柔性倒立擺的自適應(yīng)模糊控制

1、摘 要摘 要倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)高階、非線性、強(qiáng)耦合的絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種控制理論與方法的有效工具。研究倒立擺的精確控制對(duì)工業(yè)生產(chǎn)中復(fù)雜對(duì)象的控制有著重要的價(jià)值，因此倒立擺仿真或?qū)嵨锟刂茖?shí)驗(yàn)是控制領(lǐng)域中用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案。本文以直線一級(jí)柔性倒立擺為研究對(duì)象，首先基于拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其性能進(jìn)行分析。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)單級(jí)柔性倒立擺非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，本文采用Sugeno模糊模型將其處理成多個(gè)局部線性模型的模糊逼近，并進(jìn)行了模糊自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)。通過Simulink對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)控制效果的分析，結(jié)果表明：此模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)單級(jí)柔性倒立擺的穩(wěn)定控制，

2、并且具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性和快速性等優(yōu)點(diǎn)。本文的研究結(jié)論對(duì)于其它非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制供了參考途徑。關(guān)鍵詞：柔性倒立擺 自適應(yīng)模糊控制 Sugeno模型 Simulink仿真 拉格朗日方程ABSTRACT ABSTRACTThe Inverted pendulum system is a higher-order, nonlinear, strongly coupled and absolutely instable system. It is an effective tool for validating control theories and methods. Research on p

3、recise control of the inverted pendulum has great value for control problems of complicated plant in industrial process, as a result, the inverted pendulum simulation and physical experiments are representative project for verifying a certain control theory or approach in the fields of control scien

4、ce and technology. The paper takes the linear 1-stage flexible-joint inverted pendulum as a research object. At first, it establishes the model of the inverted pendulum system based on the Lagrange equation and analyzes its performance. A fuzzy controller is established to carry out the stabilizing

5、control for non-linear unsteady system of single flexible invert pendulum and the adaptive fuzzy controller is designed to certificate meantime, which based on the Sugeno fuzzy control model. Simulation and analysis are carried out to investigate the system control effects by means of Simulink model

6、. The results showed it had realized the stabilizing control successfully and simple construction, stability and fast-speed behavior advantaged characters. Further more, the result supplies an effective reference ways to control other non-linear unstable systems.Keyword: flexible-joint inverted pend

7、ulum Adaptive fuzzy control Sugeno fuzzy control model Simulink Simulation Lagrange equation目錄 目 錄第一章 緒論11.1研究背景和意義11.2倒立擺控制在國內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)21.2.1 倒立擺的特性31.2.2倒立擺的控制方法41.3 本文主要做的工作6第二章 柔性倒立擺的建模72.1 引言72.2柔性倒立擺的簡(jiǎn)單描述72.3單級(jí)柔性倒立擺的建模72.3.1系統(tǒng)線性化及狀態(tài)空間模型102.3.2系統(tǒng)的一些物理參數(shù)112.3.4系統(tǒng)可控性分析132.4小結(jié)15第三章 自適應(yīng)模糊控制器173.1 模糊控制理

8、論173.2 自適應(yīng)模糊控制器的工作原理183.3 Sugeno模型推理193.4 Sugeno模型設(shè)計(jì)流程203.4.1 模糊推理系統(tǒng)編輯器（Fuzzy）203.4.2 隸屬度函數(shù)編輯器(Mfedit)213.4.3用命令行函數(shù)實(shí)現(xiàn)模糊邏輯系統(tǒng)223.5 小結(jié)23第四章 柔性倒立擺的自適應(yīng)模糊控制254.1引言254.2 自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)254.2.1 輸入輸出變量的確定254.2.2 模糊規(guī)則庫274.2.3參數(shù)確定284.3控制模型仿真284.3.1仿真結(jié)果294.4本章小結(jié)34第五章結(jié)論與展望35致謝37參考文獻(xiàn)39附錄一:MATLAB程序41附錄二：規(guī)則庫41 第一章 緒論 7

9、 第一章 緒論1.1研究背景和意義倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、復(fù)雜、非線性的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在控制過程中能有效地反映控制科學(xué)中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動(dòng)問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置形象直觀、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變并且成本低廉。倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度，小車位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量。當(dāng)新的控制理論或方法出現(xiàn)后，可以用倒立擺對(duì)其有效性和實(shí)用性加以物理驗(yàn)證。并對(duì)各種方法進(jìn)行快捷、有效、生動(dòng)的比較1。早在60年代人們就開始了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究。1966年Schaefer和Cannon 應(yīng)用BangBa

