第三章 線性系統(tǒng) 時(shí)域分析法

1、3.1 時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.5 線性系統(tǒng)的誤差分析線性系統(tǒng)的誤差分析3.6 順饋控制的誤差分析順饋控制的誤差分析End End 本章作業(yè)本章作業(yè)本本 章章 提提 要要 時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。應(yīng)的全部信息。 本章重點(diǎn)介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)本章重點(diǎn)介紹一階和二階系統(tǒng)

2、時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系算；討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系統(tǒng)性能的措施；介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；介紹用勞統(tǒng)性能的措施；介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以及計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以及計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。差的方法。3.1.1 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)：單位階躍、單位斜坡、單位脈沖、單位加速度、單位階躍、單位斜坡、單位脈沖、單位加速度、正弦等正弦等 典型時(shí)間響應(yīng)典型時(shí)間響應(yīng) ：單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)、

3、單位加速度響應(yīng)等單位加速度響應(yīng)等 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，由系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，由過渡過渡過程和過程和穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。過程兩部分組成。 過渡過程：過渡過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱動(dòng)態(tài)過程、瞬態(tài)過程。狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱動(dòng)態(tài)過程、瞬態(tài)過程。 穩(wěn)態(tài)過程：穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。 相應(yīng)地，性能指標(biāo)分為相應(yīng)地，性能指標(biāo)分為動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)指標(biāo)和指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。指標(biāo)。 1. 延遲時(shí)間延

4、遲時(shí)間(delay time)td：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需時(shí)間。一半所需時(shí)間。%100)()()(% cctcp q階躍響應(yīng)性能指標(biāo)階躍響應(yīng)性能指標(biāo) p tr0.5 c(t)td tp01 tst穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差v穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能：由由穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(steady state error) ess描述。描述。 2. 上升時(shí)間上升時(shí)間(rise time) tr：響應(yīng)從終值響應(yīng)從終值10%上升到終值上升到終值90%所需時(shí)間；對(duì)有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升所需時(shí)間；對(duì)有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需時(shí)間。上升時(shí)間是響應(yīng)速度的度量。到終

5、值所需時(shí)間。上升時(shí)間是響應(yīng)速度的度量。 3. 峰值時(shí)間峰值時(shí)間(peak time) tp：響應(yīng)超過終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。響應(yīng)超過終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。 4. 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間(response time) ts：響應(yīng)到達(dá)并保持在誤差帶內(nèi)所需的最響應(yīng)到達(dá)并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時(shí)間，小時(shí)間， 通常取通常取0.05c()或或0.02c()為誤差帶。為誤差帶。 5. 超調(diào)量超調(diào)量(percent overshoot) %：響應(yīng)的最大偏離量響應(yīng)的最大偏離量c(tp)與終值與終值c()之差的百分比，即之差的百分比，即3.2.1 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)(first order system)的數(shù)

6、學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型q一般地，將微分方程為一般地，將微分方程為 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。T的含義隨系統(tǒng)的不同而不同。的含義隨系統(tǒng)的不同而不同。)()()(trtcdttdcT 11)()( TssRsC)()()(tutudttduCRrcc TssCRsUsUrc 1111)()( R i(t) C)(tur)(tucR(s)C(s)E(s)(- -)1/Ts傳遞函數(shù)傳遞函數(shù): :結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖 ：微分方程微分方程為為: : 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程，稱為一階系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程，稱為一階系統(tǒng)。如如RCRC電路電路: :輸入輸入r(t

7、)=1(t) ，輸出輸出 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) )0(1)(1 tetctT j 0P=-1/TS平面平面(a) 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布 c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為初始斜率為1/T c(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b) 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1）可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；2）初始斜率為初始斜率為1/T； 3）無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。性能指標(biāo)：性能指標(biāo)：延遲時(shí)間：延遲時(shí)間：td=0.69T 上升時(shí)間：上升時(shí)間：tr=2.

8、20T 調(diào)節(jié)時(shí)間：調(diào)節(jié)時(shí)間：ts=3T (=0.05) 或或 ts=4T (=0.02) 輸入輸入 r(t)= (t)，輸出輸出)0(1)(1 teTtctTt0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率為為0.368/T0.05/T0t/TeTtc 1)(T1c(t)(c) 單位脈沖響應(yīng)曲線單位脈沖響應(yīng)曲線21T 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 1) 可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值； 2) 初始斜率為初始斜率為-1/T2； 3) 無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。3.2.3 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 輸入輸入r(t)

9、=t，輸出輸出 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)是一條由零開始逐漸變?yōu)榈人僮兓囊浑A系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)是一條由零開始逐漸變?yōu)榈人僮兓那€。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入同斜率，但滯后一個(gè)時(shí)間常數(shù)曲線。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入同斜率，但滯后一個(gè)時(shí)間常數(shù)T，即存即存在跟蹤誤差，其數(shù)值與時(shí)間在跟蹤誤差，其數(shù)值與時(shí)間T相等。相等。 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess=T，初始斜率初始斜率=0，穩(wěn)態(tài)輸出斜率穩(wěn)態(tài)輸出斜率=1 . )0()(1 tTeTttctT3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 跟蹤誤差跟蹤誤差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T

