采樣數(shù)據(jù)的處理

1、DIP本章主要介紹：本章主要介紹：1)采樣在何種程度上造成信息丟失，其本質(zhì)為何？采樣在何種程度上造成信息丟失，其本質(zhì)為何？2)對連續(xù)函數(shù)采樣后，能否被完全恢復(fù)，怎樣做？對連續(xù)函數(shù)采樣后，能否被完全恢復(fù)，怎樣做？3)為保存圖像信息，需如何細(xì)微地對函數(shù)采樣？為保存圖像信息，需如何細(xì)微地對函數(shù)采樣？4)采樣對函數(shù)的頻譜有何影響？采樣對函數(shù)的頻譜有何影響？5)采樣后的函數(shù)如何假設(shè)、近似為連續(xù)函數(shù)？采樣后的函數(shù)如何假設(shè)、近似為連續(xù)函數(shù)？DIP定義定義III(x)：為沿為沿x軸相隔單位間距出現(xiàn)的軸相隔單位間距出現(xiàn)的單位沖激序列單位沖激序列。( )()nIII xxnx 0III(x/ )s1/ 0 III

2、( s)( )( )III xIII sFIII(x)的傅立葉變換為其自身：的傅立葉變換為其自身：DIP根據(jù)相似定理：且根據(jù)相似定理：且1()( )sf axFaa1()( )axxa( )()xIIIIIIs時（空）域時（空）域?qū)?yīng)頻域?qū)?yīng)頻域因此因此III(x)的頻譜為沿的頻譜為沿s軸間隔為軸間隔為1/ 的沖激序列。的沖激序列。s1/ 0 III( s)1()()()()nnnnnIII axaxna xxaaa( )()nxIIIxn( )()()()1()()nnnxnIIIIIIssnsnnss F令令a=1/ ：DIP設(shè)設(shè)f(x)帶寬為帶寬為s0（當(dāng)頻率（當(dāng)頻率s超過超過s0時，時

3、， f(x)便為便為0），），即即F(s)=0，當(dāng)當(dāng)|s| s0時。時。以等間隔以等間隔 對對f(x)采樣，則僅在采樣，則僅在x=n 處取得處取得f(x)的的樣本值，在其他地方，樣本值，在其他地方， f(x)被破壞了，這個過程相當(dāng)于被破壞了，這個過程相當(dāng)于用用III(x/ )乘以乘以f(x) ，得到，得到g(x) 。xf(x)s0sF(s)-s0 x( )( ) ( )xg xIIIf x1/ s0s-s0-1/ ( )()( )G sIIIsF sDIP時域相乘時域相乘對應(yīng)對應(yīng)頻域卷積頻域卷積，即，即 對應(yīng)對應(yīng)。由于與沖激函數(shù)的卷積產(chǎn)生了函數(shù)本身的復(fù)制由于與沖激函數(shù)的卷積產(chǎn)生了函數(shù)本身的復(fù)制

4、品。因此，品。因此，頻域卷積頻域卷積在在s軸上每隔軸上每隔1/ 復(fù)制了一個復(fù)制了一個F(s)，也就是說，也就是說，G(s)是一個以是一個以F(s)重復(fù)的周期函數(shù)重復(fù)的周期函數(shù)。DIP由上可見，只要從由上可見，只要從G(s)中得到中得到F(s)，即可從即可從g(x)中中獲得獲得f(x)。方法：方法：保留中心處于原點(diǎn)的保留中心處于原點(diǎn)的F(s) ，消除其復(fù)制品，即，消除其復(fù)制品，即用矩形用矩形 (s/2s1)去乘去乘G(s) 。其中。其中0101sss1( )( )2sG sF ss111111sin2( )( )( )( ) 222s xsf xF sG sg xsss xFF可見，用采樣后的函

