(樊昌信第七版)通原第11章信道編碼2

1、1 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 l11.5 線性分組碼線性分組碼 n基本概念基本概念 u代數(shù)碼代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼。：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼。 u線性碼線性碼：按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性：按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性 碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著 的。的。 u線性分組碼線性分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼 。 本節(jié)將以本節(jié)將以漢明碼漢明碼為例引入線性分組碼的一般原理。為例引入線性分組碼的一般原理。 2 l漢明碼不是僅指一種碼，而是糾錯(cuò)能力漢明碼不是僅指一種碼，

2、而是糾錯(cuò)能力t = 1的線性分組的線性分組 碼。二進(jìn)制漢明碼碼長(zhǎng)碼。二進(jìn)制漢明碼碼長(zhǎng)n和信息位和信息位k服從服從 (n,k)=(2r-1, 2r-1-r) (8.4-25) 當(dāng)當(dāng)r3、4、5、6、7、8時(shí)，我們有時(shí)，我們有(7,4)、(15,11)、 (31,26)、(63,57)、(127,120)、(255,247)漢明碼。漢明碼。 式中式中r即為監(jiān)督位的位數(shù)。即為監(jiān)督位的位數(shù)。 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 3 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 n漢明碼漢明碼 能夠糾正能夠糾正1位錯(cuò)碼且編碼效率較高的一種線性分組碼位錯(cuò)碼且編碼效率較高的一種線性分組碼 u漢明碼

3、的構(gòu)造原理。漢明碼的構(gòu)造原理。 p在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a0，它和信息，它和信息 位位an-1 a1一起構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式：一起構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式： 在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算 若若S = 0，就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)碼；若，就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)碼；若S = 1，就認(rèn)為有錯(cuò)碼?，F(xiàn)，就認(rèn)為有錯(cuò)碼?，F(xiàn) 將上式稱為將上式稱為監(jiān)督關(guān)系式監(jiān)督關(guān)系式，S稱為稱為校正子校正子。由于校正子。由于校正子S 只有兩種取值，故它只能代表有錯(cuò)和無(wú)錯(cuò)這兩種信息，只有兩種取值，故它只能代表有錯(cuò)和無(wú)錯(cuò)這兩種信息， 而不能指出錯(cuò)碼的位置。而不能指出錯(cuò)碼的位置。 0 02

4、1 aaa nn 021 aaaS nn 4 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 p若監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類(lèi)似的監(jiān)督若監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類(lèi)似的監(jiān)督 關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4中組合：中組合： 00，01，10， 11，故能表示，故能表示4種不同的信息。若用其中種不同的信息。若用其中1種組合表示無(wú)錯(cuò)，種組合表示無(wú)錯(cuò)， 則其余則其余3種組合就有可能用來(lái)指示一個(gè)錯(cuò)碼的種組合就有可能用來(lái)指示一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置。種不同位置。 同理，同理，r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示1位錯(cuò)碼的位錯(cuò)碼的(2r 1)個(gè)可能位置。

5、個(gè)可能位置。 p一般來(lái)說(shuō)，若碼長(zhǎng)為一般來(lái)說(shuō)，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)，則監(jiān)督位數(shù)rnk。 如果希望用如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示1位錯(cuò)碼位錯(cuò)碼 的的n種可能位置，則要求種可能位置，則要求 下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。 1212rkn rr 或 5 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 p例：設(shè)分組碼例：設(shè)分組碼(n, k)中中k = 4，為了糾正，為了糾正1位錯(cuò)碼，由上式可知，位錯(cuò)碼，由上式可知， 要求監(jiān)督位數(shù)要求監(jiān)督位數(shù) r 3。若取。若取 r =

6、 3，則，則n = k + r = 7。我們用。我們用a6 a5 a0表示這表示這7個(gè)碼元，用個(gè)碼元，用S1、S2和和S3表示表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中 的校正子，則的校正子，則S1、S2和和S3的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以規(guī)的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以規(guī) 定如下表所列：定如下表所列： S1 S2 S3錯(cuò)碼位置錯(cuò)碼位置S1 S2 S3錯(cuò)碼位置錯(cuò)碼位置 001a0101a4 010a1110a5 100a2111a6 011a3000無(wú)錯(cuò)碼無(wú)錯(cuò)碼 6 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 由表中規(guī)定可見(jiàn)，僅當(dāng)一位錯(cuò)碼的位置在由表中規(guī)定可見(jiàn)，僅當(dāng)一位錯(cuò)碼的位置在a2 、a4、a5或或a6時(shí)