10、)隨時(shí)間推移而增長，直至隨時(shí)間推移而增長，直至無窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。無窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。221)(ttr 輸入輸入)1(21)(/22TteTTtttc 輸輸出出q結(jié)論：結(jié)論： 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)T T密切相關(guān)。只要時(shí)間常數(shù)密切相關(guān)。只要時(shí)間常數(shù)T小，單位階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間小，單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值滯后時(shí)小，單位階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間小，單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值滯后時(shí)間也小。但一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。間也小。但一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。 線性系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響線性系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)

11、響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。整理得傳遞函數(shù)整理得傳遞函數(shù) 故得結(jié)構(gòu)圖故得結(jié)構(gòu)圖 )()()(2)(122sRsCssCsCsnn )()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 在第二章，已得微分方程在第二章，已得微分方程 ：取拉氏變換，有取拉氏變換，有 2222)()()(nnnssssRsC 22)2(nnnss R(s)C(s)(- -)2(2nn ss其中：其中：自然頻率；自然頻率； 阻尼比阻尼比(damping ratio )。又因?yàn)橛忠驗(yàn)?標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式3.3.1 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)(second order system)的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

12、為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。)2(1)2(22nnnnssss 3.3.2 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 0222 nnss 其根決定了系統(tǒng)的響應(yīng)形式。其根決定了系統(tǒng)的響應(yīng)形式。其輸出的拉氏變換其輸出的拉氏變換為為)(12)()()(212222sssssssssRssCnnnn 單位階躍函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。單位階躍函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。二階系統(tǒng)特征方程二階系統(tǒng)特征方程21,21nns j 0 p1 p2S平面平面閉環(huán)極點(diǎn)分布閉環(huán)極點(diǎn)分布t c(t)單位階躍晌應(yīng)單位階躍晌應(yīng)1(a) 無阻尼無

13、阻尼0 =cos 0 p1 n- n p2 j j d 01(b) 欠阻尼欠阻尼 c(t)ttjsn 1,222, 11 nnjsdj =21,21nns p1= p20 j 0 j p1 p2 c(t)01t(c) 臨界阻尼臨界阻尼10 c(t)t(d) 過阻尼過阻尼s1,2= - n)(,1212122, 1TTTTsnn 穩(wěn)態(tài)部分等于穩(wěn)態(tài)部分等于1 1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差； 瞬態(tài)部分是阻尼正弦振蕩過程，阻尼的大小由瞬態(tài)部分是阻尼正弦振蕩過程，阻尼的大小由 n n ( (即即，特，特征根實(shí)部）決定；征根實(shí)部）決定； 振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率

14、 d d（特征根虛部），其值由阻尼（特征根虛部），其值由阻尼比比和自然振蕩角頻率和自然振蕩角頻率 n n決定。決定。 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由和和兩部分組成：兩部分組成：1. (underdamping)二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) (即即01 時(shí)）時(shí)） 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無超調(diào)、無振蕩單調(diào)上升的，不存系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無超調(diào)、無振蕩單調(diào)上升的，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。在穩(wěn)態(tài)誤差。 系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。 階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)：0tc(t)10tc(t)1t0y10123456789101112 nt c(t)0.20.

15、40.60.81.01.21.41.61.82.0以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖： =00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0)0()sin(11)(2 ttetcdtn 21 ndrt單位單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時(shí)間階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時(shí)間。21 ndpt1.1.動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算 上升時(shí)間上升時(shí)間 t tr r 峰值時(shí)間峰值時(shí)間 tp單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 0)sin(12 rdttern

16、 即即 得得0)( pttdttdc 由由 得得 此此時(shí)時(shí)1)( rtc3.3.3 欠阻尼二階系統(tǒng)的欠阻尼二階系統(tǒng)的單位單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。 %100)()()(% cctcp 超調(diào)量超調(diào)量 %)0()sin(11)(2 ttetcdtn 單位單位階躍響應(yīng)進(jìn)入階躍響應(yīng)進(jìn)入 誤差帶的最小時(shí)間。誤差帶的最小時(shí)間。 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 ts%100%21 e%100)sin(12 pdttepn 由由 有有 根據(jù)定義根據(jù)定義 )()()()(sttcctc )()sin(12sdtttten 1)sin( td 因因 則則)(12sttten 越小，

