函數(shù)的單調(diào)性(第一課時(shí)).精編版

1、情情景景引引入入yyxxoo1 11 1-1-11 11 1-1-1-1-1觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：1 .從左向右圖象有什么變化趨勢(shì)？從左向右圖象有什么變化趨勢(shì)？2 .函數(shù)圖象是否具有某種對(duì)稱性？函數(shù)圖象是否具有某種對(duì)稱性？ 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx 1.從左至右圖象從左至右圖象 2.在區(qū)間在區(qū)間 (-, +)上，隨上，隨著著x的增大，的增大，f(x)的值隨的值隨著著 2

2、.(0,+)上上從左至右圖象從左至右圖象上升上升， 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時(shí)時(shí)f(x)f(x)隨著隨著增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上從左至右圖象從左至右圖象 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時(shí)時(shí)f(x)f(x)隨著隨著 減小減小思考思考1：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)自變量自變量x的值增大時(shí)的值增大時(shí),函數(shù)值函數(shù)值 是如何變化的？是如何變化的？( )f x新課探究新課探究xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx1 1 在某一區(qū)間內(nèi)，在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x的值增大時(shí)的值增

3、大時(shí),函數(shù)值函數(shù)值y也增大也增大圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；當(dāng)當(dāng)x的值增大時(shí)的值增大時(shí),函數(shù)值函數(shù)值y反而減小反而減小圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性思考思考2：通過上面的觀察，如何用通過上面的觀察，如何用圖象上動(dòng)點(diǎn)圖象上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來(lái)說明上升或下降趨勢(shì)？的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來(lái)說明上升或下降趨勢(shì)？思考思考3：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述這種上：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述這種上升趨勢(shì)？升趨勢(shì)？對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) 任意任意 x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f(x1)f(x2)圖象在圖象在區(qū)間區(qū)

4、間D逐漸上升逐漸上升區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)1 2221方案1：在區(qū)間（0, )上取自變量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 圖象逐漸 上升方案2:(0,+ )取無(wú)數(shù)組自變量，驗(yàn)證隨著x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)內(nèi)取任意的內(nèi)取任意的x1，x2 且且x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2) y對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， 有有f(x1)f(x2)都都設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 定義定義 任意任意如果對(duì)于如果

5、對(duì)于區(qū)間區(qū)間D上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 )， D稱為稱為 f (x)的的單調(diào)單調(diào)增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說那么就說 f (x)在區(qū)間在區(qū)間D上上 是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)，區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升0 x1 1f (x1)f (x2)1 2221y 那么就說在那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù)類比單調(diào)增

6、函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f

7、(x2 ) ，當(dāng)當(dāng)x1單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)數(shù)，那么就說函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上具有單調(diào)性。上具有單調(diào)性。（1 1）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間區(qū)間而言的，是一個(gè)而言的，是一個(gè)局部性質(zhì)局部性質(zhì); ;判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx（2 2） x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判斷判斷2 2：定義在：定義在R上的函數(shù)上的函

8、數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則，則函數(shù)函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；yxO12f(1)f(2)解解:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.例例1 1. 如圖是定義在閉區(qū)間如圖是定義在閉區(qū)間 5 5, ,55上的函數(shù)上的函數(shù) y = f(x)的圖象的圖象, 根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以及在每一單調(diào)區(qū)間上以及在每一單調(diào)區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？函數(shù)？ 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間2，1)，3，5上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；說明說

9、明:1.:1.區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫開寫閉均可區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫開寫閉均可. . 2. 2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況 在區(qū)間在區(qū)間5，2），），1，3)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .( )yf x- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO質(zhì)發(fā)質(zhì)發(fā)疑展疑展答思答思辯維辯維 練一練練一練 根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). ( )yf x2544xyO- -1321解解:函數(shù)函數(shù)y=

10、f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間0，2)，4，5上是增函數(shù)上是增函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間1，0），），2，4)上是減函數(shù)上是減函數(shù). 例例2、物理學(xué)中的玻意耳定律、物理學(xué)中的玻意耳定律 告告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，減小時(shí)，壓強(qiáng)壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。)( 為正常數(shù)kVkp 證明:12341.設(shè)量(自變量);2.作差變形;3.判斷;4.結(jié)(論)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：（1）設(shè)量）設(shè)量:在所給區(qū)間上

11、任意設(shè)兩個(gè)實(shí)在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個(gè)實(shí) 數(shù)數(shù) 1212,.x xxx且（2）作差）作差（3）變形）變形 作差作差 ：常通過：常通過“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段將差式變形為因式乘積或平方和形式手段將差式變形為因式乘積或平方和形式 )()(21xfxf 判斷判斷 的符號(hào)的符號(hào)12( )()f xf x（4）結(jié)論）結(jié)論:并作出單調(diào)性的結(jié)論并作出單調(diào)性的結(jié)論證明函數(shù)證明函數(shù) 在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .).()(21xfxf即即122()0 ,xx12()()0 ,f xf x12 ,xx, 021 xx 練一練練一練. .利用定義：利用定義：證明：設(shè)證明：設(shè) 是是R上

12、任意兩個(gè)值，且上任意兩個(gè)值，且 ，21,xx21xx 函數(shù)函數(shù) 在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù))(221xx ( )21f xx則則1212( )( )( 21) ( 21)f xf xxx ( )21f xx ？畫出函數(shù)畫出函數(shù) 圖象，寫出定義域并寫出單調(diào)區(qū)間圖象，寫出定義域并寫出單調(diào)區(qū)間：x1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,), ,討論：討論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調(diào)減函數(shù)?定義域?yàn)楹瘮?shù)xy1), 0()0 ,(拓展探究拓展探究x1y1( )f xxyOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 當(dāng)當(dāng)x

13、12x2( )f x1( )f x1x1( )f xxyOx- -11- -11 取自變量取自變量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能說能說 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是減減函數(shù)函數(shù) 要寫成要寫成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。1yxf (2a) B f ( )f (a) C f ( +a)f (a) Df ( +1)f (a)0)()(babfaf2x2a2a2accD4.函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間 5.證明函數(shù)在證明函數(shù)在 是增函數(shù)是增函數(shù)(1,+)22xy0，（ ), 0 xxy1證明：在區(qū)間證明：在區(qū)間 上任