渲械囊龅男赂拍?.5.1 商空間定義 4.5.1 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 是一個(gè)集合，為一個(gè)

25、滿(mǎn)射,則 是 的一個(gè)拓?fù)?，稱(chēng)為 的一個(gè)商拓?fù)涠x4.5.2 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 是的一個(gè)等價(jià)關(guān)系商集及其商拓?fù)?構(gòu)成的拓?fù)淇臻g稱(chēng)為的商空間 定義 4.5.3 設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，滿(mǎn)足，則稱(chēng)映射為一個(gè)商映射，如果他是一個(gè)滿(mǎn)射并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)?如果是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，若無(wú)另外的說(shuō)明，則認(rèn)為商集的拓?fù)涫巧掏負(fù)洌簿褪钦f(shuō)將商集認(rèn)為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是商空間 通過(guò)在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定等價(jià)關(guān)系的辦法來(lái)得到商空間是構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的一種重要的方法手段，下面看幾個(gè)例子 例 1 在單位閉區(qū)間中定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系便得到了一個(gè)商空間習(xí)慣上將這個(gè)商空間說(shuō)成是“在單位閉區(qū)間i中粘合兩個(gè)短點(diǎn)

26、所得到的商空間” 例 2 在單位正方形中定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系：得到了一個(gè)商空間將這個(gè)商空間簡(jiǎn)單的說(shuō)成是將的一對(duì)豎直的對(duì)邊上的每一對(duì)具有相同的第二個(gè)坐標(biāo)的點(diǎn)和粘合而得到的商空間這個(gè)商空間將同陪與一截“管子”，即圓柱面4.5.2 連通分支定義4.5.4 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有一個(gè)連通子集同時(shí)包含和，稱(chēng)點(diǎn)和是連通的定義4.5.5 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，對(duì)于中的點(diǎn)的連通關(guān)系而言的每一個(gè)等價(jià)類(lèi)稱(chēng)為空間的一個(gè)連通 如果是拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集，作為的子空間的每一個(gè)連通分支稱(chēng)為的子集的一個(gè)連通分支定理4.5.1 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通分支，則（1）如果是的一個(gè)連通子集，并且；（2）是一個(gè)連通子集；（

27、3）是一個(gè)閉集4.5.3 道路連通空間定義4.5.6 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有一條從到的道路，我們則稱(chēng)點(diǎn)和是道路連通的 定義 4.5.7 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，對(duì)于中點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每一個(gè)等價(jià)類(lèi)稱(chēng)為拓?fù)淇臻g的一個(gè)道路連通分支 如果是拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集，作為的子空間的每一個(gè)道路連通分支稱(chēng)為的子集的一個(gè)道路連通分支5 等價(jià)關(guān)系的發(fā)展以及應(yīng)用拓展離散數(shù)學(xué)課程中,將等價(jià)關(guān)系用于多方面具體的分類(lèi),所以將要講述一些關(guān)于等價(jià)關(guān)系的擴(kuò)展知識(shí)等價(jià)關(guān)系的概念在被廣泛應(yīng)用的同時(shí),也在不斷地發(fā)展當(dāng)中自從美國(guó)計(jì)算機(jī)與控制論專(zhuān)家l. a.zadeh 于1965 年首次提出fuzzy 集的概念,從而對(duì)經(jīng)典的cantor

28、 集合理論做出了深刻的推廣以來(lái),模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)逐步發(fā)展成為一個(gè)較為完善的數(shù)學(xué)分支,并在眾多的領(lǐng)域特別是人工智能領(lǐng)域獲得了卓有成效的應(yīng)用經(jīng)典的二元關(guān)系理論中存在一個(gè)缺限,即沒(méi)有考慮元素與元素間關(guān)系程度的不同在zadeh提出了fuzzy 集的概念以后,人們便將經(jīng)典的二元關(guān)系擴(kuò)充為模糊數(shù)學(xué)中的模糊二元關(guān)系, 通過(guò)模糊二元關(guān)系可以較好地刻畫(huà)元素與元素間關(guān)系程度的不同,以模糊二元關(guān)系為基礎(chǔ),人們很自然地提出了模糊等價(jià)關(guān)系的概念一個(gè)上的模糊等價(jià)關(guān)系實(shí)際上就是上的一個(gè)模糊子集,滿(mǎn)足自反性、 對(duì)稱(chēng)性和傳遞性,與普通等價(jià)關(guān)系既有關(guān)系又有區(qū)別借助于模糊等價(jià)關(guān)系,可以較好地解決具有fuzzy 性的聚類(lèi)分析問(wèn)題,而聚類(lèi)

29、分析則是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域中的重要課題之一在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)介紹模糊等價(jià)關(guān)系,一方面可以使學(xué)生們加深對(duì)等價(jià)關(guān)系概念的理解,學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光分析和解決問(wèn)題,另一方面可以克服大多數(shù)離散數(shù)學(xué)教材只注重闡述理論而很少涉及其理論在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的應(yīng)用的缺陷,使學(xué)生們盡可能多地了解等價(jià)關(guān)系在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的具體應(yīng)用,提高學(xué)習(xí)的興趣事實(shí)上,等價(jià)關(guān)系在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中還有很多應(yīng)用,例如在軟件工程領(lǐng)域,為了盡可能多的找出軟件設(shè)計(jì)過(guò)程中可能存在的各種錯(cuò)誤,常常使用一種被稱(chēng)之為“等價(jià)類(lèi)劃分”的軟件測(cè)試方法這種方法實(shí)際上就是將所有待測(cè)試的數(shù)據(jù)所構(gòu)成的集合劃分成若干個(gè)符合軟件需求規(guī)格及設(shè)計(jì)規(guī)定的有效等價(jià)類(lèi)和若干個(gè)不符合軟件需求規(guī)格及設(shè)

30、計(jì)規(guī)定的無(wú)效等價(jià)類(lèi),然后在每個(gè)有效等價(jià)類(lèi)和無(wú)效等價(jià)類(lèi)中只各取一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試在組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中會(huì)碰到這樣一種困難，即區(qū)分所討論的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中哪些應(yīng)該看成是相同的，哪些應(yīng)該看成是不同的，在計(jì)數(shù)的過(guò)程中不能出現(xiàn)任何的重復(fù)或遺漏這種困難是概念性的，因?yàn)樗罁?jù)具體問(wèn)題的要求確切地給出對(duì)象異同的數(shù)學(xué)定義也就是說(shuō)，要在對(duì)象集合上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系，這樣，計(jì)數(shù)的對(duì)象便是等價(jià)類(lèi)，而不是元素本身組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中的許多結(jié)論、定理(如著名的burnside引理、polya計(jì)數(shù)定理)都要以這類(lèi)等價(jià)關(guān)系的概念為基礎(chǔ) 通過(guò)上面各種具體等價(jià)關(guān)系的描述可以看到，盡管這些具體的等價(jià)關(guān)系分屬于離散數(shù)學(xué)課程中各個(gè)不同的分支，所基于的集合中的對(duì)象表現(xiàn)形式和描述方式不同，對(duì)象的性質(zhì)也是千差萬(wàn)別，但它們都是基于某一集合上的二元關(guān)系且均具有自反、對(duì)稱(chēng)和可傳遞三個(gè)性質(zhì)，將它們的這種共性抽象出來(lái)便可使這些具體的等價(jià)關(guān)系都統(tǒng)一到定義1上來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的抽象由此可見(jiàn)，等價(jià)關(guān)系實(shí)質(zhì)上是對(duì)相應(yīng)集合中的具有同一性的對(duì)象即具有共性特征的對(duì)象的一種抽象，從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看，這符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律