17、超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時(shí)間越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s長；長； 過大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時(shí)間過大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s也長，快速性差；也長，快速性差； =0.7=0.7，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，快速性最好，而超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間最短，快速性最好，而超調(diào)量 %5%5%，平穩(wěn)性也好，故稱平穩(wěn)性也好，故稱=0.7=0.7為最佳阻尼比。為最佳阻尼比。2. 2. 結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)單位階躍響應(yīng)性能的影響對(duì)單位階躍響應(yīng)性能的影響 欠阻尼二階系統(tǒng)的一對(duì)包絡(luò)線如欠阻尼二階系統(tǒng)的一對(duì)包絡(luò)線如右圖：右圖： c(t)t0121e1n t-21e1n t-n1 T包絡(luò)線包絡(luò)線nst4 或

18、或（ =2%時(shí)）時(shí)）nst 3 ( =5%) 工程上通常用工程上通常用包絡(luò)線代替實(shí)際曲線來估算。包絡(luò)線代替實(shí)際曲線來估算。 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為 的的不衰減（等幅）振蕩。不衰減（等幅）振蕩。n阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示21dn結(jié)論：對(duì)于二階欠阻尼系統(tǒng)而言，結(jié)論：對(duì)于二階欠阻尼系統(tǒng)而言， 大，大， 小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。n 在在 一定的情況下，一定的情況下， 越大，振蕩頻率越大，振蕩頻率 也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。nd（一）（一）. 延遲時(shí)間延遲時(shí)間 的計(jì)算的計(jì)算dtndt22 . 06 .

19、01單位階躍響應(yīng)到達(dá)其穩(wěn)態(tài)值單位階躍響應(yīng)到達(dá)其穩(wěn)態(tài)值50%所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。 21( )1sin()(0)1arccosntdh tett 令令h(t)=0.5，得延遲時(shí)間的近似表達(dá)式：，得延遲時(shí)間的近似表達(dá)式： （二）（二）. 上升時(shí)間上升時(shí)間 的計(jì)算的計(jì)算rt響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到上升到90%所需的時(shí)間所需的時(shí)間. 21 1.5rnt與欠阻尼系統(tǒng)相同與欠阻尼系統(tǒng)相同欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)rdt)1( sTsKmR(s)(- -)C(s)KsTsKsGsGsm )1()(1)()(22222/)(nnnmmmssTKTssTKs %3 .16%100%21 e秒秒7

20、3. 012 ndpt秒秒486. 0 drt 秒秒2 . 13 nst 化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式 即有即有 n2=K/Tm=25 , 2n=1/Tm=5 解：解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 解得解得 n=5, =0.5 已知圖中已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。例例3.2 設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 例例3.3解：解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性躍響應(yīng)曲線。由圖

21、中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 %1003 . 0%30%21/ e2 . 13 . 0lnln12 e 36. 0 秒秒1 . 012 ndpt126 .33934. 04 .3114 .31 秒秒 n)(1)(11302 .2411302)(2222sGsGsssssnnn )2 .24(1129)2()(1)()(2 sssssssGnn 0t(s)11.30.1c(t)抑制振蕩，抑制振蕩，使超調(diào)減弱，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性改善系統(tǒng)平穩(wěn)性, ,調(diào)節(jié)時(shí)間減小。調(diào)節(jié)時(shí)間減小。3.3.4 改善二階系統(tǒng)性能的措施改善二階

22、系統(tǒng)性能的措施C(s)R(s)(- -)Go(s)2(2nnss E(s)U(s)tttttr(t) 1 1 c(t) e(t) u(t)(te dTt1 0 0 0 0 01t1. 比例比例微分控制微分控制(proportional plus derivative control) (1) 方法的思路方法的思路未超前校正未超前校正超前校正超前校正實(shí)例參考實(shí)例參考 開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： 開環(huán)增益：開環(huán)增益： K= n/2)12/()1()2()1()()()(2 ndndnsssTKsssTsEsCsG aTassasasnddnndn2,/1,2)(222 特點(diǎn)特點(diǎn): (1) 引入比

23、例微分控制，使系統(tǒng)阻尼比增加，從而抑制振引入比例微分控制，使系統(tǒng)阻尼比增加，從而抑制振蕩，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性；蕩，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性； (2) 零點(diǎn)的出現(xiàn)，將會(huì)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，使上升時(shí)間縮零點(diǎn)的出現(xiàn)，將會(huì)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，使上升時(shí)間縮短，峰值提前，又削弱了短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。因此適當(dāng)選擇微分時(shí)間作用。因此適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)，使系統(tǒng)具有過阻尼，則響應(yīng)將在不出現(xiàn)超調(diào)的條件下，顯常數(shù)，使系統(tǒng)具有過阻尼，則響應(yīng)將在不出現(xiàn)超調(diào)的條件下，顯著提高快速性。著提高快速性。 (3) 不影響系統(tǒng)誤差，自然頻率不變。不影響系統(tǒng)誤差，自然頻率不變。 閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：

