材料力學第11章 能量法ppt課件

1、 材料力學 出版社 科技分社 1 材料力學 出版社 科技分社 在彈性體的變形過程中，外力沿其作用方向做功，稱為外力功。在彈性變形過程中外力功將以一種能量方式積存在彈性體內部。當荷載逐漸卸除時，該能量將重新釋放出來作功，使彈性體恢復到變形前的外形。這種方式的能量稱為彈性應變能或彈性變形能。利用這種功和能的概念處理力學問題的方法統(tǒng)稱為能量法，相應的根本原理統(tǒng)稱為功能原理。 111能量法的根本概念能量法的根本概念 材料力學 出版社 科技分社 積存在彈性體內的應變能U和在加載過程中的能量損耗E之和在數(shù)值上應等于荷載所作的功在緩慢加載過程中彈性體的動能和以其它方式損耗的能量可不於思索UEWUW 材料力學

2、 出版社 科技分社 112 應變能應變能11.2.111.2.1桿件根本變形的應變能桿件根本變形的應變能 恒力F在沿其方向上的線位移上所作的功為 FW 構件所接受的荷載從零開場緩慢地添加到最終值后不再隨時間改動，通常把這種荷載稱為靜荷載，其本質為非恒力做功。在加載過程中力F在微小位移上作的元功()dWF dl 材料力學 出版社 科技分社 資料服從胡克定律，即外力F與位移成線性關系圖b，那么外力做功1112WF l10FdW整個加載過程中荷載所作的總功那么為圖a中曲線下的面積 材料力學 出版社 科技分社 1 1軸向拉伸與緊縮桿件的應變能軸向拉伸與緊縮桿件的應變能當外力從0逐漸增大到F1時，桿端位

3、移由0逐漸增至1，由U=W可知積存在桿內的應變能U為10UFd在拉桿伸長過程中，單元體上外力所作的功為1100()dWdydz dddxdydz 材料力學 出版社 科技分社 單元體單位體積的應變能應變能密度為10dUdWuddVdV 整個拉桿的應變能為VVUdUudV在線彈性小變形桿件，應變能為1112UWF 材料力學 出版社 科技分社 12u資料滿足胡克定律 = E ，應變能密度u為軸向拉伸桿件的應變能2122NVF lUdVEA 材料力學 出版社 科技分社 2 2改動圓桿的應變能改動圓桿的應變能單元體上切應力作的元功為0dWdydzdxd應變能密度為0dUdWuddVdxdydz 對線彈性

4、資料，=G，應變能密度為12u 材料力學 出版社 科技分社 在線彈性、小變形范圍內的改動桿件，其改動角間與改動力矩的關系是一條直線圖b。改動圓軸的應變能為12UWT22PT lUGI對于等直圓桿有：PTlGI受扭等直圓軸的應變能為 材料力學 出版社 科技分社 3梁的應變能計算梁的應變能計算梁在線彈性范圍內純彎曲時，其軸線彎曲成一段圓弧(圖a)，兩端橫截面的相對轉動夾角為MlEIM與 的關系是線性的圖b，桿件純彎曲變形時的應變能為2122M lUWMEI 材料力學 出版社 科技分社 對于在工程實踐常遇到的橫力彎曲梁,橫截面上同時存在剪力和彎矩，所以梁的應變能包括兩部分：彎曲應變能和剪切應變能。微

5、段dx的彎曲應變能為 22Mx dxdUEI 材料力學 出版社 科技分社 微段dx的剪切應變能為 22SSFxdUdxGAS是與截面外形有關的參數(shù)，稱為截面修正系數(shù)。常用截面梁中，矩形截面梁的S =6/5，圓形截面的 S =10/9 ，圓環(huán)截面梁的S =2 。全梁的彎曲應變能那么可積分得22( )( )22SsllFx dxMx dxUEIGA 材料力學 出版社 科技分社 例題例題11.1 試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自在端在端B的垂直位移，知的垂直位移，知EI為常量。為常量。解：寫出懸臂梁的彎矩方程解：寫出懸臂梁的彎矩方程( )M xF

6、x 梁的應變能為：222 30( )()dd226llMxFxF lUxxEIEIEI外力所作功為：12BWF由U=W 得33BFlEI 材料力學 出版社 科技分社 例題例題11.2 試求圖示四分之一圓曲桿的變形能試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能并利用功能原理求原理求B截面的垂直位移截面的垂直位移. 知知EI為常量為常量.解：截取圖示部分曲桿，受力如圖b,寫曲桿的彎矩方程 sin02MFR曲桿的應變能為22202323220( )(sin )dd22sind28lMFRURREIEIF RF REIEI 材料力學 出版社 科技分社 外力所作功為：12BWF由U=W 得：23128BF

