分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理

1、分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理 分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 一學(xué)生從外面進(jìn)入教室有多少一學(xué)生從外面進(jìn)入教室有多少種走法？若進(jìn)來再出去，有多少種走法？若進(jìn)來再出去，有多少走法？走法？引入課題引入課題要回答上述問題，就要用到計數(shù)原理的知識它是一要回答上述問題，就要用到計數(shù)原理的知識它是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，計數(shù)原理計數(shù)原理就是研究就是研究按某一規(guī)則完成一種事時，一共有多少種不同的做按某一規(guī)則完成一種事時，一共有多少種不同的做法法在運用計數(shù)原理經(jīng)常要用到在運用計數(shù)原理經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與與分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理。2010年6月11日7月1

2、0日在南非舉行的第19屆世界杯足球賽共有個隊參賽它們先分成8個小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)，這16個隊按確定的程序進(jìn)行淘汰賽后，最后決出冠亞冠亞軍，此外還決出了第三、第四名第三、第四名問一共安排了多少場比賽？問題問題1 1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？出多少種不同的號碼？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？問題問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車乘汽車.如果一天中火車有如果一天中火車有3班，汽

3、車有班，汽車有2班班.那那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？共有多少種不同的走法？分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有類方案中有m種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類方類方案中有案中有n種不同的方法種不同的方法. 那么完成這件事那么完成這件事共有共有N=m+n種不同的方法種不同的方法.例例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項

4、專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)大學(xué)B大學(xué)大學(xué)生物學(xué)生物學(xué)化學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)物理學(xué)工程學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？變式：變式：若還有若還有C C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué)資源學(xué). .那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理如果完成一件事情有如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如

5、何計數(shù)呢？都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？ 一般歸納：一般歸納：完成一件事情有完成一件事情有n類不同方案，類不同方案，在第在第1類方案中有類方案中有 種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類方類方案中有案中有 種不同的方法種不同的方法在第在第n類方案中有類方案中有 種不同的方法種不同的方法.那么完成這件事共有那么完成這件事共有1m2mnmN= m1+m2+ + mn 種不同的方法種不同的方法例例2、在例、在例1中，如果數(shù)學(xué)也是中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項專業(yè)，大學(xué)的強(qiáng)項專業(yè)，則則A大學(xué)共有大學(xué)共有6個專業(yè)可以選擇，個專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有大學(xué)共有4個個專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計數(shù)

6、原理，得到專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有 6+4=10種種 這種算法有什么問題？這種算法有什么問題？在分類加法計數(shù)原理中，各類方案中的方法不在分類加法計數(shù)原理中，各類方案中的方法不能出現(xiàn)相同的。能出現(xiàn)相同的。從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地一天中，火車有地，再于次日從丙地乘汽車到乙地一天中，火車有3班，汽車有班，汽車有2班那么兩天中，從甲地到乙地共有多班那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法少種不同的走法 ？ 這個問題與前一個問題不同在前一個問題中，采用這個問

7、題與前一個問題不同在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地才能從甲地到乙地 這里，因為乘火車有這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2種走法，所以種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有：乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有：326種不同的走法種不同的走法 思考思考？用前用前6 6個大寫英文字母和個大寫英文字母和1 19 9九個阿拉九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以伯?dāng)?shù)字，以A A

8、1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？不同的號碼？分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理 完成一件事完成一件事需要分二個步驟需要分二個步驟，在第，在第1步步中中有有m種不同的方法，在第種不同的方法，在第2步步中有中有n種不同種不同的方法的方法. 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法.nmN例例3 3：設(shè)某班有男生：設(shè)某班有男生3030名，女生名，女生2424名名. . 現(xiàn)要現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的

9、選法？賽，共有多少種不同的選法？探究：探究：如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要n個步驟，做每個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？數(shù)呢？一般歸納一般歸納 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟。做第個步驟。做第1步有步有m1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2步有步有m2種不同的方法，種不同的方法， ，做第做第n步有步有mn種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法，則完成這件事共有 N= m1m2 mn種不同的方法種不同的方法例例4：某區(qū)的部分電話號碼是某區(qū)的部分電話號碼是8776,后面后面每個數(shù)字來自每個數(shù)字來自

10、09這這10個數(shù)個數(shù),問可以產(chǎn)生多少個問可以產(chǎn)生多少個不同的電話號碼不同的電話號碼?練習(xí)練習(xí)變式：變式： 2 2、如圖、如圖, ,要給下面要給下面A A、B B、C C、D D四個區(qū)域分別涂上四個區(qū)域分別涂上5 5種不同種不同顏色中的某一種顏色中的某一種, ,允許同一種顏色使用多次允許同一種顏色使用多次, ,但相鄰區(qū)域必須但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色涂不同的顏色, ,不同的涂色方案有多少種？不同的涂色方案有多少種？解：分三個步驟：解：分三個步驟：第一步：首位可放第一步：首位可放81=7個數(shù)；個數(shù)；第二步：十位可放第二步：十位可放6個數(shù)；個數(shù)；第三步：個位可放第三步：個位可放4個數(shù)個數(shù).根據(jù)分步計