24、閉環(huán)系統(tǒng)具有零點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)具有零點(diǎn), ,可以使上升時(shí)間提前可以使上升時(shí)間提前. .阻尼增大阻尼增大, ,超調(diào)減小。超調(diào)減小。R(s)(- -)C(s)Go(s)2(2nnss Tds+1 (2) 性能分析性能分析tttttr(t) 1 1 c(t) e(t) u(t)t1 t1 0 0 0 0 0) t ( cT抑制振蕩，抑制振蕩，使超調(diào)減弱，使超調(diào)減弱，改善系統(tǒng)平穩(wěn)性改善系統(tǒng)平穩(wěn)性, ,調(diào)節(jié)時(shí)間減小。調(diào)節(jié)時(shí)間減小。R(s)(- -)C(s)2(2nnss (- -)E(s)U(s)2. 速度反饋速度反饋(velocity feedback)控制控制 (1) 方法的思路方法的思路超前校正超前校正

25、未超前校正未超前校正 12/12)2()()()(222 ntnntnntnnksskksssEsCsG 22222222)2()()(nntnnntnnssskssRsC q由上可知：由上可知： 1) 1) 速度反饋使速度反饋使 增大，振蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性；增大，振蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性； 2) 2) 速度負(fù)反饋控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，其輸出平穩(wěn)性優(yōu)速度負(fù)反饋控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，其輸出平穩(wěn)性優(yōu)于比例于比例微分控制；微分控制； 3) 3) 系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)加大，因此應(yīng)適當(dāng)提高系系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)加大，因此應(yīng)適當(dāng)提高系統(tǒng)的開環(huán)增益統(tǒng)的開環(huán)增益.

26、.nttk 21 R(s)(- -)C(s)(n2n2ss KtS(- -)在二階系統(tǒng)中引入微分反饋：在二階系統(tǒng)中引入微分反饋：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為： (2) 性能分析性能分析3.比例微分控制與輸出微分反饋的比較（1）增加阻尼的來源 比例微分的阻尼來自誤差信號(hào)的速度； 輸出微分反饋的阻尼來自輸出響應(yīng)的速度； 因此對(duì)于給定的開環(huán)增益和指令速度，輸出微分的穩(wěn)態(tài)誤差更大；（2）對(duì)于噪聲和元件的敏感程度 比例微分控制對(duì)于噪聲具有明顯的放大比例微分控制對(duì)于噪聲具有明顯的放大作用，輸入噪聲大，不宜使用；作用，輸入噪聲大，不宜使用； 輸出微分反饋對(duì)輸入的噪聲具有濾波作輸

27、出微分反饋對(duì)輸入的噪聲具有濾波作用用第第5 5章，對(duì)噪聲不敏感；章，對(duì)噪聲不敏感； 比例微分控制加在誤差后，能量一般較比例微分控制加在誤差后，能量一般較小，需要放大器放大倍數(shù)較大。小，需要放大器放大倍數(shù)較大。 輸出微分反饋輸入能量一般很高，對(duì)元輸出微分反饋輸入能量一般很高，對(duì)元件沒有特殊要求，適用范圍更廣；件沒有特殊要求，適用范圍更廣；（3）開環(huán)增益和自然振蕩角頻率的影響 比例微分控制對(duì)于開環(huán)增益和自然振蕩比例微分控制對(duì)于開環(huán)增益和自然振蕩角頻率都沒有影響；角頻率都沒有影響； 輸出微分反饋影響自然振蕩角頻率，但輸出微分反饋影響自然振蕩角頻率，但開環(huán)增益會(huì)明顯減小開環(huán)增益會(huì)明顯減小本章最后一節(jié)；

28、本章最后一節(jié)； 使用輸出微分反饋要求開環(huán)增益較大，使用輸出微分反饋要求開環(huán)增益較大，導(dǎo)致自然振蕩角頻率隨之增大，容易和導(dǎo)致自然振蕩角頻率隨之增大，容易和高頻噪聲產(chǎn)生共振；高頻噪聲產(chǎn)生共振；（4）對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響 比例微分控制在閉環(huán)系統(tǒng)中引入了零點(diǎn)，比例微分控制在閉環(huán)系統(tǒng)中引入了零點(diǎn)，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度；加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度； 相同阻尼比的情況下，比例微分控制引起相同阻尼比的情況下，比例微分控制引起的超調(diào)大于輸出微分反饋系統(tǒng)的超調(diào)。的超調(diào)大于輸出微分反饋系統(tǒng)的超調(diào)。4. 4. 零點(diǎn)對(duì)階躍響應(yīng)的影響零點(diǎn)對(duì)階躍響應(yīng)的影響 (1)零點(diǎn)對(duì)階躍響應(yīng)的影響零點(diǎn)對(duì)階躍響應(yīng)的影響 假設(shè)系統(tǒng)中增加一個(gè)閉環(huán)實(shí)零點(diǎn)

