專題03 幾何體的表面積和體積-新教材2019-2020學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末挑重點(diǎn)(人教A版必修第二冊(cè))

1、專題03 幾何體的表面積和體積1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個(gè)面都是平面,則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rl3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VS底h球S4R2VR3考點(diǎn)一空間幾何體的表面積例1.（2020南昌市新建一中高二開學(xué)考試（文）過球的一條半徑的中點(diǎn),作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的表面積的比（ ）ABCD【參考答案】A【解析】例2.（2020

2、六盤山高級(jí)中學(xué)高三一模（文）已知圓柱的軸截面為正方形,且圓柱的體積為,則該圓柱的側(cè)面積為_.【參考答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為,由于該圓柱的軸截面為正方形,則該圓柱的高為,所以,圓柱的體積為,解得.因此,該圓柱的側(cè)面積為.故參考答案為：.考點(diǎn)二空間幾何體的體積例3.（2020江蘇省高三一模）將半徑為的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面,若圓錐的體積為,則_【參考答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,由于半圓弧長等于圓錐底面圓的周長,則,圓錐的高為,則圓錐的體積為,解得.故參考答案為：.例4.（2019衡東縣歐陽遇實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體挖去四棱

3、錐后所得的幾何體,其中為長方體的中心,分別為所在棱的中點(diǎn),打印所用原料密度為,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為_.【參考答案】1188【解析】由題意得, ,四棱錐OEFG的高3cm, 又長方體的體積為,所以該模型體積為,其質(zhì)量為考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問題例5.（2020江西省高三二模（文）已知三棱錐中,則該三棱錐的外接球的表面積是_.【參考答案】【解析】將三棱錐補(bǔ)生長方體,設(shè),設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個(gè)等式全部相加得,因此,三棱錐的外接球面積為.故參考答案為：.例6.體積為的球與正三棱柱的所有面均相切,則該棱柱的體積為_.【參考答案】6【解析】設(shè)球的半徑

4、為R,由R3,得R1,所以正三棱柱的高h(yuǎn)2.設(shè)底面邊長為a,則a1,所以a2.所以V(2)226.一、單項(xiàng)選擇題1（2019江蘇省南通中學(xué)高一期中）正方體的表面積為96,則正方體的體積為（ ）AB64C16D96【參考答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長為,則,故體積為.故選：B2（2020浙江省高二期末）半徑為2的球的表面積是（ ）ABCD【參考答案】C【解析】由球的表面積公式可得,故選：C.3（2019廣東省高一期中）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)

5、,米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【參考答案】B【解析】設(shè)米堆的底面半徑為r尺,則r8,所以r.所以米堆的體積為Vr255(立方尺).故堆放的米約有1.6222(斛).4（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長是,側(cè)棱長是,則該正四棱錐的表面積為（ ）ABCD【參考答案】B【解析】如圖所示,在正四棱錐中,取中點(diǎn),連接,則為直角三角形,所以,所以表面積.故選：B.5已知正六棱柱的高為,底面邊長為,則它的表面積為（ ）ABCD【參考

6、答案】A【解析】由題知側(cè)面積為,兩底面積之和為,所以表面積.故選：A.6如圖,已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為1m2,互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為1m,則這個(gè)六棱柱的體積為( )ABC1m3D【參考答案】B【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長為m,高為m,則,解得.所以六棱柱的體積.故選：B.7（2020湖北省華中師大一附中高一期中）若圓錐的高等于底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比為A12B1C1D2【參考答案】C【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,則高h(yuǎn)2r,其母線長lrS側(cè)rlr2,S底r故選C8（2020江西省宜豐中學(xué)高二開學(xué)考試（文）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC

7、是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),CEF=90,則球O的體積為ABCD【參考答案】D【解析】解法一:為邊長為2的等邊三角形,為正三棱錐,又,分別為、中點(diǎn),又,平面,平面,為正方體一部分,即 ,故選D解法二:設(shè),分別為中點(diǎn),且,為邊長為2的等邊三角形,又中余弦定理,作于,為中點(diǎn),又,兩兩垂直,故選D.2、 多項(xiàng)選擇9（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）長方體的長、寬、高分別為3,2,1,則（ ）A長方體的表面積為20B長方體的體積為6C沿長方體的表面從A到的最短距離為D沿長方體的表面從A到的最短距離為【參考答案】BC【解析】長方體的表面積為,A錯(cuò)誤.長方體的體積為,B正確.如圖（1）所

8、示,長方體中,.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形,如圖（2）所示,將側(cè)面和側(cè)面展開, 則有,即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時(shí)的最短距離是；如圖（3）所示,將側(cè)面和底面展開,則有,即經(jīng)過側(cè)面和底面時(shí)的最短距離是；如圖（4）所示,將側(cè)面和底面展開, 則有,即經(jīng)過側(cè)面和底面時(shí)的最短距離是.因?yàn)?所以沿長方體表面由A到的最短距離是,C正確,D不正確.故選：BC.10（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（ ）A棱柱的側(cè)棱長都相等B棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D用一個(gè)平面截一個(gè)球,得到的截面是一個(gè)圓面【參考答案】AD【解析】A正確；B不正確,例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互