7、，時(shí)， 校正子校正子S1為為1；否則；否則S1為零。這就意味著為零。這就意味著a2 、a4、a5和和a6四個(gè)四個(gè) 碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 同理，同理， a1、a3、a5和和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 以及以及a0、a3、a4 和和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系 24561 aaaaS 13562 aaaaS 03463 aaaaS 7 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6、a5、a4和和a3的值決定于輸入的值決定于輸入 信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督位信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督位a2、a1和和a0應(yīng)根據(jù)

8、信息應(yīng)根據(jù)信息 位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上3式中式中S1、 S2和和S3的值為的值為0（表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼）：（表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼）： 上式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)運(yùn)算，解出監(jiān)督位上式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)運(yùn)算，解出監(jiān)督位 給定信息位后，可以直接按上式算出監(jiān)督位，給定信息位后，可以直接按上式算出監(jiān)督位， 結(jié)果見(jiàn)下表：結(jié)果見(jiàn)下表： 0 0 0 0346 1356 2456 aaaa aaaa aaaa 3460 3561 4562 aaaa aaaa aaaa 8 第11章差錯(cuò)控制編碼 信息位 a6 a5 a4 a3 監(jiān)督位 a2 a1 a0 信息位 a6 a

9、5 a4 a3 監(jiān)督位 a2 a1 a0 00000001000111 00010111001100 00101011010010 00111101011001 01001101100001 01011011101010 01100111110100 01110001111111 9 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 接收端收到每個(gè)碼組后，先計(jì)算出接收端收到每個(gè)碼組后，先計(jì)算出S1、S2和和S3，再查表，再查表 判斷錯(cuò)碼情況。例如，若接收碼組為判斷錯(cuò)碼情況。例如，若接收碼組為0000011，按上述公，按上述公 式計(jì)算可得：式計(jì)算可得：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。由于。由于S1

10、 S2 S3 等于等于 011，故查表可知在，故查表可知在a3位有位有1錯(cuò)碼。錯(cuò)碼。 p按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的(7, 4)漢明碼漢明碼 的最小碼距的最小碼距d0 = 3。因此，這種碼能夠糾正。因此，這種碼能夠糾正1個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)2 個(gè)錯(cuò)碼。由于碼率個(gè)錯(cuò)碼。由于碼率k/n = (n - r) /n =1 r/n，故當(dāng)，故當(dāng)n很大和很大和r很很 小時(shí)，碼率接近小時(shí)，碼率接近1?？梢?jiàn)，漢明碼是一種高效碼?？梢?jiàn)，漢明碼是一種高效碼。 10 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 n線性分組碼的一般原理線性分組碼的一般原理 u線性分組

11、碼的構(gòu)造線性分組碼的構(gòu)造 pH矩陣矩陣 上面上面(7, 4)漢明碼的例子有漢明碼的例子有 現(xiàn)在將上面它改寫(xiě)為現(xiàn)在將上面它改寫(xiě)為 上式中已經(jīng)將上式中已經(jīng)將“ ”簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成“+”。 0 0 0 0346 1356 2456 aaaa aaaa aaaa 01001101 00101011 00010111 0123456 0123456 0123456 aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa 11 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 上式可以表示成如下矩陣形式：上式可以表示成如下矩陣形式： 上式還可以簡(jiǎn)記為上式還可以簡(jiǎn)記為 H AT = 0T 或或A HT = 0 01001101 0

12、0101011 00010111 0123456 0123456 0123456 aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa ）（模2 0 0 0 1011001 1101010 1110100 0 1 2 3 4 5 6 a a a a a a a 12 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 H AT = 0T 或或A HT = 0 式中式中 A = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 = 000 右上標(biāo)右上標(biāo)“T”表示將矩陣轉(zhuǎn)置。例如，表示將矩陣轉(zhuǎn)置。例如，HT是是H的轉(zhuǎn)置，即的轉(zhuǎn)置，即HT 的第一行為的第一行為H的第一列，的第一列，HT的第二行為的第二行為H的第二列等等。的

13、第二列等等。 將將H稱為稱為監(jiān)督矩陣或校驗(yàn)陣監(jiān)督矩陣或校驗(yàn)陣。 只要監(jiān)督矩陣只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全 確定了。確定了。 1011001 1101010 1110100 H 13 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 H矩陣的性質(zhì)：矩陣的性質(zhì)： 1) H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù) 目目r。H的每行中的每行中“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān) 督關(guān)系。例如，督關(guān)系。例如，H的第一行的第一行1110100表示監(jiān)督位表示監(jiān)督位a2是由是由a6