29、，即系統(tǒng)中增加了一個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié) 且閉環(huán)零點(diǎn)z位于復(fù)平面的左半平面， |)()(|)()(1zssCsCzzssCsC| zzs 上式拉普拉斯反變換 可見，增加一個(gè)閉環(huán)左實(shí)零點(diǎn)以后，系統(tǒng)階躍響應(yīng)增加了一項(xiàng)，該項(xiàng)的值與c(t)的變化率成正比，與該零點(diǎn)離虛軸的距離成反比。顯然，該零點(diǎn)的增加將使系統(tǒng)響應(yīng)過程加快，超調(diào)量增大，系統(tǒng)對(duì)輸入作用的反應(yīng)靈敏了。)(|1)()(|1)()(11tcdtdztcssCLztctc反之，如果增加的閉環(huán)零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，即 ，則這將使系統(tǒng)響應(yīng)過程變慢，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對(duì)輸入作用的反應(yīng)變滯呆了。 | zz )(|)(|)()(1sCzssCzzssCsC)(|1)

30、()()(111tcdtdztcsCLtc3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析特點(diǎn)：特點(diǎn)：1)1) 高階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)由簡單函數(shù)組成。高階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)由簡單函數(shù)組成。 2) 2) 如果閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 3)3) 時(shí)間響應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)和大小，形狀與閉環(huán)時(shí)間響應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)和大小，形狀與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。零點(diǎn)有關(guān)。 由于求高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。3.4.1 3.4.1 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()()

31、()()()(212111101110nmnnnnmmmmpspspszszszsKasasasabsbsbsbsRsCsrkkkkkkkkkkqiiirkkkkniimjjssCsBpsAsAsspsszsKsC1222101221121)()2()()()(當(dāng)輸入為階躍輸入時(shí)，R(s)=1/s,則輸出為工程上往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)。通常對(duì)于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個(gè)或兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在時(shí)間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)，他們?cè)跁r(shí)間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。1. 主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)分析方法：分析方法：1)1) 可

32、由系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)估算高階系統(tǒng)性能?？捎上到y(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)估算高階系統(tǒng)性能。 2)2) 忽略偶極子的影響。忽略偶極子的影響。 2. 偶極子偶極子 將一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。工程上，當(dāng)某極點(diǎn)和某零點(diǎn)之間的距離比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，就可認(rèn)為這對(duì)零極點(diǎn)為偶極子。 閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點(diǎn)數(shù)值上相近，則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消掉，稱之為偶極子相消。-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-j1.20(a)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖閉環(huán)極點(diǎn)分布圖 (b)單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 c(t) t)25.1)(15(510)25.1)(5(10)(22 sssssss 例例如如：)2 .15 .0

33、7)(2 .175.0(225 .12)(2jsjssss 一、穩(wěn)定性的基本概念一、穩(wěn)定性的基本概念(a)(b)ABA圖圖(a)(a)表示小球在一個(gè)凹面上，原來的平衡位置為表示小球在一個(gè)凹面上，原來的平衡位置為A A，當(dāng)小球受到外力作用后偏離當(dāng)小球受到外力作用后偏離A,A,例如到例如到B,B,當(dāng)外力去除后，當(dāng)外力去除后，小球經(jīng)過幾次振蕩后，最后可以回到平衡位置，所以，小球經(jīng)過幾次振蕩后，最后可以回到平衡位置，所以，這種小球位置是穩(wěn)定的；反之，如圖這種小球位置是穩(wěn)定的；反之，如圖 (b)(b)就是不穩(wěn)定就是不穩(wěn)定的。的。3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性

34、，對(duì)線性系統(tǒng)來說，它只穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，對(duì)線性系統(tǒng)來說，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。 反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有等幅震蕩或發(fā)散性質(zhì)。統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有等幅震蕩或發(fā)散性質(zhì)。 系統(tǒng)工作在平衡狀態(tài)系統(tǒng)工作在平衡狀態(tài),受到擾動(dòng)偏離了平衡狀態(tài)，受到擾動(dòng)偏離了平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失之后，系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)擾動(dòng)消失之后，系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是收斂的。定的，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是收斂的。二、穩(wěn)定的充要條件二、穩(wěn)

35、定的充要條件 若系統(tǒng)初始條件為零，對(duì)系統(tǒng)加上理想單位脈沖信若系統(tǒng)初始條件為零，對(duì)系統(tǒng)加上理想單位脈沖信號(hào)號(hào) ，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù) ， 就相當(dāng)于擾動(dòng)信號(hào)作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的就相當(dāng)于擾動(dòng)信號(hào)作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的情況。如果當(dāng)情況。如果當(dāng) 時(shí)，脈沖過渡函數(shù)時(shí)，脈沖過渡函數(shù) 收斂于收斂于系統(tǒng)原平衡工作點(diǎn)，即下式成立：系統(tǒng)原平衡工作點(diǎn)，即下式成立：( ) t( )g t( )g tt ( )g tlim( )0tg t則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。( )( ) ( )C sG s R s( )( )C sG s( )( )c t

