三角恒等變換各種題型歸納分析

1、三角恒等變換基礎知識及題型分類匯總、知識點:（一）公式回顧:cos | 二 一 I； I cos cos sin sin 簡 記： C（ ） sin 慮一卩sincos 匸 二 cossin : 簡記：S（二tan（tan - tan1 tan tanT 二 I-sin 2：二 2 sin ： cos ：,簡記 S 2cos 2 a = cos 2a - sin 2a ,簡記 C 2a2 tan ak 兀兀 口兀、”、tan 2a = 2一（uh + 且 a 工 k兀十一）,簡記 T 2口1 - tan 2。2422 22280 = cos 0 - sin。= 2cos。1=1- 2sinJ

2、二倍角公式不僅限于 2a是a的二倍的形式，其它如 4a是2 a的兩倍，a /2是a /4的兩倍，3 a是3a /2的兩倍，a /3是a /6的兩倍等，所有這些都可以應用二倍角公式。因此，要理解 二倍角的含義，即當a =2 3時，a就是B的二倍角。凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應用二倍角公式。（二）公式的變式21 二 sin 2 ： = （sin二 cos ：）21 cos2： =2 cos :21-cos2： =2sin :21 cos2-：cos :221-cos2：sin :2taJcos211 cos：si n：1 cos：1 - cossin：acos2asin 2tan 二2sin 2c

3、os1 - cos：1 cos：公式前的一號，取決于21歡迎下載二典例剖析：基礎題型題型一：公式的簡單運用例1:課本例題已知sin 2a:一，求 sin 4 , cos 4 , tan 4 . 2同型練習已知 cos=13 412 :,-. 嚴,求 sinc(,cosG,tana.13 22課本例題在厶 ABC中，cosA =4,tan B = 2,求 tan(2A 2B).5提高練習已知sin x = 3, x5tan(二一 y)二丄,求 tan(x _2y).2題型二：公式的逆向運用例2：1.求下列各式的值:2 tan15 :(1)sin22.5 cos22.5 ;(2)2；(3) 1-2

4、sin2751 -ta n 15”2.化簡下列各式:2 3：1 tan /4 a4 a2(兀(1)si n -cos;(2) ; (3) si na icos 22*創(chuàng)14丿itan -、25 ：3求值：(1)cos cos ;(2)cos36 cos7212 12題型三：升降幕功能與平方功能的應用例3.1 化簡下列各式：(1) 1 sin 40 ;(2 八 1 - sin ;(3) 1 cos20 ;(4)1 - cos1 sin2二-cos2 2化間:(1);(2)亠 1 - sin 2日cos2日1 - sin 2二 cos2二1 sin 2= cos2=1 、3已知 sinx cosx

5、,0 x 二,求sin2x禾口 cos2x.3提高題型：題型一：合一變換(利用輔助角公式結(jié)合正余弦的和角差角公式進行變形) 例1兀1 .sin3 cos12 122. 當銳角 二取何值時，(1 、3)sin 2二-(1歡迎下載)cos 2二有最大值？并求這個最3. 求 y = 3sin( x 10 )5sin( x 70 )的最大值.大值.方法：角不同的時候，能合一變換嗎?4.求函數(shù)y = 2sin(x 10 ) 2cos(x 55 )的最大值和最小值，以 及取得最大值和最小值 時的x的值.方法：2 2cosx5.f （x）二 as in x bcosx,6求函數(shù)y=3竺比的值域.當f (二)

6、=1且f(x)的最小值為k時，求k的取值范圍.31. 轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的最值2.合一變換+有界性3.萬能公式換元為二次分式題型2:角的變換(1)把要求的角用已知角表示例21.已知:-為銳角， siw=旦,cos仲-0)=空 ,求 cos -的值.1729類似題企：為銳角，cos=,tan(：卜)=-1,求cos :的值.533 i3122 已知一,sin(圧亠)=- 一，cos( ： 卜)=一,求 cos 2 :的值.24513類似題 已知 cos a E= 一丄,si 且巴 兀,0 P ,求 cos 12 丿 9(2 丿 3222方法：1、想想常見的角的變換有哪些？2、求值時注意討論研究角的范