5、數(shù)與一個形式為可見，用采樣后的函數(shù)與一個形式為的內(nèi)插函數(shù)做卷積，即可從的內(nèi)插函數(shù)做卷積，即可從g(x)重構(gòu)重構(gòu)f(x)。sinsinc( )xxxDIP1)f(x)的譜的譜s0。2)0101sss奈奎斯特采樣定理：奈奎斯特采樣定理：012sDIPg(x)與內(nèi)插函數(shù)卷積，等于在每個采樣點(diǎn)上復(fù)制一與內(nèi)插函數(shù)卷積，等于在每個采樣點(diǎn)上復(fù)制一個窄的個窄的sinc(x)函數(shù)，而互相重疊的函數(shù)，而互相重疊的sinc(x)函數(shù)的總和可函數(shù)的總和可準(zhǔn)確地恢復(fù)出原函數(shù)。準(zhǔn)確地恢復(fù)出原函數(shù)。DIP當(dāng)采樣間隔不夠密，即時，當(dāng)采樣間隔不夠密，即時，F(xiàn)(s)的復(fù)的復(fù)制品就會部分地重疊，此時就不能準(zhǔn)確地恢復(fù)出原制品就會部分

6、地重疊，此時就不能準(zhǔn)確地恢復(fù)出原函數(shù)了。因?yàn)榇藭r函數(shù)了。因?yàn)榇藭r012s1( )()( )2sG sF sssG(s)01/2 1/ 頻率頻率s1以上的能量被折疊返回到以上的能量被折疊返回到s1以下，并被加到頻譜上，以下，并被加到頻譜上，稱為稱為。f(x)和內(nèi)插所得的函數(shù)的差別稱為和內(nèi)插所得的函數(shù)的差別稱為。當(dāng)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)時， F(s)也是偶函數(shù)，混疊的效果是提高了頻也是偶函數(shù)，混疊的效果是提高了頻譜中的能量；奇函數(shù)與之相反；非奇非偶函數(shù)及譜則因此比實(shí)際譜中的能量；奇函數(shù)與之相反；非奇非偶函數(shù)及譜則因此比實(shí)際更趨向于偶函數(shù)。更趨向于偶函數(shù)。DIP函數(shù)：函數(shù)：頻譜：頻譜：以等間

7、隔以等間隔 t對對f(t)采樣。采樣。 f(t)的周期是的周期是1/f0。0( )2cos(2)f tf t00( )()()F ssfsf000000001 11()2421 1()22 13()34112NNNNtfffttffftffftfff 0( )2sin(2)f tf t見后面圖示見后面圖示DIP001 11()242Ntffft DIP001 1()2Ntfff DIP002 13()34Ntfff 變成低頻了變成低頻了DIP00112Ntfff 變成直流了變成直流了零零頻！頻！DIP0( )2sin(2)f tf t相鄰頻域復(fù)制區(qū)間重疊的奇沖激對在相鄰頻域復(fù)制區(qū)間重疊的奇沖激

8、對在s=fN處重疊處重疊并抵消。結(jié)果內(nèi)插后的函數(shù)為并抵消。結(jié)果內(nèi)插后的函數(shù)為0。它其實(shí)相當(dāng)于在正。它其實(shí)相當(dāng)于在正弦函數(shù)的過零點(diǎn)進(jìn)行了采樣，每次采到的都是弦函數(shù)的過零點(diǎn)進(jìn)行了采樣，每次采到的都是0。DIP聚焦可有效保留信號的高頻成分，而散焦則相聚焦可有效保留信號的高頻成分，而散焦則相當(dāng)于信號的高頻成分減少，帶寬變窄，因而圖像變當(dāng)于信號的高頻成分減少，帶寬變窄，因而圖像變得模糊些，但不再混疊了。得模糊些，但不再混疊了。等效于等效于結(jié)論：結(jié)論：空間采樣點(diǎn)太稀疏，雖然像素很細(xì)小，但空間采樣點(diǎn)太稀疏，雖然像素很細(xì)小，但只能當(dāng)粗點(diǎn)用，否則會出現(xiàn)高頻混疊。只能當(dāng)粗點(diǎn)用，否則會出現(xiàn)高頻混疊。DIPDIP對離