36、g tlim ( )0tc t)()()()()(11101110sDsBasasasabsbsbsbsRsCsnnnnmmmm)(nm rjjjjjjjkiiijsjssscsDsBsRsDsBsC11)()()()()()()()(nrk 2(1)iiK設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù) k個(gè)實(shí)極點(diǎn)個(gè)實(shí)極點(diǎn) r對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)jjj由上式可以看出：要使由上式可以看出：要使 0lim ( )tc t 必須使特征方程的根滿足必須使特征方程的根滿足RepiRepi002)2) 赫爾維茨行列式全部為正赫爾維茨行列式全部為正, ,即即1.1.赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 勞

37、斯判據(jù)采用表格形式，即勞斯判據(jù)采用表格形式，即勞斯表勞斯表： 當(dāng)勞斯表中第一列的所有數(shù)都當(dāng)勞斯表中第一列的所有數(shù)都大于零大于零時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定；反之，；反之，如果第一列出現(xiàn)如果第一列出現(xiàn)小于零小于零的數(shù)時(shí)，系統(tǒng)就的數(shù)時(shí)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符。第一列各系數(shù)符號(hào)的改變號(hào)的改變次數(shù)次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的，代表特征方程的正實(shí)部根的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)。 2. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)(Routh stability criterion)na0, 0)(01110 aasasasasDnnnna5a3a1a4a2a0 ccaacc1343171334 ccaacc1333151324 ccaa

38、cc1323131314 aaaaac1706133 aaaaac1504123 aaaaac1302113 0ssss snnnn321 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 例例3.4 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)4s3s2s124231 520251 1234501s0s560651 615142 0解：解：列出勞斯表列出勞斯表第一列數(shù)據(jù)不同號(hào)，第一列數(shù)據(jù)不同號(hào)，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 3. 勞斯判據(jù)特殊情況的處理：勞斯判據(jù)特殊情況的處理： 1）某行的某行的第一列項(xiàng)為第一列項(xiàng)為0 0，而其余各項(xiàng)不為，而其余各項(xiàng)不

39、為0 0或不全為或不全為0 0。用因子。用因子（s+a）乘原特征方程（其乘原特征方程（其中中a為任意正數(shù)），或用很小的正數(shù)為任意正數(shù)），或用很小的正數(shù) 代替零元代替零元素，然后素，然后對(duì)新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。對(duì)新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。 2 2）當(dāng)勞斯表中）當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行出現(xiàn)全零行時(shí)，用上一行的時(shí)，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行。所得方程的系數(shù)代替全零行。 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例例3.5 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)試用勞斯穩(wěn)定判據(jù) 例

40、例3.6 設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用勞試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：列出勞斯表列出勞斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0) 2 s1 2-4/ s0 2 可見第一列元素的符號(hào)改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在可見第一列元素的符號(hào)改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)。右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)。解：解：列出勞斯表列出勞斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)的系數(shù) s3 0 0 0 A(s) =2s4+8

41、s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s ,586. 022y848.1414.3766.0586.04.32.1jjsjjs 此時(shí)第一列元素全為正，系統(tǒng)并非不穩(wěn)定；此時(shí)第一列元素全為正，系統(tǒng)并非不穩(wěn)定； 陣列出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的；陣列出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的； 綜合可見，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（存在有共軛純虛根）。綜合可見，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（存在有共軛純虛根）。 解輔助方程可得共軛純虛根：令解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表： s6

42、1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系數(shù)的系數(shù) s2 4 4 s1 8 s0 4 4、勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的缺點(diǎn)勞斯判據(jù)的缺點(diǎn)一是它不能指出如何使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定；一是它不能指出如何使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定； 二是它不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過程，即它不二是它不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過程，即它不能表明系統(tǒng)特征方程根相對(duì)于能表明系統(tǒng)特征方程根相對(duì)于s平面上距虛軸的距離。平面上距虛軸的距離。 例例3.7 3.7 檢驗(yàn)特征方程式檢驗(yàn)特征方程式320sss 210134是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線是否有根在右半平面，

43、并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線s = -s = -的的右邊。右邊。 (1) (1)特征方程式系數(shù)都為正實(shí)數(shù)特征方程式系數(shù)都為正實(shí)數(shù), ,滿足穩(wěn)定的必要條件滿足穩(wěn)定的必要條件(2)(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表3 2 13 s1 12.2 s0 4 s2 10 4 s第一列無符號(hào)改第一列無符號(hào)改變，故沒有根在變，故沒有根在S S平面右半平面。平面右半平面。解解令令s= z-1s= z-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得32(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 2即即32410zzz 2則新的勞斯陣列表則新的勞斯陣列表3 2 -1 z1 -0.5 z0 -1 z2 4 -1 z從表

44、中可看出，第從表中可看出，第一列符號(hào)改變一次，一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直線故有一個(gè)根在直線s= -1s= -1（即新座標(biāo)（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到此穩(wěn)定裕量不到1 1。2. 2. 分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k k的的范圍范圍圖圖3-83-81s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：特征方程為：特征方程為：(2)(2)列勞斯陣列表列勞