9、相平行；C不正確,棱臺(tái)的側(cè)棱長可能不相等；D正確,用一個(gè)平面截一個(gè)球,得到的截面是一個(gè)圓面.故選：AD.11（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）已知的三邊長分別是,.下列說法正確的是（ ）A以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為B以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為C以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為D以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為【參考答案】AD【解析】以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為3,母線長為5,高為4的圓錐,其側(cè)面積為,體積為,故A正確,B錯(cuò)誤；以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),所得旋轉(zhuǎn)體是底面半

10、徑為4,母線長為5,高為3的圓錐,側(cè)面積為,體積為,故C錯(cuò)誤,D正確.故選：AD.12.（2020棗莊模擬）如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器一邊AB于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面幾個(gè)結(jié)論：（）A沒有水的部分始終呈棱柱形B水面EFGH所在四邊形的面積為定值C隨著容器傾斜度的不同,A1C1始終與水面所在平面平行D當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí),AEAH為定值【參考答案】AD【解析】因?yàn)槿萜鞯淖髠?cè)面與右側(cè)面平行,在容器傾斜的過程中,沒有水的部分始終滿足棱柱的結(jié)構(gòu)特征,故沒有水的部分始終呈棱柱形,A正確；在容器傾斜的過程中,水面成矩形面,長度E

11、F不變,寬度EH變化,則水面EFGH所在四邊形的面積變化,故B錯(cuò)誤；A1C1AC,在傾斜的過程中,AC與水面相交,則A1C1與水面所在的平面相交,故C錯(cuò)誤；因?yàn)樗捏w積是不變的,而高始終是EF也不變,因此底面的面積也不變,即AEAH是定值,故D正確故選：AD3、 填空題13（2020日照五蓮高一月考）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積的比是_.【參考答案】【解析】設(shè)正方形的邊長為a,圓柱的底面半徑為,則,所以圓柱的表面積,故側(cè)面積與表面積之比為.故參考答案為：.14（2018天津靜海一中高一月考）若一圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積之比為_.

12、【參考答案】【解析】設(shè)圓柱與圓錐的底面半徑分別為、,高均為,圓柱和圓錐的體積分別為、,則, 所以,圓柱和圓錐的體積之比為.故參考答案為：.15一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切,已知這個(gè)球的體積是,那么這個(gè)三棱柱的體積是 .【參考答案】【解析】由球的體積公式,得,解得,所以正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=4設(shè)正三棱柱的底面邊長為a,則其內(nèi)切圓的半徑為：,得,所有該正三棱柱的體積為.16.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻著一個(gè)圓柱,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等,相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn),圓柱的體積與球的體積之比為,

13、圓柱的表面積與球的表面積之比為【參考答案】【解析】由題意,圓柱底面半徑r球的半徑R,圓柱的高h(yuǎn)2R,則V球R3,V柱r2hR22R2R3S球4R2,S柱2r2+2rh2R2+2R2R6R2所以四、解答題17如圖,正方體中,棱長,過點(diǎn)的平面與正方體的面相交,交線圍成一個(gè)正三角形（1）在圖中畫出這個(gè)正三角形（不必說明畫法和理由）；（2）平面將該正方體截成兩個(gè)幾何體,求體積較大的幾何體的體積和表面積【參考答案】（1）正三角形見解析；（2）體積為,表面積為【解析】（1）連接,則為所求三角形（做法不唯一）,如圖所示； （2）平面將正方體截成三棱錐和多面體兩部分,因此體積較大的幾何體是多面體,其體積為,由

14、,得,又,故多面體的表面積為考點(diǎn)：空間幾何體表面積與體積18現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB6 m,PO12 m,則倉庫的容積是多少？【參考答案】【解析】由PO12 m,知O1O4PO18 m.因?yàn)锳1B1AB6 m,所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐PO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3),所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(m3).故倉庫的容積是312 m3

15、.19.如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB16,BC10,AA18,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1ED1F4.過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.【解析】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖,作EMAB,垂足為M,則AMA1E4,EB112,EMAA18.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EHEFBC10.于是MH6,AH10,HB6.故S四邊形A1EHA(410)856,S四邊形EB1BH(126)872.因?yàn)殚L方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱

16、,所以其體積的比值為（也正確）.20如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)（其中）的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體,求該幾何體的表面積及體積?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥咳鐖D所示,過C作于,在半圓中可得,又,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為.又,.21如圖,有一個(gè)水平放置的無蓋正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,若不計(jì)容器的厚度,如何求出球的體積？（1）求球的體積的關(guān)鍵是什么？（2）求出球的半徑.（3）計(jì)算球的體積.【參考答案】（1）求出球的半徑；（2）（3）【解析】（1）球的體積計(jì)算的關(guān)鍵是求出球的半徑.（2）如圖,作出球的一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?則,.設(shè)球的