傳染病模型2PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1傳染病模型傳染病模型2于是得微分方程于是得微分方程) 18()0()()(00iitikdttdi其解其解為為 tkeiti00)(結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。 這個(gè)結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合。這個(gè)結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合。 但由但由(8-1)的解可以推出，當(dāng)?shù)慕饪梢酝瞥?，?dāng)t+時(shí)，時(shí)， +，這顯然是不符合實(shí)際情況的，問題在于，這顯然是不符合實(shí)際情況的，問題在于兩條假設(shè)均不合理。兩條假設(shè)均不合理。 )(ti第1頁/共14頁模型二：模型二： 用用 表示表示t時(shí)刻傳染病人數(shù)和未被時(shí)刻傳染病人數(shù)和未被傳染的人數(shù)，傳染的人數(shù)， ；

2、)(),(tsti0)0(ii 假設(shè)：假設(shè)： (1)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)未被傳染的人數(shù)成正比，即未被傳染的人數(shù)成正比，即 )(0tksk (2)一人得病后經(jīng)久不愈，人在傳染期不會(huì)死亡；一人得病后經(jīng)久不愈，人在傳染期不會(huì)死亡； (3)總?cè)藬?shù)為總?cè)藬?shù)為n，即，即 ； ntits)()( 由以上假設(shè)得微分方程由以上假設(shè)得微分方程)28()0()()()()()(0iintitstitksdttdi第2頁/共14頁用分離變量法得其解為用分離變量法得其解為 ) 38() 1(1)(0knteinnti其圖形如圖其圖形如圖 模型模型(8-2)可以用來預(yù)報(bào)傳染

3、較快的疾病前可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時(shí)間。期傳染病高峰到來的時(shí)間。 由由(8-3)式可得式可得第3頁/共14頁)48() 1(1 ) 1(2002knteineinkndtdiknt其圖形如圖其圖形如圖 醫(yī)學(xué)上稱醫(yī)學(xué)上稱 為傳染病曲線（它表示傳為傳染病曲線（它表示傳染病人增加率與時(shí)間的關(guān)系）。染病人增加率與時(shí)間的關(guān)系）。 tdtdi第4頁/共14頁，令令0)(22dttid得極大值點(diǎn)得極大值點(diǎn)： )58() 1ln(01knint由此可知由此可知 1)當(dāng)傳染病強(qiáng)度當(dāng)傳染病強(qiáng)度k或總?cè)藬?shù)或總?cè)藬?shù)n增加時(shí)，增加時(shí)， 都將變都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實(shí)際情況吻合。小，即

4、傳染病高峰來得快，這與實(shí)際情況吻合。 1t 2)如果知道了傳染強(qiáng)度如果知道了傳染強(qiáng)度k（k由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出），即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來的時(shí)間，即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來的時(shí)間 ，這對于防，這對于防治傳染病是有益處的。治傳染病是有益處的。 1t第5頁/共14頁模型二的缺點(diǎn)是：模型二的缺點(diǎn)是： 當(dāng)當(dāng)t時(shí)，由時(shí)，由(8-3)式可知式可知 n，即最，即最后人人都要生病，這顯然是不符合實(shí)際情況。造后人人都要生病，這顯然是不符合實(shí)際情況。造成的原因是假設(shè)成的原因是假設(shè)(2)中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈。 )(ti 為了與實(shí)際問題更加吻合，我們對上面的數(shù)為了與實(shí)際問題更加吻合，我

5、們對上面的數(shù)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得病后有的會(huì)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得病后有的會(huì)死亡，另外不是每個(gè)人被傳染后都會(huì)傳染別人，因死亡，另外不是每個(gè)人被傳染后都會(huì)傳染別人，因?yàn)槠渲幸徊糠謺?huì)被隔離。還要考慮人得了傳染病由為其中一部分會(huì)被隔離。還要考慮人得了傳染病由于醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)于醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)那樣人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立那樣人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立新的模型。新的模型。 第6頁/共14頁模型三：模型三： 在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù)在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù)雜得多的因素，但

6、仍要把問題簡化。設(shè)患過傳染雜得多的因素，但仍要把問題簡化。設(shè)患過傳染病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設(shè)病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì)，即是一個(gè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì)，即是一個(gè)人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把居民分成三類：居民分成三類： 第一類是有能夠把疾病傳染給別人的那些傳第一類是有能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的，用染者組成的，用I(t)表示表示t時(shí)刻第一類人的人數(shù)。時(shí)刻第一類人的人數(shù)。 第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那