45、斯陣列表系數(shù)都為正實(shí)數(shù)系數(shù)都為正實(shí)數(shù)3 1 5 s2 6 k s130-k 6s0 k s3 1 5 s130-k 6s0 k s2 6 k s(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表0 0 K K 30, 0 0，30 - 30 - K K 0 0例：例：3.83.8某系統(tǒng)如下圖所示，其某系統(tǒng)如下圖所示，其K是待定參數(shù)，已知，是待定參數(shù)，已知， 試用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定使試用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定使 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K取值范圍，如果要求閉環(huán)系取值范圍，如果要求閉環(huán)系 統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于s=-1之左，問之左，問K值范圍應(yīng)取值范圍應(yīng)取 多大？多大？ 6 .86, 2 . 0n)2(2nns

46、ssK1+-R(s)C(s)解解. .首先寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：首先寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程式為：特征方程式為： 2132221()( )2nnnnsKssssK32221321( )2034.6750075000nnnD ssssKsssK即：勞勞 斯斯 表表s0s1s2s31750034.67500K107500K134.67500750034.6K令：令：134.675007500034.675000KK1034.6K 當(dāng)要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于當(dāng)要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1s=-1之左時(shí)，可令之左時(shí)，可令s=ss=s1 1-1-1，代，代入原特征方程，得到新特征方程：入原特征方程

47、，得到新特征方程：令第一列各元素為正，得到全部閉環(huán)極點(diǎn)位于令第一列各元素為正，得到全部閉環(huán)極點(diǎn)位于s=-1s=-1之左的之左的K1K1取值范圍：取值范圍： 321111(1)34.6(1)7500(1)75000sssK32111134.67433.8(75007466.4)0sssK勞勞 斯斯 表表s0s1s2s317433.831.67500K1-7466.407500K1-7466.4131.67433.8(75007466.4)31.6K1132.3K 穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差是指，差是指，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望

48、值與實(shí)際值之差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望值與實(shí)際值之差，即穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終，即穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值值 , , e(t)=希望值希望值實(shí)際值實(shí)際值3.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(steady state error)的定義的定義 tsstee)(limE(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)（1）從從輸入輸入端定義：輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差。端定義：輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差。 ( )( ) ( )( )( )( )R sH s C sE sR sB s 這種誤差的定義在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測量的，具有這種誤差的定義在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測量的，具有一定的物理意義。一定的物理意義。( )( )( )E

49、sCsCs希希實(shí)實(shí)（2）從從輸出輸出端定義：系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。端定義：系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。 這種定義誤差的方法在性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常應(yīng)用，但在這種定義誤差的方法在性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常應(yīng)用，但在實(shí)際系統(tǒng)中是不可測量的，因而只具有一定的數(shù)學(xué)意義。實(shí)際系統(tǒng)中是不可測量的，因而只具有一定的數(shù)學(xué)意義。)(/ )()(sHsEsE二者具有單位反饋時(shí)二者定義一致3.6.2 穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算)()(11)()()(sHsGsRsEse )()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssRssEteesstss 根據(jù)根據(jù)終值定理終值定理 誤差傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)為：為：1

50、1( ) ( )( )( )ee tLE sLsR s( )( )( )tssse tetet瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)1） , 符合終值定理應(yīng)用條件。符合終值定理應(yīng)用條件。3） , ,不符合終值定理應(yīng)用條件。不符合終值定理應(yīng)用條件。2） , 符合終值定理應(yīng)用條件。符合終值定理應(yīng)用條件。為為 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sint，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解：誤差傳遞函數(shù)為誤差傳遞函數(shù)為TsTssHsGsRsEse 1)()(11)()()()1()(,1)(2TssTsEssR TT

51、sTssEessss 1lim)(lim00)1()(,1)(23TssTsEssR )1(1lim)(lim00TssssEessss22221)(,)( sTsTssEssR例例3.9 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/Ts , 輸入信號(hào)分別輸入信號(hào)分別v本題說明：本題說明：1 1）使用終值定理要注意條件）使用終值定理要注意條件 2 2）穩(wěn)態(tài)誤差與輸入有關(guān)。）穩(wěn)態(tài)誤差與輸入有關(guān)。使用終值定理將得出錯(cuò)誤結(jié)論。使用終值定理將得出錯(cuò)誤結(jié)論。一、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素一、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素 一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式：一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式： njj

52、miinmsTssKsTsTsTssssKsHsG11221)1()1()1()1)(1()1()1)(1()()(1 sKsRssKsTsssRsTssHsGSsRsEsteessnjmjijnjjssstss010111000lim)(lim)1()1()()1(lim)()(1)(lim)(lim)(lim 穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)誤誤差差為為3.6.3 系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)(steady state error coefficient)q 顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點(diǎn)處開環(huán)極點(diǎn)的顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點(diǎn)處開環(huán)極點(diǎn)的階次階次 、開環(huán)開環(huán)增益增益K以及輸入信號(hào)的形式。以及輸

