羅爾拉格朗日柯西中值定理洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）至少存在一點(diǎn)使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在內(nèi)每點(diǎn)處至少存在一點(diǎn)使得3.2 洛必達(dá)法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對(duì)數(shù)化為基本形式1）型：取對(duì)數(shù)得，其中或；2）型：取對(duì)數(shù)得，其中或；3）型：取對(duì)數(shù)得，其中或。課后習(xí)題全解習(xí)題3-11.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的

2、所有條件？如滿足，請(qǐng)求出滿足定理的數(shù)值。（1）； （2）。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。 （2）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且， 在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求。2.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗(yàn)證定理的正確性。解：在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，要使，只要：，使，驗(yàn)證完畢。3.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。解：

3、要使，只要，從而即為滿足定理的。4.試證明對(duì)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而有，即，解得，結(jié)論成立。5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求出滿足定理的數(shù)值。知識(shí)點(diǎn)：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點(diǎn)處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得， 即為滿足定理的數(shù)值。6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。求證：存在，使。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為， 然后再利用羅

4、爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時(shí)常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要 只要設(shè)輔助函數(shù)7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且，證明：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明： 在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，又，由羅爾定理，至少有一點(diǎn)、，使得、；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)，使得。8.若4次方程有4個(gè)不同的實(shí)根，證明：的所有根皆為實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論方

5、程根的情況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，分別設(shè)為，在、上連續(xù)，在、上可導(dǎo)，又，由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、使得，即方程至少有3個(gè)實(shí)根，又三次方程最多有3個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立。9.證明：方程只有一個(gè)正根。知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)定理和羅爾定理的應(yīng)用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點(diǎn)定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點(diǎn)定理往往用來討論函數(shù)的零點(diǎn)情況；羅爾定理往往用來討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況。解：令，在上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理，至少有一點(diǎn)，使得；假設(shè)有兩個(gè)正根，分別設(shè)為、（），則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使得，這不可能。方程只有一個(gè)正根。10.不用

6、求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可考慮利用羅爾中值定理。解： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、，使得，即方程至少有三個(gè)實(shí)根，又方程為三次方程，至多有三個(gè)實(shí)根，有3個(gè)實(shí)根，分別為、。11.證明下列不等式：（1） ； （2） 當(dāng) 時(shí)， ；（3） 設(shè) ，證明； （4） 當(dāng)時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令， 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得

7、，從而當(dāng) 時(shí)，。（3）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得，即， 。（4）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得，即當(dāng)時(shí)，。12.證明等式：.知識(shí)點(diǎn)：（為常數(shù)）。思路：證明一個(gè)函數(shù)表達(dá)式恒等于一個(gè)常數(shù)，只要證證明：令，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，；成立。13.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識(shí)點(diǎn)：思路：因?yàn)?，所以當(dāng)設(shè)時(shí)，只要證即可證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則；。14.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且有，試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理的應(yīng)用。思路：關(guān)于導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處符號(hào)的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結(jié)論，逐層分析各層導(dǎo)函數(shù)改變量和自變量改變量的符號(hào)，得

8、出結(jié)論。證明： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，至少有一點(diǎn)、，使得，；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而至少有一點(diǎn)，使得。15.設(shè)在上可微，且試證明在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：極限的保號(hào)性、介值定理、微分中值定理。思路：要證明在某個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，只要證該函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。證明：，由極限的保號(hào)性知，（不妨設(shè)），對(duì)于，均有，特別地，使得，得；同理，由得（），使得，從而得；又在上連續(xù)，由介值定理知，至少有一點(diǎn)使得；在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，至少有一點(diǎn)、，使得，結(jié)論成立。16.設(shè)在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得。知識(shí)點(diǎn)：

9、微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。證明：存在性。在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，至少有一點(diǎn)，使得。唯一性的證明如下：方法一：利用反證法。假設(shè)另外存在一點(diǎn)，使得，又在（或）上連續(xù)，在（或）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)（或），使得，這與在閉區(qū)間上滿足矛盾。從而結(jié)論成立。方法二：在閉區(qū)間上滿足，在單調(diào)遞增，從而存在存在唯一的，使得。結(jié)論成立。17.設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，且試用柯西中值定理證明：。知識(shí)點(diǎn)：柯西中值定理。思路：對(duì)、在上連續(xù)使用次柯西中值定理便可得結(jié)論。證

