線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)2理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解（全部解）和解空間的概念。掌握解（全部解）和解空間的概念。掌握求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法。的方法。理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，掌握求非齊次線性方程組通解的方法掌握求非齊次線性方程組通解的方法。第1頁/共37頁3解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa方程組可寫成向量方程方程

2、組可寫成向量方程0Ax 1112211,nnxxx若若為方程為方程 的的0 Ax解，則解，則111211(,)Tnx稱為方程組的解向量，它也就是向量方程的解稱為方程組的解向量，它也就是向量方程的解第2頁/共37頁4齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)也是也是 的解的解. .（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0 Ax21 x0 Ax證明證明12()A10,A 120.xAx故故也也是是的的解解20A 12AA0 第3頁/共37頁5（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明1()A k 由以上

3、兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和量所組成的集合，對(duì)于加法和乘乘數(shù)運(yùn)算是封閉數(shù)運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組齊次線性方程組 的的解空間解空間0 Ax1()kA 0k 0 第4頁/共37頁6 12,0,tAx 稱稱為為齊齊次次線線性性方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 如如果果12(1),0;tAx 是是的的一一組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解12(2)0,.tAx 的的任任一一解解都都可可由由線線性性表表示示基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義注：方程組的基礎(chǔ)解系也是方程組解空

4、間的基底。注：方程組的基礎(chǔ)解系也是方程組解空間的基底。第5頁/共37頁7 0 012,0,tAxAx 如如果果為為齊齊次次線線性性方方程程組組的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 那那么么的的通通解解可可表表示示為為ttkkkx 221112,.tk kk其其中中是是任任意意常常數(shù)數(shù)第6頁/共37頁8線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法111,1,10010000n rrr n rbbbbAB 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設(shè)設(shè) 的前的前 個(gè)列向量線性無關(guān)個(gè)列向量線性無關(guān)rAA于是于是 的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為A第7頁/共37頁91111

5、,21,10000100000n rrr n rnxbbxbbx 11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 0Ax 現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì) 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：1,rnxx rn nrrxxx2100,1 , 010, 001第8頁/共37頁101111,100rbb 1222,010rbb 1,001n rr n rn rbb 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個(gè)解，個(gè)解，rn ,11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 第9頁/共37頁11下面證明下面證明 是齊次線性方程組解是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基空間的一個(gè)基12,n r 10

6、0,010,001由于由于 個(gè)個(gè) 維向量維向量rn rn 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以 個(gè)個(gè) 維向量維向量 亦線性無關(guān)亦線性無關(guān). .rn n12,n r 12(1),.n 證證明明線線性性無無關(guān)關(guān)1111100rbb 第10頁/共37頁12 12(2),.n r 證證明明解解空空間間的的任任一一解解都都可可由由線線性性表表示示11(,).Trrnx 設(shè)設(shè)為為方方程程組組的的一一個(gè)個(gè)解解12,n r 再再做做的的線線性性組組合合1122rrnn r 由于由于 是是 的解的解, ,故故 也是也是 的解的解. .12,n r 0 Ax 0 Ax 下下面面來來證證明明1122rrnn r 第11頁/

7、共37頁130,Ax 由由于于 與與 都都是是方方程程的的解解11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 即即 與與 都都是是同同解解方方程程組組的的解解112rrrncc 112rrrn 由由11111,11,rnrnrrrr nrnbbbb 11111,11,rnrnrrrr nrncbbcbb 11,rrcc. 即即第12頁/共37頁141122.rrnn r 即即是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基. .1,n r 綜綜上上第13頁/共37頁15定理定理6 6 0,(),.m nm nnxASRrSnrA 元元齊齊次次線線性性方方程程

8、組組的的全全體體解解所所構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合 是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間 當(dāng)當(dāng)系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩時(shí)時(shí) 解解空空間間 的的維維數(shù)數(shù)為為 ( ),(,0);R An 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 方方程程組組只只有有零零解解 故故沒沒有有基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 此此時(shí)時(shí)解解空空間間只只含含一一個(gè)個(gè)零零向向量量 為為 維維向向量量空空間間 12112211112( ),.n rn rn rn rn rn rn rR ArnnrxkkkkkSxkkk kk 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 方方程程組組必必有有含含個(gè)個(gè)向向量量的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系此此時(shí)時(shí) 方方程程組組的的解解可可表表示示為為其其中中為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 解解空空間間可可表表示

9、示為為第14頁/共37頁16說明說明解空間的基不是唯一的解空間的基不是唯一的第15頁/共37頁17例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組1234123412340253207730 xxxxxxxxxxxx 的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解. .解解111125327731A 先將系數(shù)矩陣化為最簡(jiǎn)形，求得基礎(chǔ)解系先將系數(shù)矩陣化為最簡(jiǎn)形，求得基礎(chǔ)解系137rr 1111 122rr 014108 0754 1111 232rr 000021()7r 5401775401770000 21rr 231077第16頁/共37頁1813423423775477xxxxxx 得得同同解解方方程程組

10、組3410,01xx 令令及及12237754,771001基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為12121234237754,(,).771001xxccc cxx綜綜上上，通通解解為為第17頁/共37頁19123451234512345123454302355032035670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解方方程程組組解解11143213551132131567A 練練 習(xí)習(xí)43113rrrr 11143 122rr 02262 01131 02262 第18頁/共37頁20232rr 1114301 131 34rr 0000000000011310000000000 21rr 1021