14、a5 a4之和決定的。之和決定的。H矩陣可以分成兩部分，例如矩陣可以分成兩部分，例如 式中，式中，P為為r k階矩陣，階矩陣，Ir為為r r階單位方陣。我們將具階單位方陣。我們將具 有有P Ir形式的形式的H矩陣稱為矩陣稱為典型陣典型陣。 r PIH 0011011 0101101 1001110 14 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 2) 由代數(shù)理論可知，由代數(shù)理論可知，H矩陣的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的，矩陣的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的， 否則將得不到否則將得不到 r個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不 到到 r個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫(xiě)成典型陣形式個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督

15、位。若一矩陣能寫(xiě)成典型陣形式P Ir， 則其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)槿菀昨?yàn)證則其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)槿菀昨?yàn)證Ir的各行是的各行是 線性無(wú)關(guān)的，故線性無(wú)關(guān)的，故P Ir的各行也是線性無(wú)關(guān)的。的各行也是線性無(wú)關(guān)的。 pG矩陣：矩陣： 上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為 也可以改寫(xiě)成矩陣形式：也可以改寫(xiě)成矩陣形式： 3460 3561 4562 aaaa aaaa aaaa 3 4 5 6 0 1 2 1011 1101 1110 a a a a a a a 15 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 或者寫(xiě)成或者寫(xiě)成 式中，式中，Q為一個(gè)為一個(gè)k r階矩陣，它為階

16、矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即的轉(zhuǎn)置，即 Q = PT 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q 就產(chǎn)生出監(jiān)督位。就產(chǎn)生出監(jiān)督位。 3 4 5 6 0 1 2 1011 1101 1110 a a a a a a a Q 34563456012 011 101 110 111 aaaaaaaaaaa 16 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 我們將我們將Q的左邊加上的左邊加上1個(gè)個(gè)k k階單位方陣，就構(gòu)成階單位方陣，就構(gòu)成1個(gè)矩陣個(gè)矩陣G G稱為稱為生成矩陣生成矩陣，因?yàn)橛伤梢援a(chǎn)生整個(gè)碼組，即有，因?yàn)橛伤梢援a(chǎn)生整個(gè)碼組，即有 或者或者 因

17、此，如果找到了碼的生成矩陣因此，如果找到了碼的生成矩陣G，則編碼的方法就完全確，則編碼的方法就完全確 定了。具有定了。具有IkQ形式的生成矩陣稱為形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣典型生成矩陣。由典型。由典型 生成矩陣得出的碼組生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加 于其后。這種形式的碼稱為于其后。這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼。 0110001 1010010 1100100 1111000 QG k I I G 34560123456 aaaaaaaaaaa GA 3456 aaaa 17 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 c1=

18、 m1 c2= m2 c3= m3 c4= m4 c5 = m1+ m 2 + m3 c6 = m2+ m3+ m4 c7 = m1+ m2+ m4 m 2 m 3 m 4 m 1 1 0 1 m 1 C3C4C5C2C7C6C1 0 0 0 1 1 0 1 c 例例8.4-1 18 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 19 gk-1 G = = g1 g0 c = m G = mk-1,m1 m0 gk-1 g1 g0 T = mk-1 gk-1 + + m1 g1 + m0 g0 (8.4-2) 可見(jiàn)，生成矩陣可見(jiàn)，生成矩陣G 是由是由k個(gè)行矢量組成的，其中的每個(gè)個(gè)行矢量

19、組成的，其中的每個(gè) 行矢量行矢量gi 既是一個(gè)基底，也是一個(gè)碼字。任何碼字都是既是一個(gè)基底，也是一個(gè)碼字。任何碼字都是 生成矩陣生成矩陣G的的k個(gè)行矢量的線性組合。個(gè)行矢量的線性組合。 000110 101111 011111 ggg ggg ggg )n( )n( )k()k()n)(k( 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 生成矩陣的一般表示生成矩陣的一般表示 20 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 G矩陣的性質(zhì)：矩陣的性質(zhì)： 1) G矩陣的各行是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)橛缮鲜娇梢钥闯?，矩陣的各行是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)橛缮鲜娇梢钥闯觯?任一碼組任一碼組C都是都是G的各行的線性組合