10、明：、及其各階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且在每一點(diǎn)處，又，連續(xù)使用次柯西中值定理得，從而結(jié)論成立。習(xí)題3-21.用洛必達(dá)法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則。思路：注意洛必達(dá)法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未定式，對(duì)于這種形式可連續(xù)使用洛必達(dá)法則；對(duì)于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對(duì)于型、型與型的未定式，可通過取對(duì)數(shù)等手

11、段化為未定式；此外，還可以結(jié)合等價(jià)無窮小替換、兩個(gè)重要的極限、換元等手段使問題簡(jiǎn)化。解： （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解為：）（10）；（或解為：當(dāng)時(shí)，）（11）；（12）；（或解為：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，則 2.驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出。知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法則。思路：求導(dǎo)后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則不能解決所有的未定型極限問題。解： ，極限存在；若使用洛必達(dá)法則，得，而不存在，所以不能用洛必達(dá)法則求出。3.若有二階導(dǎo)數(shù)，

12、證明。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則。思路：使用洛必達(dá)法則，對(duì)極限中的函數(shù)上下求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)定義得結(jié)論。證明： ，結(jié)論成立。4.討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，要利用函數(shù)在一點(diǎn)處左、右連續(xù)的概念。解：，在處右連續(xù)；又，在處左連續(xù)；從而可知，在點(diǎn)處連續(xù)。5.設(shè)在處二階可導(dǎo)，且。試確定的值使在處可導(dǎo)，并求，其中 。知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系、洛必達(dá)法則。思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性、可導(dǎo)性，一般考慮利用定義。解：要使在處可導(dǎo)，則必有在處連續(xù)，又在處，；由導(dǎo)數(shù)定義，。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.3）3.3 泰勒公式泰勒中值定

13、理：如果在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項(xiàng)；或，稱為皮亞諾型余項(xiàng)。階麥克勞林公式：其中（）或。常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）2）3）4）5）6）習(xí)題3-31.按的冪展開多項(xiàng)式。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。思路：直接展開法。求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值，然后帶代入公式即可。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。2.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的三階泰勒公式。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得，（介于與4之間）。3.把在點(diǎn)展開到含項(xiàng)，并求。知識(shí)點(diǎn)：麥克勞

14、林公式。思路：間接展開法。為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論。解：；又由泰勒公式知前的系數(shù)，從而。4.求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，通常利用已知的結(jié)論。方法一：（直接展開），；，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論。方法一：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得 （介于與之間）。方法二： （介于與之間）。6.求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林展開式

15、。知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時(shí)，通常利用已知結(jié)論。方法一：，；，；，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式，得 。方法二： 。7.驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，按公式計(jì)算的近似值時(shí)，所產(chǎn)生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式估計(jì)誤差，就是估計(jì)拉格朗日余項(xiàng)的范圍。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估計(jì)其誤差。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用。解：設(shè)，則，從而；其誤差為：。9.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1） ； （2） 。知識(shí)點(diǎn)：泰勒展開式的應(yīng)用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)男问?，然后利用極限的運(yùn)算性質(zhì)得到結(jié)果。解：（

16、1）。（2）。10.設(shè)，證明：。知識(shí)點(diǎn)：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個(gè)函數(shù)，另一邊為其冪級(jí)數(shù)展開的一部分時(shí)，可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間）， ，從而，結(jié)論成立。（也可用3.4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）11.證明函數(shù)是次多項(xiàng)式的充要條件是。知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結(jié)論。解：必要性。易知，若是次多項(xiàng)式，則有。充分性。，的階麥克勞林公式為：，即是次多項(xiàng)式，結(jié)論成立。12.若在上有階導(dǎo)數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。知識(shí)點(diǎn)：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗(yàn)證

17、在上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)在處的泰勒展開式及已知條件得結(jié)論。方法一： 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得； 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；依次類推可知，在 上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。方法二：根據(jù)已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結(jié)論成立。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.4）3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。1） 曲線凹凸性的概念：設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)，恒有，則稱在上的圖形是凹的；如果