9、散的對離散的f(t)樣值計算樣值計算F(s)，N個時域采樣點(diǎn)將對應(yīng)個時域采樣點(diǎn)將對應(yīng)N個頻譜上的點(diǎn)。通常頻域上的點(diǎn)在個頻譜上的點(diǎn)。通常頻域上的點(diǎn)在s軸上等距分布。軸上等距分布。頻域采樣間隔頻域采樣間隔與與時域中時域中的截取窗口寬度的截取窗口寬度成反比成反比最高頻率最高頻率與與時域時域采樣間隔采樣間隔成反比成反比假定一個信號假定一個信號f(t)用間距為用間距為 t的的N個采樣點(diǎn)來代表，個采樣點(diǎn)來代表，則總的采樣區(qū)間寬度則總的采樣區(qū)間寬度。（。（T為截取窗口的寬度，為截取窗口的寬度，T外部的外部的信號的采樣被忽略了，相當(dāng)于將截取窗口外的信號置信號的采樣被忽略了，相當(dāng)于將截取窗口外的信號置0了了）D

10、IP離散離散f(t)的頻譜是的頻譜是周期的，周期周期的，周期2sm=1/ t ，只需計算只需計算覆蓋覆蓋F(s)的一個周期即可。的一個周期即可。常用的方法是將常用的方法是將N個采樣點(diǎn)均勻地散布在中心位于個采樣點(diǎn)均勻地散布在中心位于原點(diǎn)的原點(diǎn)的F(s)的一個周期上，即的一個周期上，即1122stt當(dāng)在當(dāng)在F(s)的一個周期上取的一個周期上取N個等間隔的采樣點(diǎn)，則個等間隔的采樣點(diǎn)，則N s 1/ t 。其中。其中 s 1/N t1/T是頻域中的采樣間是頻域中的采樣間隔。因此計算隔。因此計算f(t)頻譜的最好做法是按頻譜的最好做法是按 s 1/T等間隔取等間隔取，即從，即從-sm到到sm 。 Sm=

11、 1/2 t DIP由上可見，一個域中的由上可見，一個域中的采樣間隔采樣間隔決定了另一個域中決定了另一個域中的的截取窗口寬度截取窗口寬度。要計算頻譜中的高頻成分（。要計算頻譜中的高頻成分（sm ），），必須在時域中細(xì)密地采樣（必須在時域中細(xì)密地采樣（ t ）。而要頻譜中的高分）。而要頻譜中的高分辨率（辨率（ s ），），必須在時域中采用大的截取窗口（必須在時域中采用大的截取窗口（T ）。）。111,2mssTtTs DIP參數(shù)域關(guān)系參數(shù)域關(guān)系采樣點(diǎn)數(shù)時頻采樣點(diǎn)數(shù)時頻采樣間隔時采樣間隔時采樣間隔頻采樣間隔頻截斷窗口寬度時截斷窗口寬度時最大可計算頻率頻最大可計算頻率頻2msTNts12mTtNs

12、21mssNT TN t1122msN st當(dāng)當(dāng)f(t)是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)，有，有N個實(shí)部和個實(shí)部和N個虛部，變換后產(chǎn)生頻譜個虛部，變換后產(chǎn)生頻譜中的中的N個實(shí)值和個實(shí)值和N個虛值。個虛值。當(dāng)當(dāng)f(t)是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)，有，有N個實(shí)部和個實(shí)部和N個個0（虛部），變換后在頻（虛部），變換后在頻譜的右半部產(chǎn)生譜的右半部產(chǎn)生N/2個偶實(shí)值和個偶實(shí)值和N/2個奇虛值。由于實(shí)函數(shù)的個奇虛值。由于實(shí)函數(shù)的F(s)是是Hermite型的，頻譜的左半部是右半部的鏡像。型的，頻譜的左半部是右半部的鏡像。DIP根據(jù)采樣定理，對帶寬有限的函數(shù)采樣時，只要根據(jù)采樣定理，對帶寬有限的函數(shù)采樣時，只要選擇合適的采樣間距就可完全避免

13、混疊。選擇合適的采樣間距就可完全避免混疊。但是，如果帶寬有限的函數(shù)被截取了一段有限長但是，如果帶寬有限的函數(shù)被截取了一段有限長度度T，這個過程即模型化為將這個過程即模型化為將函數(shù)與寬度為函數(shù)與寬度為T的矩形脈的矩形脈沖相乘沖相乘，等價于將其，等價于將其頻譜與無限持續(xù)的頻譜與無限持續(xù)的sinc(x)函數(shù)在函數(shù)在頻域卷積頻域卷積。兩個函數(shù)的卷積結(jié)果不可能比其中任意一個窄，兩個函數(shù)的卷積結(jié)果不可能比其中任意一個窄，因此，經(jīng)截取的函數(shù)的譜在頻域內(nèi)無限延伸。因此，經(jīng)截取的函數(shù)的譜在頻域內(nèi)無限延伸。截取破壞了帶寬的有限性，注定了數(shù)字處理在任截取破壞了帶寬的有限性，注定了數(shù)字處理在任何情況下都造成混疊。因而