7、 RFEI 解得：34BFREI 問題：直接利用功能原理能否求出B截面的轉角、 程度位移等位移量？ 材料力學 出版社 科技分社 11.2.211.2.2桿件組合變形的應變能桿件組合變形的應變能 在線彈性范圍內變形桿件的應變能通常是內力或變形量的二次型函數(shù)。當構件同時受幾個力或力偶共同作用時，力作用效應的疊加原理在變形能的計算中不再適用。 在線彈性、小變形條件下，軸力、彎矩、剪力和扭矩各種內力在桿件變形上作功是相互獨立的，那么下面的應變能計算式成立2222( )( )( )( )2222NSsllllpFxFxMxTxUdxdxdxdxEAGAEIGI 材料力學 出版社 科技分社 例題例題11.

8、3 圖示簡支矩形截面梁中間受集中力圖示簡支矩形截面梁中間受集中力F作用，試作用，試導出橫力彎曲應變能導出橫力彎曲應變能U1和剪切應變能和剪切應變能U2，以矩形截面，以矩形截面梁為例比較這兩應變能的大小。梁為例比較這兩應變能的大小。解：設距梁左端解：設距梁左端x截面的彎矩為截面的彎矩為M(x)、剪力為、剪力為FS(x)，那，那么么 截面上的彎曲正應力和切應力為截面上的彎曲正應力和切應力為*( )( );szzzF x sM xyII b 材料力學 出版社 科技分社 彎曲應變能密度u1，剪切應變能密度u2分別為2* 2222212222( )()( ),2222SzzzFx sMx yuuEEIG

9、GI b經(jīng)過積分得梁兩種變形的應變能分別為2222112222VlAlAzzM yMUu dVdAdxy dA dxEIEI2* 22* 2222222()()22SzSzVlAlAzzFsFsUu dVdAdxdA dxGI bGIb 材料力學 出版社 科技分社 2zAIy dA其中設截面修正系數(shù)：* 222()zsAzsAdAIb那么梁在橫力彎曲時兩種應變能分別簡寫為2212( )( );22SsllzFxMxUdxUdxEIGA矩形截面梁* 22222252()14416445hzhsAzsAhdAybdyIbbh 材料力學 出版社 科技分社 簡支梁的內力方程為( )022( )22Fl

10、M xxxFlM xlxxl( )022( )22ssFlF xxFlF xxl 由內力方程計算出兩種應變能：22 3210122296lzzFF lUxdxEIEI222202228lssF lFUdxGAGA 材料力學 出版社 科技分社 總應變能22 312968szF lF lUUUEIGA兩應變能之比22121212(1):5szEIhUUGAll取=0.35lh時：21:0.125UU 10lh時：21:0.0312UU 對細長梁，剪切應變能可以略去不計，而短粗梁應予思索。 材料力學 出版社 科技分社 113 卡氏定理卡氏定理11.3.1 11.3.1 余能余能在F-曲線與橫坐標圍成

11、的面積其大小等于外力F所作的功，而該曲線與縱坐標圍成的面積稱為F所作的余功，計算公式為10FCWdF與余功WC相對應的應變能稱為余能10FCCUWdF 材料力學 出版社 科技分社 余應變能密度Cud 例如，資料的應力應變關系為E桿件的應變能密度和余應變能密度分別為332022;33udEE 32013CudE 對于線彈性體，應變能和余能在數(shù)值上是相等的。 材料力學 出版社 科技分社 11.3.211.3.2卡氏第一定理卡氏第一定理iiUdUdiidFdW根據(jù)功能原理，外力功在數(shù)值上等于應變能，有dW=dU, 那么得iiUF外力功W的增量：應變能U的增量： 構造在假設干力作用下產(chǎn)生位移，假設沿第

12、i個作用力方向的位移有一微增量di?？ㄊ系谝欢ɡ恚簯兡芎瘮?shù)對卡氏第一定理：應變能函數(shù)對某個廣義位移的偏導數(shù)，等于某個廣義位移的偏導數(shù)，等于與該位移相應的廣義力大小。與該位移相應的廣義力大小。 材料力學 出版社 科技分社 11.3.3 11.3.3 卡氏第二定理卡氏第二定理圖示彈性構造上作用有n個廣義力Fi，與這些力對應的廣義位移為i，余能UC的計算式為01inFCiiiUdFUC是外力Fi的函數(shù)假設第i個廣義力有一微增量dFi，那么彈性體的余能有相應的增量CCiiUdUdFF 材料力學 出版社 科技分社 外力余功的增量為：iiCdFdW根據(jù)功能原理，有dUC=dWC,那么得CiiUF 卡氏第

