動態(tài)規(guī)劃加速原理之四邊形不等式

1、（1）在動態(tài)規(guī)劃問題中,有一個常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程minikj?（從-1）十加（Q） + W（ij）j（1）（1）例如“最小代價子母樹”問題，都用到了這個式子。假如對于/rj/有那么我們稱函數(shù)W滿足。另外，假如有：w（ij）+w（ij）s（rj）+w（j（1）（1）DCA/ V-（ 、B、0 圖1四邊形不等式的老掠理解那么我們稱函數(shù)r滿足例如在“最小代價子母樹”問題中,有w（ij）+w（rjj=w（ij）+w（ijj因此該問題屮函數(shù)W是滿足四邊形不等式的。左圖是四邊形不等式的種形彖化理解。上面的不等 式在圖中可以看作在四邊形ABCD屮，對角線AC兩個端 點的權(quán)值Z和，不大J：對角線BD兩個端點的

2、權(quán)值Z和。我們卜面要研究的問題，是在w既滿足關(guān)區(qū)間包含 的單調(diào)性，又滿足四邊形不等式的前提卜-進(jìn)行的。【定理1】假如函數(shù)w滿足I：述條件，那么函數(shù)加也滿足 四邊形不等式，即加 0 J）十 m（i： /） W 加億 j） + m（,門，i /z j f證明：當(dāng)i = i或丿時，顯然何/（/,;） + m（i；門=加（廠J）十/（/,/）,不等式成立。對不同的問題，m（i.j）的邊界取值可能不同。這對我們討論的問懸沒令彩響。卜而分兩種情況進(jìn)行川納證明（對/=i進(jìn)行川納）:此時，四邊形不等式轉(zhuǎn)化為形如加(/)+= m (i, /)的反三角形式。設(shè) R = max / /?(/, /) = /n (/

3、,r -1) + /J (r, f) + vv(/,/) 0由對稱性，不妨假&k jo 那么,# m(i, f) = w(i9 f)+m(i, r -1)+m(r, jf) 因此,有:m(i9 j) + w(i, j)+m(i,k-l) + m(kj) + m (j, /)S w(i,/) + 加( 1)十加( J)十加(人 /)S w (i,門十加(譏-1)十加(R,門二加億門 / /y = maxw 設(shè)Z = max (/2 /JJ= w(i： j)十 m (i； / -1) + 加(/J)= w(i,j) + m (z,/-1) + m (/,/)曲對稱性，不妨再假設(shè)Zjo那么，宙定義u

4、j/zyj因此我們仃:S w（ij）十加（譏一1）十7（zJ）十w（匚門+加億y-l） + 7（y,門 w（ij）+w（廠J） +加（廠，y-l） + i（/,Z-l） + i（Zj） + MyJ）叫，門+ w（i； J） +加（廠,一 1） +加（譏一 1） +加（）,/） +加（乙門= 7（i,門+加億力綜上所述，由數(shù)學(xué)川納法可知，函數(shù)也滿足四邊形不等式。證畢。我們定義s（ij）為函數(shù)加（ij）對應(yīng)的決策變屋的最大值,即:$（門）=max/n(ij) = w(i, j) + /nikj 1 V 7 V（譏一 1）十加（j）(13)【定理2】假如加（ij）滿足四邊形不等式,那么s（ij）單調(diào)

5、,即:5(zJ)5(/；j + l)5(/+hj + l)證明:由對稱性,我們僅需證明 5（/,J）5（/j + l）o 在 時,5（ZJ）= 5（/J + I）= oo, 命題顯然成立。i = j時，5(/，7)= 05(/；j + l),命題也成立。卜面討論jvj的情況。為了方便敘述，我們令叫(i,j)表示決策變竜取k的時候冃標(biāo)甫數(shù)的值。即 叫(iJ) = w(i,j)+m(i9k-l)+m(k,j) 那么有叫(片)(/,；) =加(i,j)由于m(i9j)滿足四邊形不等式，因此對于任意的kSkSj,有:m(i,j)+m(F,j + l)v(fJ + l)+m(i,r-l),就可以得出 叫