53、入信號(hào)的形式。 式中，式中，K為開環(huán)增益。為開環(huán)增益。 為開環(huán)系統(tǒng)在為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)平面坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)重?cái)?shù)，重?cái)?shù)， =0,1,2時(shí)，系統(tǒng)分別稱為時(shí)，系統(tǒng)分別稱為 0 型、型、型、型、型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。二、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)二、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)(position error coefficient)()(lim1)()(1lim)()(1)(lim)(lim0000sHsGRsHsGRsHsGssRsEsessssss sRsRtRtr)(),( 1)(稱稱為為位位置置誤誤差差系系數(shù)數(shù) )()(lim0sHsGKsppsskRe 1于是于是 n

54、jjmiisTssKsHsG11)1()1()()( 0,IIsspek型系統(tǒng)型系統(tǒng) 0,Isspek型系統(tǒng)型系統(tǒng) 1,0sspkRekk型系統(tǒng)型系統(tǒng)三、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)三、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)(velocity error coefficient)()(lim)()(lim)()(1)(lim)(lim0000sHssGRsHssGsRsHsGssRsEsessssss 2)(,)(sRsRRttr稱稱為為靜靜態(tài)態(tài)速速度度誤誤差差系系數(shù)數(shù) )()(lim0sHssGKsvvsskRe 于是于是 0,II,I,0,0ssvssvssvekkRekkek型型系

55、系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng) njjmiisTssKsHsG11)1()1()()(四、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)四、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù) (acceleration error coefficient)()(lim)()(lim)()(1)(lim)(lim2022000sHsGsRsHsGssRsHsGssRsEsessssss 32)(,21)(sRsRRttr數(shù)數(shù)稱稱為為靜靜態(tài)態(tài)加加速速度度誤誤差差系系 )()(lim20sHsGsKsaasskRe 于是于是 kRekkekekssassassa,II,0,I,0,0型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型

56、系統(tǒng) njjmiisTssKsHsG11)1()1()()(五、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號(hào)行式之間的關(guān)系五、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號(hào)行式之間的關(guān)系 減小或消除誤差的措施減小或消除誤差的措施：提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次 、增加、增加開環(huán)增益開環(huán)增益 K K。表表3-1 3-1 輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 例例3.9 系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入r(t)=( + t+ t2/2)1(t)，求求0 型、型、型、型、型型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)I,00,0,11kkkkkkkeavpss 解：解：利用疊加原理，可得

57、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：利用疊加原理，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：例例.3.10一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖12212223,21 ,( ),(1)0.251K KKKKG ssT sTs2 21 1(1)(1)當(dāng)當(dāng)輸輸入量r(t) = 1+ t +t入量r(t) = 1+ t +t 時(shí)時(shí)，系，系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)誤誤差.差.2 2(2)(2)系系統(tǒng)統(tǒng)的的單單位位階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)的的表表達(dá)達(dá)式式。+ + +- -s)(CsK3K1)(sG1(s)RE(s)解解.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：122322124(0.5)(1)42K KsK Kss T sK Kss等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)為

58、：等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)為：( )G s ( )1( )ss22(21)ss故系統(tǒng)為故系統(tǒng)為2型系統(tǒng)，且型系統(tǒng)，且,2pvaKKKK 21( )12r ttt 當(dāng)輸入量時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:10.5aKsse1111sspvaeKKK,pvaKKK 與型次與型次v有關(guān)，而有關(guān)，而v又與開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)數(shù)又與開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)數(shù)有關(guān)。有關(guān)。)(1)()()(11113sGKsGKsKs24(0.5)10.2081.207( )(42)0.5863.414sC ss sssss所以：系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：(2)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的表達(dá)式。1( )R ss0.5883.414( )10.2081.2

59、07tth tee 24(0.5)( )42ssss3.6.4 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法適用于研究輸入信號(hào)為任意時(shí)間函數(shù)時(shí)的系動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法適用于研究輸入信號(hào)為任意時(shí)間函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。 332210)()()(sCsCsCCSRsEse因此因此)()()()()(2210sRsCsCCsRssEe 則則 )()()()(210trCtrCtrCtess故故其中其中 C0，C1，C2，為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。 32)0(! 31)0(! 21)0()0()()()(sssSRsEseeeee)()0(! 31)0(! 21)0()0()()()(32

60、sRssssRssEeeeee ),0(! 21),0(),0(210eeeCCC令令設(shè)誤差傳遞函數(shù)在設(shè)誤差傳遞函數(shù)在s s鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)為：鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)為：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得：nnmmsasasasbsbsbsKsHsG22122111)()(令：令： )1 ()()1 ()(2210221nnmmsasasassNsbsbsbKsM則誤差傳遞函數(shù)為：則誤差傳遞函數(shù)為： 33221000)()()()()(11)(sCsCsCCsMsNsNsHsGse 將系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式排列成將系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式排列成S的升的升冪多項(xiàng)式