專題03-含絕對(duì)值的不等式及其應(yīng)用-一本通之備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)選做題

1、緣份讓你看到我在這里專題03-含絕對(duì)值的不等式及其 應(yīng)用-一本通之備戰(zhàn)2019高考數(shù) 學(xué)選做題專題03含絕對(duì)值的不等式及其應(yīng)用知識(shí)通關(guān)1.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式/a與/x/)a的解集:不等 式a=oa0ixl axj -axax/xa 或 x-a彳/日且 z#:0rlax+bl&c(c對(duì)和iax+blc(c9)型不等式的解 法：/ ax+b / w-c w ax+b& c;/ax+b /2c3ax+b c 或 ax+bw p.(3)/xa/+/x七/2c和/xw/+/x4/wc型不等式的解 法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)

2、了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù) 與方程的思想.2.絕對(duì)值三角不等式（1）定理1：如果名8是實(shí)數(shù)，班/a+blwlal+lbl，當(dāng) 且僅當(dāng)助20時(shí)，等號(hào)成立.定理2 ：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么 ia-c wiabi+1br i,當(dāng)且僅當(dāng)（at?） （8-c） 20 時(shí)， 等號(hào)成立.（3）推論 1： /a/-/bw/a%/.（4）推論 2： /a/-/bwn6/.基礎(chǔ)通關(guān)理解絕對(duì)值的幾何意義，并會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式:方法解讀適合題型1公式 法利用公式 v a = -a vx 0) 和 |x| a 工 ax 0)直接求解不等式|/(x)|g 或

3、 |/(x)|g（x）i/2（x）r（x）3零點(diǎn)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕|/(x)|g(x)|t/,4幾何 法利用絕對(duì)值的幾何意義， 畫出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化 為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求 解xaxbc5圖象 法在直角坐標(biāo)系中作出不 等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè) 函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖 象求解或通過移項(xiàng)構(gòu)造 一個(gè)函數(shù)如 l/(x)|+|(x)ld 可 構(gòu) 造 yt/(x)mg(力 itz 或丫+|g(x)l與 y = a題組一絕對(duì)值不等式的解法用零點(diǎn)分段法畫出分段函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象的直觀性 求出不等式的解集，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.例1已知函數(shù)/（）=卜+1|-3|.（1）畫出尸爪）的圖象；（2）求不等式/的解集

4、.(2)由/x)的表達(dá)式及圖象，當(dāng)/(力=1時(shí)，可得*=1或工=3)當(dāng)/&= 一1時(shí)j可得 =；或x = 5, 故,81的解集為桃。3力/8-1的解集為，蟲 1的解集為，或14 5 j 一題組二絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理時(shí)要注意等號(hào)成立的條 件：當(dāng)方820 時(shí)，| a+b = | a| + | h| ；當(dāng) a/wo 時(shí),| a b = | a| + | z?| ；當(dāng)(a6) (6c) 20 時(shí),| ac = | a b +1 bc.(2)對(duì)于求 y= |x-a| + |x引或 7= |x+a| 一 |x一6 型的最值問題時(shí)利用絕對(duì)值三角不等式更方便.(3)對(duì)于含絕對(duì)值

5、的不等式，不論是分段去絕對(duì)值符號(hào)還是利用幾何意義，都要不重不漏.【例2】已知函數(shù)”x)t2x-l g(x)tx + al.(1)當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/3g(x)；(2)若/+科恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.【解析】(1)依題意， i2x-nax+n, 兩邊同時(shí)平方得4j2 -4x+l x2 + 2x + l , 即 3/-6x20, 解得 xko或xn2, 故不等式 f(x) g(x) 的解集為w a 2.(2)由。2g+ 0 + 1恒成立,即12一+ 2皿+ 1恒成立, 12x-ll-l2x + 2a 11 (2x -1) - (2x + 2a) h 2a + l ,(2x-2x + 2a)m

6、dx=2a + 912 + & + 1,解得 _*0,即實(shí)數(shù)”的取值范圍為5刈.能力通關(guān)1 .含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的解題規(guī)律:(1)根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決.(2)巧用 “ llal-lblwia土bwlal+lbl” 求最值.求/a/-6/的范圍：若ab為常數(shù)必可利用llal-lblw la土b10 -mw lal-lbw / 確定范求/a/+/6/的最小值:若ab為常數(shù)以可利用 /a/+/2 labl=lml,從而確定其最小值.(3 ) f(x) a恒成立=力皿3 f)a恒成立即不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.2