13、二定理：應變余能函數(shù)對某個廣義力的偏導卡氏第二定理：應變余能函數(shù)對某個廣義力的偏導數(shù)，等于與該力相應的廣義位移大小。數(shù)，等于與該力相應的廣義位移大小。對于線性彈性體，其應變能與余能相等，有iiUF 材料力學 出版社 科技分社 例題例題11.4 圖示外伸梁，資料為線彈性，抗彎剛度為圖示外伸梁，資料為線彈性，抗彎剛度為EI，試求外伸端試求外伸端C的撓度的撓度 C和左端截面的轉角和左端截面的轉角A。21( )2clUM xdxFEIF 2( )2lMxUdxEI21( )( )2( )lM xM xdxEIM xF( )( )lM xM xdxEIF解：解： C處作用有集中力F，根據(jù)卡氏第二定理有

14、材料力學 出版社 科技分社 梁的彎矩方程分段表達AB段：111( )AABAAAMFaMxF xMxMll11()ABMxaxFl BC段：22()BCMxFx 22()BCMxxF 111022220( )( )1136lACAlaAMM xM xFaadxxMxdxEIFEIlllFxFalaM alxdxEIEI 材料力學 出版社 科技分社 11()1ABAMxxMl2()0BCAMxM( )( )AlAAUM xM xdxMEIM 2111200110laAAAFxMxFaxMdxdxEIlllEI同理：又有：136AM lFalEIC與A皆為正號，闡明它們的方向分別與F和MA作用方向

15、一樣，負號闡明反向。 材料力學 出版社 科技分社 例題例題11.5 圖示線彈性資料懸臂梁，自在端圖示線彈性資料懸臂梁，自在端A作用有集中作用有集中力，假設力，假設F、l、EI知，求梁上知，求梁上A點的鉛垂位移點的鉛垂位移A和和B點點的鉛垂位移的鉛垂位移B。解：解：1求梁上求梁上A點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。寫出梁的彎矩方程 0M xFxxl M xxF 300()3llAUMMFxFldxx dxFEIFEIEI 用卡氏第二定理得 材料力學 出版社 科技分社 2求B點的鉛垂位移時，須在B點虛加一附加力F1，彎矩方程寫為AB段： ABMxFx BC段： 12BClMxFxFx 10ABMxF 1

16、()2BCMxlxF 材料力學 出版社 科技分社 33154824FlFlEIEI 令上式中的F1=03548BFlEI 12122lBllFxFxUlxdxFEI 思索：假設題中梁上A、B兩點同時作用一樣大小的力F時，如何計算各點的鉛垂位移？ 材料力學 出版社 科技分社 114 用能量法解超靜定系統(tǒng)用能量法解超靜定系統(tǒng)一解除超靜定構造的多余約束，將原構造化為靜定的構造靜定基，并在靜定基上添加上與解除的約束相對應的多余約束力；二根據(jù)構造的位移約束條件,給出變形幾何相容方程；三將力-位移間的物理關系代入幾何方程,得到超靜定系統(tǒng)的力法方程未知量為未知力的代數(shù)方程；四求解力法方程得到多余未知力。求解

17、除超靜定構造的根本步驟： 材料力學 出版社 科技分社 例題例題 11.6 線彈性資料的等截面超靜定梁如下圖，用卡氏線彈性資料的等截面超靜定梁如下圖，用卡氏定理求定理求B 點的垂直位移。點的垂直位移。解解:此是一次超靜定問題，取此是一次超靜定問題，取靜定基如圖靜定基如圖b,支座支座C的鉛垂反的鉛垂反力力X 為未知多余約束力。為未知多余約束力。分段寫出彎矩方程： 0.500.5ABMxX lxFlxxl 0.5BCMX lxlxl 材料力學 出版社 科技分社 ( )ABMxlxX ( )BCMxlxX 0.5200.533( )( ) d1(0.5) ()d() d15()483CLlllUM x

18、M xxXEIXFlxlxxX lxxEIFlXlEI 由約束條件0C 516FX 材料力學 出版社 科技分社 由于靜定基的內力和變形與原構造是一樣的，只需求出靜定基上的B點位移即得原構造B點位移。( )0.5ABMxlxF ( )0BCMxF 0.503( )( ) d1()(0.5)0.5d5768BLlUM xM xxFEIFX lxFlxlxxEIFlEI 材料力學 出版社 科技分社 例題例題 11.7 三桿的資料一樣，三桿的資料一樣， ，橫截面面積均為橫截面面積均為A，1, 2兩桿長度為兩桿長度為 l。用余能定理求各桿的軸力。用余能定理求各桿的軸力。E以鉸鏈 D 的支反力X 為未知多余約束力，根本靜定基如下圖，且有解：解：c0UX由A點的平衡方程得各桿的軸力分別為N1N2