6、(i,j) + m+叫 U，j +1) + 叫(i, j)，即:mk(ij+l)_%,(jj+l)(1.4)通過(1.4)式我們可以發(fā)現(xiàn),G 坯(zj) T 叫(i +1) S “ (/, J + 1)(1.5)由-kfk，同時對于所有的 ks(ij),證畢。證明了加(ij)取到最優(yōu)值時的決策變鼠$(ij) n仃單調(diào)性Z后，我們發(fā)覺 s(ij-l)s(ij) j由于動態(tài)規(guī)劃的階段是/ = j i，因此我們在尋求m(ij)的時候,5(/J-I)和$(21J)必 定L1經(jīng)求出。因此我們町以縮小決策變啟R的枚舉范用，從而減少運算彊。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(1.1)的時間復(fù)雜度為0(，)，而(1.6)式的復(fù)雜度

7、為o| (l + s(j十 1J + /-1)-E，i + /_2)? + l-/ + 5(/? + 2-/,n)-5(lJ-l)珂護(hù)+ 1 2/)=o( 1打 因此優(yōu)化后的算法時間復(fù)雜度為0(用)O事實上，四邊形不等式并不僅僅限J(ll)的形式，何不少與Z類似的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，也 是滿足四邊形不等式的。用個尤素弓e, -en. 口J以構(gòu)成：種不同的二叉搜索樹。對于一個給定的二十1叉捜索樹丁中包倉值的結(jié)點我們定義訪問該結(jié)點的費用C：為連接根結(jié)點和該結(jié)點的唯一路徑所包含的邊數(shù)。特別的，訪問根結(jié)點的費用為0。再給定個常吊J,厶,，人，二叉捜索樹T的總權(quán)值定義為nsi 叫=工 / Cj我們把總權(quán)值最小

8、的一個二叉搜索樹稱作“最優(yōu)二叉搜索樹”。給定仏人,，九, 求繪優(yōu)二義樹的總權(quán)值。 很明顯，5這個條件確定了問題的冇序性。我們定義那么,我們可以得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:min加(譏一 1)十嘰譏一 1)+ 】( +l,J) + w(R + j加(1/)即為所求。 1很明顯，(2.1)式的時間復(fù)雜度為O(X)。但是注意到(2.1)和(1.1)的形式相肖類似，因此 我們試圖證明其滿足四邊形不等式，從何得出決策變屆的單調(diào)性，將該問題的復(fù)雜度降到 0(冋。首先，不難發(fā)現(xiàn)w滿足區(qū)間包含的單調(diào)性和四邊形不等式。卜面我們證明加同樣滿足 四邊形不等式人當(dāng)或j = /時，不等式顯然成立。下面進(jìn)行歸納證明，対i = f-

9、i進(jìn)行歸納：1 iif= i f：不等式轉(zhuǎn)化為 m(i, +/(/, /).設(shè)k = max/”7(U-l)+w(j,/-l) + ?(/ + lJ) + w(/ + lJ)。有對稱性，不妨假設(shè)kj.那么，有：加(ij) +加(人門S 加(譏 一 1)十-1)十 zn (R +1J)十 vv(R+1J)+加(J J)/?/(/, R 1)十 vv(z, R 1) +R 十 1,丿)十 w(R +1, /)=加(二門 / /2/Z J Jy = maxp|/n(z j) =+vv(zr-l) + zw(/ + l, j) + vv(r + l, j)J設(shè)4Z = max /”H(i,j) = i(i,f_l) + w(j,/_l) + i(/ + lJ) + w(f + lJ)由対稱性，不妨假設(shè)zya那么izyj為了節(jié)省篇幅，這電的證明省略了-些對丁邊界悄況的討論.加(ij)+加億門/?/(/, Z-l) + iv(/,Z-l) + /n(z + lJ)+vv(z + l,j) +m(iz,y