7、 .含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的常見類型及其解法：(1)分離參數(shù)法運(yùn)用“ /w 4 = /(x)max 5-x.(2)若對(duì)以wr恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)樾?=3-2x,x 1 ux2當(dāng)e時(shí)， 32,x 2 5 - x , 解得 x-2 .當(dāng) lx5-x 的解集為(2)依題意只需/u；-1,而/(x)=lx-ll + lx-2閆(x-l)-(x-2)l=l , 所以六3所以?；?故實(shí)數(shù)。的取值范圍是so)嗚).【例2)已知函數(shù)“x)t2x + 6l + lxf .(1)求不等式x) -x； + 2mx2恒成立，求實(shí)數(shù)，的取 值范圍.【解析】(1)若，-ti 無解;若3jk1

8、,則原不等式可化為2x+6+i1 ,無解；若】，則原不等式可化為2i + 6+x-11.綜上所述，不等式/3|x4-3|4-ix-ll4 ,由 g(x) =+ 2mx = -(x-m)2 +m2 , 所以 g 皿=由 所以晨 4, gp-2/n2,故用的取值范圍是卬.不等式存在性問題【例3】已知函數(shù)/(月=k一2|+|2、+4，“11.(1)當(dāng)1時(shí)，解不等式“上5；(2)若存在%滿足%) +k。-2|3，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.緣份讓你看到我在這里1解析(1)當(dāng)口=1時(shí),/(9二k一2卅2x+l|.由丸及5得卜一2陽2x+l|5.當(dāng)x2時(shí),不等式等價(jià)于x2+2尤+1之5,解得所以x2;當(dāng)一時(shí),不等

9、式等價(jià)于2x+2尤+1之5,即尤之2,所以xe0;144當(dāng)x 5，解得x一金,所以xw-4t故原不等式的解集為x|2.(2 )2| = 2|x2| + |2x+6/| = |2x-4| + |2.v + 6/| |2x4-rz (2x-4)| = | + 4|,丁原命題等價(jià)于(x)+u)而尸叫 + 4|v3,不等式中的】例 4設(shè)函數(shù)力=卜+“巾-2|, g(x) = x-3+x-2(1)求函數(shù)小)的最小值;(2)若對(duì)任意的xer,不等式屋小小)恒成立，求實(shí)數(shù)的【解析】(1 )/(a-) = |.v + 1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|(x+l)(x-2)0即向t2時(shí)取等號(hào),此時(shí)w.=3

10、,當(dāng)且僅當(dāng)(2)對(duì)任意的xsr,不等式恒成立。g() w2 或13-4 + 2-3，a 3一 a +。一 2 3或尸39 b1a-3 + a-2w312, 或 2。2；(2)若正數(shù)”滿足 + 23c =晴)，求： 的最小值.【解析】(1)當(dāng) x2, 解得y，顯然沁所以、2,即解；當(dāng)“年時(shí),當(dāng)時(shí)， f (x) = 3-2x+x- = 2-x , 乙/(x)= 2x-3 + x-l = 3x-4.2一“2,解得1。.又1。2 , 解得”2 .顯然2|,所以x2.綜上，不等式八*)2的解集為(一s,g)u(2,+oo).(2)由題意得 a + 2 + 3c = /(；) =缶=3.rrt il 12

11、 3 ,123、a + 2b + 3c 1 r/1.八、2b 2a 3c 3a 6c 6b所以一十 丁 + 一 =(一+ 7 + 一);=-(1 + 4 + 9) + + + + + + z/1 a be a b c 33a b a c b c 當(dāng)且僅當(dāng)a = c = ；時(shí)等號(hào)成立.*如+ 2后+2厝+ 2后6b、 x ) =12.所以%的最小值為2 不等式綜合性問題【例6】已知函數(shù) f (x) =1 x - 21 -1 x i +m(m r).(1)若“。，解不等式 f(x)x-1.(2)若方程有三個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)?的取值范圍.【解析1(1)因?yàn)榉仕?g)冒工21 一|劉,所以/(x)a