11、數(shù)原理，可以組成根據(jù)分步計數(shù)原理，可以組成N=764=168個數(shù)個數(shù).1、分類加法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種種不同的方法不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那那么完成這件事共有么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm2 2、分步乘法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個步個步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,

12、做第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點：共同點：不同點：不同點：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)。分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類類辦法

13、，關(guān)鍵詞辦法，關(guān)鍵詞“分類分類”區(qū)別區(qū)別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個個步驟，關(guān)鍵詞步驟，關(guān)鍵詞“分步分步”區(qū)別區(qū)別2區(qū)別區(qū)別3每類辦法都能獨立地完成每類辦法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，最后結(jié)果，只須一種方法只須一種方法就可完成這件事就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成這件事，這件事，只有各個步驟都完成只有各個步驟都完成了，才能完成這件事了，才能完成這件事。各類辦法是互

14、相獨立的。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：即：類類獨立，步步關(guān)聯(lián)類類獨立，步步關(guān)聯(lián)。例例4、 書架上第書架上第1層放有層放有4本不同的計算機(jī)書本不同的計算機(jī)書,第第 2層放有層放有3本不同的文藝書本不同的文藝書,第第3層放有層放有2本不同的本不同的體育雜志體育雜志.(2)從書架的第從書架的第1、 2、 3層各取層各取1本書本書,有多少種有多少種 不同取法不同取法?(1)從書架上任取從書架上任取1本書本書,有多有多少種不同的取法少種不同的取法?（3）從書架上任?。臅苌先稳?種不同類型的書各種不同類型的書各1本，本，有多少種不同的取法？有多少種不同的取法？

15、注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類分類”“”“分步分步”可以解決的，而要將可以解決的，而要將“分類分類”“”“分步分步”結(jié)合起來運用一般結(jié)合起來運用一般是先是先“分類分類”，然后再在每一類中，然后再在每一類中“分步分步”，綜合應(yīng)用分類，綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理計數(shù)原理和分步計數(shù)原理 例例5、要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出幅不同的畫中選出2幅，幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？少種不同的掛法？例例6. (a1a2)(b1b2b3)(c1c2c3c4)的展開式中有

16、的展開式中有_項項.解解析析要得到項數(shù)分三步：要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有兩種取法；第一步，從第一個因式中取一個因子，有兩種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法種取法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有由分步乘法計數(shù)原理知，共有23424(項項).例例7.由由0,1,2,3，4,5這這五五個數(shù)字，可組成多少個：個數(shù)字，可組成多少個：(1)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？其中能被其中能被5整除共有幾個？整除共有幾個？(2)可以有重復(fù)

17、數(shù)字的三位數(shù)？可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 1用用0,1，9這十個數(shù)字，可以組成多這十個數(shù)字，可以組成多少個：少個：(1)三位整數(shù)？三位整數(shù)？(2)無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？(3)小于小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？ 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 1.1.填空：填空：一件工作可以用一件工作可以用2 2種方法完成，有種方法完成，有5 5人會用第人會用第1 1種方法完種方法完成，另有成，另有4 4人會用第人會用第2 2種方法完成，從中選出種方法完成，從中選出1 1人來完成這件人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是工作，不同選法的種數(shù)是 . .從從A A村去村

18、去B B村的道路有村的道路有3 3條，從條，從B B村去村去C C村的道路有村的道路有2 2條，從條，從A A村經(jīng)村經(jīng)B B村去村去C C村，不同的路線有村，不同的路線有 條條. .2. 2. 現(xiàn)有高中一年級的學(xué)生現(xiàn)有高中一年級的學(xué)生3 3名，高中二年級的學(xué)生名，高中二年級的學(xué)生5 5名，名，高中三年級的學(xué)生高中三年級的學(xué)生4 4名名. .從中任選從中任選1 1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？法？從從3 3個年級的學(xué)生中各選個年級的學(xué)生中各選1 1人參加接待外賓的活動，有多人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？少種不同的選法？3.3.從甲地到乙地有從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有種走法，從乙地到丙地有4種走種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有到丙地的不同的走法共有 種種.4.4.甲、乙、丙甲、乙、丙3 3個班各有三好學(xué)生個班各有三好學(xué)生3 3，5 5，2 2名，現(xiàn)準(zhǔn)備名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校