20、。的各行的線性組合。G共有共有k行，若它行，若它 們線性無(wú)關(guān)，則可以組合出們線性無(wú)關(guān)，則可以組合出2k種不同的碼組種不同的碼組C，它恰是有，它恰是有 k位信息位的全部碼組。若位信息位的全部碼組。若G的各行有線性相關(guān)的，則不的各行有線性相關(guān)的，則不 可能由可能由G生成生成2k種不同的碼組了。種不同的碼組了。 2) 實(shí)際上，實(shí)際上，G的各行本身就是一個(gè)碼組。因此，如果已的各行本身就是一個(gè)碼組。因此，如果已 有有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組，則可以用其作為生成矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組，則可以用其作為生成矩陣G，并，并 由它生成其余碼組。由它生成其余碼組。 21 例例8-2 考慮一個(gè)（考慮一個(gè)（7，4）碼，生成矩陣

21、是：）碼，生成矩陣是： G = = (1) 通過(guò)基底的線性組合（行運(yùn)算）將生成矩陣通過(guò)基底的線性組合（行運(yùn)算）將生成矩陣G系統(tǒng)化系統(tǒng)化 Gs= = = IkQ = I4Q 由關(guān)系式由關(guān)系式(8.4-9)，算得校驗(yàn)矩陣為，算得校驗(yàn)矩陣為 H=-QTIn-k = QTIn-k = QTI3= 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 101 011 100 100 1100 0100 0110 1011 4 3 2 1 g g g g 34 3 32 421 gg g gg ggg 110 011 111 101 1000 0100 0010 0001 1001011 0101110

22、0010111 22 (2) 分別令輸入信息組分別令輸入信息組 為為(0000)、(0001)、 、(1111)，利用式，利用式(8.4- 1)計(jì)算出相應(yīng)的碼字計(jì)算出相應(yīng)的碼字 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 表表8.4-1 系統(tǒng)化前后的碼集與映射系統(tǒng)化前后的碼集與映射 輸入輸入 用用G G生成的生成的 用用GsGs生成的生成的 信息組信息組 一般分組碼一般分組碼 系統(tǒng)分組碼系統(tǒng)分組碼 0000 0000000 0000000 1000 1101001 1000101 0100 0110001 0100111 1100 1011000 1100010 0010 00101

23、10 0010110 1010 1111111 1010011 0110 0100111 0110001 1110 1001110 1110100 0001 0011101 0001011 1001 1110100 1001110 0101 0101100 0101100 1101 1000101 1101001 0011 0001011 0011101 1011 1100010 1011000 0111 0111010 0111010 1111 1010011 1111111 (3)相同的碼空間意味相同的碼空間意味 著相同的校驗(yàn)空間，著相同的校驗(yàn)空間， 兩種情況下的校驗(yàn)矩兩種情況下的校驗(yàn)矩

24、陣 是 一 樣 的 。 檢 驗(yàn)陣 是 一 樣 的 。 檢 驗(yàn) rHT是否為零陣就可是否為零陣就可 判斷出判斷出r是否是碼字是否是碼字 23 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 24 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 p錯(cuò)碼矩陣和錯(cuò)誤圖樣錯(cuò)碼矩陣和錯(cuò)誤圖樣 一般說(shuō)來(lái)，一般說(shuō)來(lái)，C為一個(gè)為一個(gè)n列的行矩陣。此矩陣的列的行矩陣。此矩陣的n個(gè)元素就個(gè)元素就 是碼組中的是碼組中的n個(gè)碼元，所以發(fā)送的碼組就是個(gè)碼元，所以發(fā)送的碼組就是C。此碼組在。此碼組在 傳輸中可能由于干擾引入差錯(cuò)，故接收碼組一般說(shuō)來(lái)與傳輸中可能由于干擾引入差錯(cuò)，故接收碼組一般說(shuō)來(lái)與 C不一定相同。不一定相同。 若

25、設(shè)接收碼組為一若設(shè)接收碼組為一n列的行矩陣列的行矩陣R，即，即 則發(fā)送碼組和接收碼組之差為則發(fā)送碼組和接收碼組之差為 R C = E (模模2) 它就是傳輸中產(chǎn)生的它就是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼錯(cuò)碼行行矩陣矩陣 式中式中 0121 rrrr nn R 0121 eeee nn E ii ii i cr cr e 當(dāng) 當(dāng) , 1 , 0 25 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 因此，若因此，若ei = 0，表示該接收碼元無(wú)錯(cuò)；若，表示該接收碼元無(wú)錯(cuò)；若ei = 1，則表示該，則表示該 接收碼元有錯(cuò)。接收碼元有錯(cuò)。 R C = E 可以改寫(xiě)成可以改寫(xiě)成 R = C + E 例如，若發(fā)送碼組例如，若發(fā)送