12、 x-1的解集是下列不等式組的解集的并集,x2或x-2xx-lqx2或x+2xx-l解得：xe,所以不等式/(x)之x 1的解集為(75.(2)因?yàn)?/(x)=lx-2l-lxl+?,所以方程“加t有三個(gè)不同的解等價(jià)于函數(shù) g(x) =1 x-21 - ixi 隹j 圖象與直線ktf有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作圖可知，25k尸工1 1-3 - 2 （當(dāng)直線當(dāng)直線y = xmy = xni經(jīng)過點(diǎn)4。時(shí)，經(jīng)過點(diǎn) 8(2,-2) 時(shí),?二0.所以實(shí)數(shù)，的取值范圍是(-2.。).高考通關(guān)1 .已知函數(shù) fx) = x+a + x2.(1)當(dāng)a= - 3時(shí)，求不等式f(x) 23的解集；(2)若x)w|x-4|

13、的解集包含1,2,求，的取值un【解析】(1)當(dāng)=-3時(shí)，不等式f(x)23化為|x-3| + |x-2|23(*)當(dāng)后2時(shí)，由(*)式，得5-2x23,，%w1.當(dāng)2vxv3時(shí)，由(*)式知，解集為q由(*)式,得 2x523,綜上可知，f(x)23的解集是x|x24或ml.(2)原不等式等價(jià)于|x4| 一 |x一2|2|x+a|, (*)當(dāng) 時(shí)，(*)式化為 4x(2x) x+a, 解得一2 a.由條件，1,2是f(x)w|x一4|的解集的子集,/. 2且 22 a,貝!3waw0,故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是3, 0.2 .已知函數(shù)/*)= 2bl + u-31.(1)解關(guān)于 的不等式

14、 /gv) (2)若對(duì)于任意的er,不等式“)才恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.【解析】(1當(dāng)x一；，當(dāng)0x3時(shí)，不等式可化為2x(x3)v4,解得故當(dāng)無之3時(shí)，不等式可化為2x+&-3)4,解得xv1.顯然與、之3矛盾，故此時(shí)不等式無解.綜上，不等式/) 4的解集為一；).(2)由(1)知，)=-3x + 3,x 3如圖,顯然之。)=3.故由不等式 f(x)r-2t恒成立可得-八3,解得所以，的取值范圍為t3.3 .已知函數(shù) f (x) =12x + / i.(1)若”1,求不等式 /(x)lx + 3l+6 的解集；(2)若關(guān)于x的不等式小)+14-263/在r上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解

15、析】(1)依題意,- 16u + 3i+6 9若-x-3+6 9 解得“，故x+3+6 , 解得入 x+3+6,解得10 9故mo.綜上所述，不等式 f(x) lv + 3l+6 的解集為(f，-g)u(10, + 8).(2)依題意，關(guān)于x的不等式12式 + ？1 +14 2x12 3m2 在r上恒成立.而 |2x+ 0| + |4-2x/2 |團(tuán)+4|,所以 m + 43m2 f艮j m + 4 3m2或m + 4w-3* 解得4-1 /z 一3所以團(tuán)的取值范圍是14 .已知函數(shù) f (x) =1 x-m i , g(x) =1 x + n i , 其中心(1)若函數(shù)小)的圖象關(guān)于直線丫

16、= 2對(duì)稱，求不等式/(x + 2)/(x) 的解集；(2)若函數(shù)內(nèi)) =/(x)+ g(x) 的最小值為1,求宗一的最小 值及其相應(yīng)的“和的值.【解析】(1)函數(shù)/3的圖象關(guān)于直線x = 2對(duì)稱，二 /(x)=u-2l 9.不等式/(x+2)”(x)可化為ixku _21,即/k(x - 2)2,化簡(jiǎn)得-4犬+ 420, 解得加，不等式 f(x+2)l (x-m)一(x + )1= m + ,函數(shù) h(x) = f(x) + g(x)的最小值為/. m + n = 1 9由 m + n 2ymn,1 + 1 = = 4,當(dāng)且僅當(dāng) 1 m n nm inn j：；：1，即時(shí)等號(hào)成立,的最小值為4,此時(shí)1m = n =25.已知函數(shù) /(x)=lx + ll .(1)若加er使不等式/(x-2) -3).成立，求滿足條件的實(shí)數(shù),的取值集合了;(2)若二次函數(shù) y = x2 +2x + 3 與函數(shù) y = m-2f(x)-f(x-2) 的圖象-hxl2