14、我們只能限定其誤差。何情況下都造成混疊。因而我們只能限定其誤差。DIP因?yàn)橐驗(yàn)?t有限，不能無限小，因此有限，不能無限小，因此F(s)被無限展被無限展寬。寬。 F(s)在形式為在形式為1/s的包絡(luò)線內(nèi)，保證了函數(shù)的峰的包絡(luò)線內(nèi)，保證了函數(shù)的峰值隨著頻率升高而下降并趨于值隨著頻率升高而下降并趨于0。( )( )( )G sH sF sDIP如果忽略函數(shù)的正弦波動，僅考慮如果忽略函數(shù)的正弦波動，僅考慮F(s)的包絡(luò)線，的包絡(luò)線，并注意可能混疊的最大頻譜強(qiáng)度在頻率并注意可能混疊的最大頻譜強(qiáng)度在頻率sm處出現(xiàn)，則可處出現(xiàn)，則可以認(rèn)為這是混疊的最壞情況。以認(rèn)為這是混疊的最壞情況。定義定義，由于由于F(0

15、)1， F(s)的的包絡(luò)為包絡(luò)為1/2 as，因而混疊上界為因而混疊上界為1222mttAasaa混疊誤差的上界混疊誤差的上界與與 t成正比成正比，與與T無關(guān)無關(guān)。因此，當(dāng)。因此，當(dāng) t 2a脈沖寬度時，混疊誤差即可小到所需的程度。脈沖寬度時，混疊誤差即可小到所需的程度。DIPF(s)具有頻率為具有頻率為a的正弦波動（周期為的正弦波動（周期為1/a）。）。用用M表示在所計算的頻譜表示在所計算的頻譜F(s)上每個周期的采樣點(diǎn)上每個周期的采樣點(diǎn)數(shù)，并用它作為頻譜分辨率的量度，則數(shù)，并用它作為頻譜分辨率的量度，則11TM sorMaa sa 這就是說，如果使采樣周期這就是說，如果使采樣周期T與脈沖的

16、半寬度與脈沖的半寬度a相比足夠大，即可在相比足夠大，即可在F(s)的一個周期中取得足夠多的一個周期中取得足夠多的采樣點(diǎn)。的采樣點(diǎn)。DIP用寬度為用寬度為T的截取窗口對的截取窗口對f(x)截取截取截取會使計算得到的譜與實(shí)際的譜不同。需認(rèn)真選截取會使計算得到的譜與實(shí)際的譜不同。需認(rèn)真選擇截取窗口的寬度。擇截取窗口的寬度。11( )( )()/22/22xxxg xf xTTT xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/ s0 j -j ( )()()/244xTTg xxxT xg(x)-110T/2-T/2奇矩形脈沖對奇矩形脈沖對DIP對對g(x)進(jìn)行進(jìn)行FT：( )()()/244x

17、TTg xxxT sin(/2)( )2 sin2TsTG sjss 2211( )sin2 ( )cos()222jsTG sF ssTsG(s)與與F(s)不一樣了，僅在幾個點(diǎn)處不一樣了，僅在幾個點(diǎn)處兩者值相等，也就是兩者值相等，也就是cos( sT)=0時。時。或者或者 sT =i /2時（時（i為奇數(shù)）。對應(yīng)為奇數(shù)）。對應(yīng)s=i/2T。此時此時G(s)F(s)。DIP如果令如果令si =i/T，0,1,2,N/2，則則G(si)2F(si) （當(dāng)當(dāng)i為奇數(shù)）為奇數(shù)）0 （當(dāng)當(dāng)i為偶數(shù)）為偶數(shù)）DIP上例上例i奇數(shù)時是正確的（是正常大小的兩倍），奇數(shù)時是正確的（是正常大小的兩倍），而偶數(shù)