7、些人組成的，用者的那些人組成的，用S(t)表示表示t時(shí)刻第二類人的時(shí)刻第二類人的人數(shù)。人數(shù)。第7頁/共14頁 第三類是包括患病死去的人、病愈后具有長期第三類是包括患病死去的人、病愈后具有長期免疫力的人以及在病愈并出現(xiàn)長期免疫力以前被免疫力的人以及在病愈并出現(xiàn)長期免疫力以前被隔離起來的人，用隔離起來的人，用R(t)表示表示t時(shí)刻第三類人的人數(shù)時(shí)刻第三類人的人數(shù)。 假設(shè)疾病傳染服從下列法則：假設(shè)疾病傳染服從下列法則： (1)在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡以及，即不考慮出生及其它原因引起的死亡以及遷入、遷出情況。遷入、

8、遷出情況。 (2)易受傳染者人數(shù)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類人的變化率正比于第一類人的人數(shù)的人數(shù)I(t)與第二類人的人數(shù)與第二類人的人數(shù)S(t)的乘積。的乘積。 (3)由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類人由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類人的人數(shù)成正比。的人數(shù)成正比。 由此得下關(guān)系式由此得下關(guān)系式第8頁/共14頁)68( ISIdtdIIdtdRSIdtdS 其中其中、為兩比例常數(shù)，為兩比例常數(shù)，為傳染率，為傳染率，為排除率。為排除率。由由(8-6)的三個(gè)方程相加得的三個(gè)方程相加得0)()()(tRtItSdtd又又 S(t)I(t)R(t)N （常數(shù)）（常數(shù)）所以所以 R(t)

9、NS(t)I(t)由此知，只要知道了由此知，只要知道了S(t)和和I(t)，即可求出，即可求出R(t)。 第9頁/共14頁 由由(8-6)中第一、三兩式得中第一、三兩式得 )78( ISIdtdISIdtdS 由此推出由此推出)88(11SSIISIdSdI 所以所以CSSSIln)( 當(dāng)當(dāng)tt。時(shí)。時(shí) I(t。)I。，。，S(t。)S。，。， 記記)98(ln)(000SSSSISI 即有即有第10頁/共14頁下面我們討論積分曲線下面我們討論積分曲線(8-9)的性質(zhì)：的性質(zhì)： 由由(8-8)式知式知 SSSSSI0001)(所以當(dāng)所以當(dāng)S時(shí)，時(shí)，I(S)是是S的減函數(shù)。的減函數(shù)。 而而I(0

10、)，I(S。)I。0， 由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理及單調(diào)性知，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理及單調(diào)性知， 存在唯一存在唯一 使得使得 ，且，且當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，I(S)0。 0*0,SSS0)(*SI0*SSS第11頁/共14頁當(dāng)當(dāng)tt。時(shí)，方程。時(shí)，方程(8-9)的圖形如圖的圖形如圖 由此知，當(dāng)由此知，當(dāng)t由由t。變化到。變化到時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)(S(t),I(t)沿曲沿曲線線(8-9)移動(dòng)，并沿移動(dòng)，并沿S減少方向移動(dòng)，因?yàn)闇p少方向移動(dòng)，因?yàn)镾(t)隨時(shí)間的隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此如果增加而單調(diào)減少。因此如果S。小于。小于，則，則I(t)單調(diào)減單調(diào)減少到零，少到零，S(t)單調(diào)減少到單調(diào)減少到 。所以，如果為數(shù)

11、不多。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者的一群傳染者I。分散在居民。分散在居民S。中，且。中，且 ，則這，則這種疾病會(huì)很快被消滅；如果種疾病會(huì)很快被消滅；如果S。，則隨著，則隨著S(t)減少減少到到，I(t)增加，且當(dāng)增加，且當(dāng)S時(shí)時(shí)I(t)達(dá)到最大值；當(dāng)達(dá)到最大值；當(dāng)S(t)時(shí)，時(shí)，I(t)才開始減少。才開始減少。*S 0S第12頁/共14頁由上分析可得如下結(jié)論：由上分析可得如下結(jié)論： 只有當(dāng)?shù)鼐用裰械囊资軅魅菊叩娜藬?shù)超過閾值只有當(dāng)?shù)鼐用裰械囊资軅魅菊叩娜藬?shù)超過閾值 時(shí)，傳染病才會(huì)蔓延。時(shí)，傳染病才會(huì)蔓延。 用一般的常識來檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。用一般的常識來檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識，當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好