26、碼組C = 1000111，錯(cuò)碼矩陣，錯(cuò)碼矩陣E = 0000100， 則接收碼組則接收碼組R = 1000011。 錯(cuò)碼矩陣有時(shí)也稱為錯(cuò)碼矩陣有時(shí)也稱為錯(cuò)誤圖樣錯(cuò)誤圖樣。 26 第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 p校正子校正子S 當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí)，當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí)，E 0，將，將R當(dāng)作當(dāng)作C代入公式代入公式(C H T = 0) 后，該式不一定成立。在錯(cuò)碼較多，已超過(guò)這種編碼的檢錯(cuò)后，該式不一定成立。在錯(cuò)碼較多，已超過(guò)這種編碼的檢錯(cuò) 能力時(shí)，能力時(shí)，R變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯(cuò)變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯(cuò) 碼是不可檢測(cè)的。在未超過(guò)檢錯(cuò)能力時(shí)，上式不成立，即其

27、碼是不可檢測(cè)的。在未超過(guò)檢錯(cuò)能力時(shí)，上式不成立，即其 右端不等于右端不等于0。假設(shè)這時(shí)該式的右端為。假設(shè)這時(shí)該式的右端為S，即，即 R H T = S 將將R = C + E代入上式，可得代入上式，可得 S = (C + E) H T = C H T + E H T 由于由于C HT = 0，所以，所以 S = E H T 式中式中S稱為校正子。它能用來(lái)指示錯(cuò)碼的位置。稱為校正子。它能用來(lái)指示錯(cuò)碼的位置。 S和錯(cuò)碼和錯(cuò)碼E之間有確定的線性變換關(guān)系。若之間有確定的線性變換關(guān)系。若S和和E之間一一對(duì)之間一一對(duì) 應(yīng)，則應(yīng)，則S將能代表錯(cuò)碼的位置。將能代表錯(cuò)碼的位置。 27 28 例例 已知一個(gè)已知一

28、個(gè)m=3的二元的二元(7，4)系統(tǒng)漢明碼，其生成矩陣系統(tǒng)漢明碼，其生成矩陣 為為G = 列出其標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表。如果收碼列出其標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表。如果收碼r=0001110, 利用譯碼利用譯碼 表譯出的碼字是什么？表譯出的碼字是什么？ 解：解： 由生成矩陣由生成矩陣 G = I4 P = 可以計(jì)算出所有許用碼組。對(duì)于可以計(jì)算出所有許用碼組。對(duì)于S = E H T 有有7個(gè)未知數(shù)、個(gè)未知數(shù)、3個(gè)方程組，對(duì)于每個(gè)個(gè)方程組，對(duì)于每個(gè)S均有均有E的的16個(gè)解，個(gè)解， 取其中最輕的（取其中最輕的（0個(gè)個(gè)1或或1個(gè)個(gè)1）作為陪集首，分別是）作為陪集首，分別是 (0000000), (0000001), (000

29、0010), (0001000), (0000100), (1000000), (0010000), (0100000)。 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 29 第第8 8章章 信道容量與信道編碼信道容量與信道編碼 列出標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表列出標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表 若收碼若收碼r=0001110, 查表得譯碼輸出為查表得譯碼輸出為1001110。 即譯碼器認(rèn)為即譯

30、碼器認(rèn)為 發(fā)碼是發(fā)碼是C1001110, 差錯(cuò)圖案是差錯(cuò)圖案是E1000000 （第（第1位出現(xiàn)差錯(cuò)）位出現(xiàn)差錯(cuò)） 導(dǎo)致接收碼導(dǎo)致接收碼R=C+E=0001110 所以應(yīng)將此發(fā)碼估值所以應(yīng)將此發(fā)碼估值 1001110作為譯碼時(shí)輸出作為譯碼時(shí)輸出 000000010001010100111 1100010 0010110 1010011 0110001 1110100 0001011 1001110010110011010010011101101100001110101111111 000000110001000100110 1100011 0010111 1010010 0110000 111

31、0101 0001010 1001111010110111010000011100101100101110111111110 000001010001110100101 1100000 0010100 1010001 0110011 1110110 0001001 1001100010111011010110011111101101001110001111101 000100010011010101111 1101010 0011110 1011011 0111001 1111100 0000011 1000110010010011000010010101101000001100101110111 000010010000010100011 1100110 0010010 1010111 0110