18、時為而偶數(shù)時為0。這表明截取在奇數(shù)號點(diǎn)和偶數(shù)號點(diǎn)之。這表明截取在奇數(shù)號點(diǎn)和偶數(shù)號點(diǎn)之間重新分配了能量。間重新分配了能量。將將G(i s)即即G(si)與一個窄的三角形局部平均濾波與一個窄的三角形局部平均濾波器器1/4,1/2,1/4相卷積，可獲得期望結(jié)果。相卷積，可獲得期望結(jié)果。DIP以下考慮對連續(xù)信號（見以下考慮對連續(xù)信號（見下圖下圖）或圖像進(jìn)行截取、）或圖像進(jìn)行截取、采樣、內(nèi)插等進(jìn)行數(shù)字處理后的影響。采樣、內(nèi)插等進(jìn)行數(shù)字處理后的影響。DIPDIP在采樣點(diǎn)上有一有限寬度的采樣孔徑，信號在該孔在采樣點(diǎn)上有一有限寬度的采樣孔徑，信號在該孔徑中被平均。徑中被平均。采樣孔徑是寬度為采樣孔徑是寬度為

19、的窄矩形脈沖，則截的窄矩形脈沖，則截取后的信號再與采樣取后的信號再與采樣孔徑函數(shù)卷積，相當(dāng)孔徑函數(shù)卷積，相當(dāng)于將其譜與于將其譜與sinc( s )相乘。相乘。如果采樣窗口是高斯如果采樣窗口是高斯脈沖，則輸出譜將與脈沖，則輸出譜將與高斯譜相乘。高斯譜相乘。上述采樣孔的作用是上述采樣孔的作用是降低了信號中的高頻降低了信號中的高頻能量，頻率超過能量，頻率超過s=1/ 時能量極性反轉(zhuǎn)。時能量極性反轉(zhuǎn)。sin()sin()( )ssTF sTssT DIP上述經(jīng)采樣孔徑平滑后的截取后上述經(jīng)采樣孔徑平滑后的截取后的信號再與的信號再與III(t/ t) 相乘，得到采相乘，得到采樣結(jié)果。于是采樣后的譜有了周樣

20、結(jié)果。于是采樣后的譜有了周期性（以期性（以1/ t 復(fù)制原來的譜）。復(fù)制原來的譜）。DIP對采樣后的信號插值，以盡可能好地恢復(fù)對采樣后的信號插值，以盡可能好地恢復(fù)f(t) 。用三角脈沖與采樣后的用三角脈沖與采樣后的函數(shù)卷積來實(shí)現(xiàn)插值函數(shù)卷積來實(shí)現(xiàn)插值。由于由于sinc( st0)2隨頻率增加而減小，使得除了位于隨頻率增加而減小，使得除了位于s=0處的主復(fù)制品外，其余所有復(fù)制品趨向于處的主復(fù)制品外，其余所有復(fù)制品趨向于0。DIP用用h(t)表示對采樣后函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插得到的結(jié)果函數(shù)：表示對采樣后函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插得到的結(jié)果函數(shù)：0011( )( )()( )()()tttth tf tIIITttt200

21、sin()sin() sin()( )( )()stsTsH sF sTtIII s tsTsst DIP數(shù)字處理對信號的影響是顯然的，那么，究竟有多大？數(shù)字處理對信號的影響是顯然的，那么，究竟有多大？采樣孔徑與內(nèi)插函數(shù)之間一般都有適當(dāng)?shù)年P(guān)系，如采樣孔徑與內(nèi)插函數(shù)之間一般都有適當(dāng)?shù)年P(guān)系，如采樣采樣孔徑寬度孔徑寬度 與采樣間距與采樣間距 t 相等相等。對于線性插值，。對于線性插值，t0= t 。若截取窗口寬，則其頻譜窄，接近于一個脈沖，其影響若截取窗口寬，則其頻譜窄，接近于一個脈沖，其影響就會減小。如果截取窗口外的原函數(shù)值已經(jīng)為就會減小。如果截取窗口外的原函數(shù)值已經(jīng)為0，截取，截取就不會產(chǎn)生影響