18、恒有，則稱在上的圖形是凸的。2）拐點(diǎn)的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)成為曲線的拐點(diǎn)。曲線凹凸性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。習(xí)題3-41.證明函數(shù)單調(diào)增加。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。在某個(gè)區(qū)間上，（），則在單調(diào)增加（減少）。證明：（僅在處），在內(nèi)是單調(diào)增加的。2.判定函數(shù)的單調(diào)性。解：（僅在處），是單調(diào)增加的。3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的

19、單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定義域?yàn)椋涣?，得，。列表討論如下：由上表可知，在、?nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（2） 在內(nèi)，令，得；當(dāng) 時(shí)，有；當(dāng) 時(shí)，有；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。（3）的定義域?yàn)椋涣?，得；為不可?dǎo)點(diǎn)。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（4）的定義域?yàn)?，在?nèi)嚴(yán)格單增。（5）的定義域?yàn)?，在上?yán)格單增。（6）的定義域?yàn)?，令，得；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。4.證明下列不等式：（1） 當(dāng)時(shí)，； （2）

20、當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，； （4）時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習(xí)題3-3第10題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，則當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格單增；從而，即，結(jié)論成立。方法二：由泰勒公式，得（），從而得，結(jié)論成立。（2）方法一：令，則當(dāng)時(shí)，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而，在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)，結(jié)論成立。注：利用的符號(hào)判斷的單調(diào)性，利用的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號(hào)，從而得出在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。方法二：令，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)嚴(yán)格單增， ，從而有，即，結(jié)論成立。（3）令，則當(dāng)時(shí)有（僅在時(shí)，），在上嚴(yán)格單增，從而有，即，結(jié)論成立。

21、（4）令，則當(dāng)時(shí)，有從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，即在內(nèi)；再令，則當(dāng)時(shí)，從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，即在內(nèi)，結(jié)論成立。5.試證方程只有一個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一個(gè)根；令，則（僅在處），在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)根。6.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。（僅在處），在內(nèi)嚴(yán)格單增；而在內(nèi)嚴(yán)格單減，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而在上不單調(diào)。7.求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間：（1）； （2） ； （3）

22、 ；（4）； （5） ； （6） 。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1），當(dāng)時(shí)，在上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（2）的定義域?yàn)椋?，令，得；?dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點(diǎn)為。（3） 的定義域?yàn)椋谡麄€(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（4）的定義域?yàn)?，在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（5） 的定義域?yàn)?，令，得；列表討論如下：由上表可知，的凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為及。（6）的定義

23、域?yàn)?，令，得；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。8.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：（1）； （2）。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的概念。思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時(shí)可考慮利用函數(shù)的凹凸性。證明：（1）令，在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。（2）令，在內(nèi)，在內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。9.求曲線的拐點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：同7。解：的定義域?yàn)?，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：由上表可知，拐點(diǎn)為、。10.問及為何值時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)？知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：拐點(diǎn)通常是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或者是不可導(dǎo)點(diǎn)

24、。又高階可導(dǎo)的函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。解：的定義域?yàn)?，；將代入中，得：；將代入中，得：；由得，?1.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點(diǎn)，且點(diǎn)在曲線上。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用可導(dǎo)函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù)。解：，； 將代入，得 將分別代入與中，得 ； 將代入中，得 由得，。12.試確定中的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：可導(dǎo)的拐點(diǎn)必為二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；依此求出拐點(diǎn)坐標(biāo)，寫出法線方程，根據(jù)已知條件，求出值。解：的定義域?yàn)?；，；令，得?/p>

25、易知，當(dāng)?shù)娜≈低ㄟ^的兩側(cè)時(shí)，會(huì)變號(hào)，與均為的拐點(diǎn)；，兩拐點(diǎn)處法線方程分別為：，；又兩法線過原點(diǎn)，將代入法線方程，得，解得。13.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問是否為拐點(diǎn)，為什么？知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)極限的保號(hào)性和拐點(diǎn)的定義得結(jié)論。方法一：，不妨設(shè)，即；由極限的保號(hào)性知，必存在，使得，均有；從而當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有；為拐點(diǎn)。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.5）3.5 函數(shù)的極值與最大值最小值極值的概念：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)（），恒有（或），則稱在點(diǎn)處取得極大值（或極小值），而成為函數(shù)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。函數(shù)極值的判別法第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在），（1）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內(nèi)，不變號(hào)，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性。第二充分條件：設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。注：利用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系習(xí)題3-51.求下列函數(shù)的極值：（1） ； （2）； （3）