7、圍。類似題已知才占，存且鯉卜弓譏&專求sin(W).-，os 43，in45飛,求sM).4已知 sin（2用、I ） = -2 sin :,求證：tan ： = 3tan（-： b -）.2ot + Pp類似題 已知 7sin -3sin（二）,求證：2tan（） =5tan_.2 2證明的方法也是角的變換：把要求證的角轉(zhuǎn)化為已知的角(2)互余與互補1 已知 cosx 二 m,貝V sin 2 x 一 II 4丿3 ta n.2.化簡：1-3 cot13+a |63已知sin3、-x,求 sin 2x4已知 cos5ji+x ,且:x3歡迎下載5127：，2sin 2x 2sin x1 -

8、ta n x方法：善于發(fā)現(xiàn)補角和余角解題，關(guān)注題型3:非特殊角求值例 3： 2cos10 -sin20sin7 cos15 sin81.;類似題cos7* s in 15 si n8 &1、3二者天糸cos 20-2.鳥3 ;類似題-3.ta n s1cos10類似題si nEcosE5084 兀12tan 1214. 2si n70 2si n170廠 cos10 5. ( tan 10 - 3) -sin 501 cos206. sin 10 (cot5 -tan5 ) 2si n20137.2 2icos 80 cos 10丿 cos208.2sin50sin10 (13tan10 )】

9、2sin280森 方發(fā)：（1）減少非特殊角的數(shù)量；（2）注意“倍” 題型4:式的變換吩1、tan（ a3 ）公式的變用“半”。tan ： - tan ：二 tan(:;二)(1tan ： tan ：)1 一 tan 丄/、1 tan 寸 丄 /二 、=tan(日)=tan( + 日)41 - tan日41 tan-例4:化簡：JI3131JE1. ta n tan tan ta n ;1261262. tan18tan42、-3tan18 tan42 -彳類似題tan(x) tan( x)3. tan20 tan60tan60tan10tan 10 tan20664. (1 tan1 )(1

10、tan2 )(1 tan44 )(1 tan 45 )5. tan(18 -x)tan(12x) 3 kan(18 - x) tan(12 - x) 1類似題tan111tan114 tan 111 tan 114JTJIx) tan( x)6 6x丄兀兀 x6.tan(- ) -tan( -)由5可推廣：,則(1tan ： )(1tan 一：)= 2,為什么?2、齊次式nJisin cos11212nJisin cos12122已知tan: , tan :是方程6x2 -5x，1 = 0的兩個實數(shù)根 求：（1）tan（：）的值; 、（2的運用（1 ）sincas1 士 san湊完全平方）3c

11、os2c）的值.1 .化簡下列各式： (1) J -sin ： ; (2) 1 -cos:1 sin 2 J - cos 21 -sin 2v cos 2 2 化簡：(1);(2)-3已知 sin x cosx =1+sin2B+cos2。1 -sin 2日一cos2。,0 ： x ：二，求 sin 2x禾口 cos2x. 34、兩式相加減，平方相加減1 已知 si n_：i rs in ： =3,cosj cos：=,求 cos(用l：,).5511類似題 1已知 cost sin ,sin 二cos ,求 sin(：).23類似題 2已知 sin 工 11 sin ： sin = 0, c

12、os工 11 cos ： cos = 0,求 cos(：f壯).132已知cos（用亠），cos（卅）,求tantan :的值.55類似題已知sin（二1 .J !,sin（- jJ,求乜匸的值.23 tan 戸3 13. （2004全 國）銳角 ABC 中,si n（A B）,si n（ A - B）,（1）求證:ta nA=2ta nB55若AB =3,求AB邊上的高.類似題廠ABC中,.BAC =45 , BC邊上的高把BC分成BD =2,DC =3的兩部分，求 ABC的面積.5、一串特殊的連鎖反應（角成等差，連乘）求值:1.cos36 cos722.sin10 sin30 sin50