11、2 2( 1)rxxxxxxx 得得同同解解方方程程組組345xxx 令令01 ,0 10 ,0 001 得原方程組的基礎(chǔ)解系得原方程組的基礎(chǔ)解系, 001121 , 010312 . 100123 第19頁/共37頁21綜上，原方程組的通解為綜上，原方程組的通解為123212131,100010001xccc 123,.c c c其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)第20頁/共37頁22 1212(1),0.xxAxbxAx 設(shè)設(shè)及及都都是是的的解解 則則為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解證證明明12()0.Abb120.xAx 即即滿滿足足方方程程12,AbAb非齊

12、次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證明()AAA0,bb.xAxb所所以以是是方方程程的的解解 (2),0,.xAxbxAxxAxb設(shè)設(shè)是是方方程程的的解解是是方方程程的的解解 則則仍仍是是方方程程的的解解第21頁/共37頁2311n rn rxkk 其中其中 為對(duì)應(yīng)齊次線為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解意一個(gè)特解. .11n rn rkk 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為第22頁/共37頁243 3線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用

13、克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法的計(jì)算方法第23頁/共37頁25 1234123412340231231 2xxxxxx

14、xxxxxx 例例求求解解方方程程組組解解先先求求特特解解，再再求求齊齊次次解解。111101113111231 2B13rr 11110 12rr 00121 2 00241 212r 11110 2312rr 0000000121 2 11 01 1 20012 1 200000 12rr 第24頁/共37頁26( )( )2,R AR B可可見見故故方方程程組組有有解解 并并有有同同解解方方程程組組1243421 21 2xxxxx 240,xx取取即即得得方方程程組組的的一一個(gè)個(gè)特特解解*1 20.1 20 下下求求齊齊次次解解。2410,01xx 及及12434,2xxxxx 在在對(duì)

15、對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程組組中中 取取即即得得對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系121110,0201 第25頁/共37頁27于于是是所所求求通通解解為為12121234111 2100,(,).021 2010 xxccc cxx 第26頁/共37頁2812345124512345123452335,2261,3456312,34.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解方方程程組組解解1231352102613456312111314B 練練 習(xí)習(xí)14rr 123135 12132 ,3rrrr 024363 036009 012241 第27頁/共

16、37頁2924rr 123135 3221()32 ,rrr 000363012003000242342rr 123135012003 313r 0001210000002132rrr101052 012003000121000000 第28頁/共37頁30()()3,.R AR B 由由知知方方程程組組有有解解可得同解方程組可得同解方程組1352345235212xxxxxxx 350,xx令令得得*23010 特特解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程組組為為1352345522xxxxxxx 下求對(duì)應(yīng)齊次方程基礎(chǔ)解系下求對(duì)應(yīng)齊次方程基礎(chǔ)解系第29頁/共37頁313510,01xx 令令:得得1

17、21520,100201 于于是是所所求求通通解解為為123121245152203,(,).100021010 xxxccc cxx 第30頁/共37頁32第31頁/共37頁33書后題講解書后題講解3.舉舉例例說說明明下下列列各各命命題題是是錯(cuò)錯(cuò)誤誤的的。解解1231000 ,2 ,0000aaa 設(shè)設(shè)123123,a a aaa a線線性性相相關(guān)關(guān)，但但不不能能用用線線性性表表示示。1212(1)mma aaaaa若若向向量量組組,是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的，則則 可可由由,線線性性表表示示. .第32頁/共37頁34解解121210100 ,1 ,0,11010aabb 設(shè)設(shè)12111 1

18、11(2)0,0mmmmmmmaabbaabb 若若又又不不全全為為 的的數(shù)數(shù), ,使使成成立立，則則,線線性性相相關(guān)關(guān)，,亦亦線線性性相相關(guān)關(guān). .1211221 1221,0aabb存存在在使使得得11mmaabb但但是是, , ,線線性性無無關(guān)關(guān)，, , ,亦亦線線性性無無關(guān)關(guān)。第33頁/共37頁35解解121221000 ,0,1 ,12100aabb 設(shè)設(shè)12111 111(3),00mmmmmmmaabbaabb 若若只只有有當(dāng)當(dāng)全全為為 時(shí)時(shí)，等等式式才才能能成成立立，則則,線線性性無無關(guān)關(guān)，,亦亦線線性性無無關(guān)關(guān). .1122211 ,121abab 1212a ab b但但是是, ,線線性性相相關(guān)關(guān)， , , 亦亦線線性性相相關(guān)關(guān)。1122,ab ab 線線性性無無關(guān)關(guān)。1211221 122,00aabb 于于是是, ,只只有有全全為為 時(shí)時(shí)，等等式式才才能能成成立立。第34頁/共37頁36解解12121200,0031aabb 設(shè)設(shè)1112111 1(4)0,00mmmmmmmaabbaabb 若若,線線性性相相關(guān)關(guān)，,亦亦線線性性相相關(guān)關(guān)，則則有有不不全全為為 的的數(shù)數(shù)，使使，同同時(shí)時(shí)成成立立。1212a ab b則則, ,線線性性相相關(guān)關(guān)，, , 亦亦線線性性相相關(guān)關(guān)。1211221 122,00aabb 設(shè)設(shè)有有，使使且且12122030