22、了。就不會產(chǎn)生影響了。采樣孔徑相當(dāng)于低通濾波，降低的頻譜中的高頻能量，采樣孔徑相當(dāng)于低通濾波，降低的頻譜中的高頻能量，因而減少了混疊。如果采樣孔徑的傳遞函數(shù)有負(fù)值，會因而減少了混疊。如果采樣孔徑的傳遞函數(shù)有負(fù)值，會改變高頻能量的極性。改變高頻能量的極性。用用sinc(x)函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插最理想。其它內(nèi)插函數(shù)不能完全函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插最理想。其它內(nèi)插函數(shù)不能完全消除其余復(fù)制品，且還會減少主復(fù)制品的高頻能量。消除其余復(fù)制品，且還會減少主復(fù)制品的高頻能量。數(shù)字化參數(shù)取決于數(shù)字化設(shè)備的設(shè)計。截取窗口代表圖像數(shù)字化器的數(shù)字化參數(shù)取決于數(shù)字化設(shè)備的設(shè)計。截取窗口代表圖像數(shù)字化器的最大視野。采樣孔徑是掃描點(diǎn)的靈敏度，

23、采樣間距可調(diào)節(jié)，并與采樣點(diǎn)直最大視野。采樣孔徑是掃描點(diǎn)的靈敏度，采樣間距可調(diào)節(jié)，并與采樣點(diǎn)直徑相聯(lián)系。對于顯示圖像，其內(nèi)插函數(shù)就是顯示點(diǎn)本身。徑相聯(lián)系。對于顯示圖像，其內(nèi)插函數(shù)就是顯示點(diǎn)本身。DIP用采樣孔徑和采樣間隔來控制。用采樣孔徑和采樣間隔來控制?？讖綄挾仁遣蓸娱g距的兩倍，使其傳遞函數(shù)的第一孔徑寬度是采樣間距的兩倍，使其傳遞函數(shù)的第一個過個過0點(diǎn)位于點(diǎn)位于fN=1/2 t。則則fN以上的頻率被大大削減。以上的頻率被大大削減。DIP三角孔徑寬度為三角孔徑寬度為4個樣點(diǎn)寬，其傳遞函數(shù)的第一個個樣點(diǎn)寬，其傳遞函數(shù)的第一個過過0點(diǎn)也位于點(diǎn)也位于fN=1/2 t。相對于矩形脈沖的譜，三角脈沖相對于

24、矩形脈沖的譜，三角脈沖的譜下降得更快，因此可更有效地減少混疊。與矩形脈的譜下降得更快，因此可更有效地減少混疊。與矩形脈沖同樣的是，它也降低了沖同樣的是，它也降低了F(s)中低于中低于fN部分的能量。部分的能量。DIP用小的采樣間隔使折返頻率用小的采樣間隔使折返頻率fN遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在高邊帶。這遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在高邊帶。這樣，即使混疊污染了頻譜的高頻部分，對我們感興趣的樣，即使混疊污染了頻譜的高頻部分，對我們感興趣的數(shù)據(jù)也基本上無影響。數(shù)據(jù)也基本上無影響。截取窗口足夠大，對信號頻譜造成的影響最小。截取窗口足夠大，對信號頻譜造成的影響最小。sG(s)0DIP可以在可以在時（空）域時（空）域或或頻域（變換域）頻域（變

25、換域）來實(shí)現(xiàn)。來實(shí)現(xiàn)。輸入輸入F(s)輸出輸出G(s)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)H(s)( )( )( )G sF s H s( )( )( )g tf th t對對f(t)和和h(t)采樣使其頻譜變成周期性的。若兩個信號都采樣使其頻譜變成周期性的。若兩個信號都以同樣間距以同樣間距 t 進(jìn)行采樣，它們的頻譜將具有相同的周期進(jìn)行采樣，它們的頻譜將具有相同的周期1/ t 。采樣后信號的卷積，使頻域中兩個頻譜相乘得到。采樣后信號的卷積，使頻域中兩個頻譜相乘得到G(s)，那么那么G(s)也是頻率為也是頻率為 t 的周期函數(shù)。當(dāng)對的周期函數(shù)。當(dāng)對g(t)內(nèi)插時，它內(nèi)插時，它的頻譜減為位于原點(diǎn)的一個復(fù)制品。的頻譜減為位于原點(diǎn)的一個復(fù)制品。如果如果f(t)或或h(t)帶寬有限（假定在帶寬有限（假定在s=1/2 t 以外截止）以外截止） ，則則g(t)的譜也