13、sin70x x-類似題cos2cos；cos2n-類似題sin 6 sin 42 sin 66 sin 78兀2兀3兀4兀5兀3. cos cos cos cos cos1111111111題型5:函數(shù)名的變換要點：（1）切化弦；（2）正余互化 a例5:1. 若 f(cosx)二 cos17x,求證：f(si nx)二 si n17x(2)x R, n 乙且 f(si nx)二si n(4n 1)x,求 f (cosx)22. 化間3.化間 sinR(1 tanRtan).2tan()sin ()44135歡迎下載一. 54.若銳角：，：滿足 tan : tan,且sin(),求cos(-)

14、;cos(：1-).73題型6:給值求角要點：先確定角的范圍(盡可能縮小)，再選擇恰當?shù)暮瘮?shù)例 6： 一2 5101.，：為銳角,cos二一 ,sin一,求二亠卩的值.510類似題已知:-,-為鈍角,且sin 5 ,sin 10 ,求很亠卩的值.510111.2/ ,-,為銳角,tan,tan,tan ,求二亠亠.2581 13已知 tanC - -）,tan,且二三（0,二），：-（0,二）,求2，-的值.TTTTd類似題已知 0,0,且 3s in 1 =si n（2二 1 -）,4ta n1 - ta n 兀 a ,求二的值.4 4224已知3sin2cos （） 一2sin2 - -

15、1,3sin2 -2sin 2 - - 0,：,：為銳角，求工九2：.題型7:化簡與證明方法：上述7類常見方法思路：變同角，變同名，變同次例7:2 二 1：, 1：,1 已知 7 si n： =3si n(：亠卜),求證：2ta n5ta n2 21+ sin v -cos 什 sicos2化簡：1+ sin 日 +cos1+ sin 日cos日3化簡a（1 sin 二、cos-：）（sin cos22)2 2 cos -(0 ：二)4. sin2： sin2 ： cos2 ： cos2 ；cos2： cos2 ： 25化簡:1+ sin :aacot tan223 cos:Jl a2ta 門

16、(4一？)題型&綜合應用例8:1 設f(x)二 sin 2x cs2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域.tan x + cot x2已知函數(shù)f (x2cos2 x 2 3sin xcosx a,若f (x)在，一上最大值與最小值之和 為3,求a的值.-6 3”6歡迎下載(兀昇 兀63已知函數(shù) f (x) = v3sin 2x-一 | + 2sin x-一 ,x丘 R.I 6丿l 12丿(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期；求使函數(shù)f(x)取得最大值的X的集合總結(jié)：穩(wěn) 一、SaB、 C a3公式的逆向運用（1）變角，以符合公式的形式（2 ）合一變換泰二、角的變換1、 變換角：

17、要點：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范圍2、互余與互補*三、非特殊角求值方向：（1）減少非特殊角的個數(shù)（2）關(guān)注倍、半角關(guān)系（3）利用一些特殊的數(shù)值樽四、式的變換1、tan（ a3 ）公式的變用2、齊次式3、1”的運用（1 sin a , 1 cos a湊完全平方）4、兩式相加減，平方相加減5、一串特殊的連鎖反應（角成等差，連乘）穩(wěn)五、函數(shù)名的變換要點：（1）切割化弦；（2）正余互化穩(wěn)六、倍、半角公式的功能（1）升降幕功能，（2）平方功能（1 sin a , 1 cos a）染七、給值求角問題要點：（1）先確定角的范圍（盡可能縮?。?，（2）選擇恰當?shù)暮瘮?shù)#八、化簡與證明問題思路：變同角，變同名，變同次補充公式（了解）1sin v sin=2sincos2 2e +p8wsinsin= 2 cossin2 2 e +p e w cos cos = 2 cos cos2 2cos - cos 二-2 sinsin2 2sin ： cos ：二sin（二sin（： - -） I2cos