10、ng控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，他們正式提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定，非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國許多科學(xué)家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為具有挑戰(zhàn)性的課題之一。倒立擺的研究具有以下幾個(gè)方面的工程背景：(1) 機(jī)器人的站立與行走類似雙倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺(tái)機(jī)器人在美國問世至今已有三十年的歷史，機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù)機(jī)器人的行走控制至今仍未能很好解決。(2) 在火箭等飛行器的飛行過程中，為了保持其正確的姿態(tài) 要不斷進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。(3) 通信衛(wèi)星在預(yù)先計(jì)算好的軌道和確定的位置上運(yùn)行的同時(shí)，要保持其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向

11、地球，使它的太陽能電池板一直指向太陽。(4) 偵察衛(wèi)星中攝像機(jī)的輕微抖動(dòng)會(huì)對(duì)攝像的圖像質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響，為了提高攝像的質(zhì)量，必須能自動(dòng)地保持伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，消除震動(dòng)。(5) 為防止單級(jí)火箭在拐彎時(shí)斷裂而誕生的柔性火箭(多級(jí)火箭)，其飛行姿態(tài)的控制也可以用多級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究。由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人，火箭飛行控制和各類伺服云臺(tái)穩(wěn)定有很大相似性，因此對(duì)倒立擺控制機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義。倒立擺的種類很多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)可以分為以下幾類1：(1)直線倒立擺系列直線倒立擺是在直線運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，小車沿導(dǎo)軌水平的運(yùn)動(dòng)，在小車上裝不同的擺體組件，就能組成許多不同類型的倒立擺。(2

12、)環(huán)形倒立擺系列環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，運(yùn)動(dòng)模塊圍繞齒輪中心做圓周運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)手臂末端裝載擺體組件，根據(jù)擺體組件的級(jí)數(shù)和串聯(lián)或并聯(lián)的方式，就可以形成很多形式的倒立擺。(3)平面倒立擺系列平面倒立擺是在可做平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模塊的基礎(chǔ)上，增加擺體組件，組成能沿X軸和Y軸運(yùn)動(dòng)的倒立擺系列。而運(yùn)動(dòng)模塊具有多種模式，可以是XY運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、串聯(lián)的兩自由度SCARA機(jī)械臂以及并聯(lián)機(jī)器人（五連桿機(jī)構(gòu)）。按倒立擺的級(jí)數(shù)來分：有一級(jí)倒立擺、兩級(jí)倒立擺、三級(jí)倒立擺和四級(jí)倒立擺。倒立擺的級(jí)數(shù)越高，其控制難度越大。目前，可以實(shí)現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級(jí)倒立擺?，F(xiàn)在由中國的北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的模糊系統(tǒng)

13、與模糊信息研究中心暨復(fù)雜系統(tǒng)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制成功地實(shí)現(xiàn)了對(duì)四級(jí)倒立擺的控制。1.2倒立擺控制在國內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)對(duì)倒立擺的研究和自動(dòng)控制理論的發(fā)展是息息相關(guān)的。隨著控制理論的發(fā)展，作為自動(dòng)控制原理應(yīng)用的典型被控對(duì)象，倒立擺的研究也得到了很大的發(fā)展。倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的非線性高階系統(tǒng)。對(duì)倒立擺的研究，國外從六十年代開始，國內(nèi)起始于八十年代。在上世紀(jì)60年代后期，倒立擺的概念被提出，由于倒立擺系統(tǒng)所具有的特性，逐漸的被作為一個(gè)典型的被控對(duì)象并將其用于檢驗(yàn)各種先進(jìn)的控制方法上，受到世界各國許多科技工作者的青睞。1972年Sugeno和Losc

14、uto應(yīng)用極點(diǎn)配置并使用全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)了模擬控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。80年代后期，由于模糊控制的飛速發(fā)展，許多學(xué)者試著用模糊控制理論控制倒立擺，采用模糊控制方法已經(jīng)成功的控制住了一級(jí)倒立擺，通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以檢驗(yàn)?zāi)：刂评碚搶?duì)快速、絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的適應(yīng)能力。90年代初期，科學(xué)家實(shí)現(xiàn)了運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺系統(tǒng)。此后的十年內(nèi)，國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究更加深入，而且取得了很多實(shí)質(zhì)性的突破和進(jìn)展。國外在1993年己經(jīng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)三級(jí)倒立擺的仿真控制，美國、瑞士、日本等許多國家的學(xué)者都對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究，檢驗(yàn)了許多先進(jìn)的控制算法對(duì)處理多變量、非線性、強(qiáng)耦合的快速不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制

15、能力。在國內(nèi)，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究雖然起步比較晚，但是隨著用于倒立擺系統(tǒng)的控制理論和方法的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)很多大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)都對(duì)倒立擺進(jìn)行了大量卓有成效的研究工作。如今，我國的倒立擺研究在某些方面己經(jīng)走在了世界的前列。北京航空航天大學(xué)張明廉教授領(lǐng)導(dǎo)的課題組，于1994年8月提出了“擬人智能控制理論2”，并成功地實(shí)現(xiàn)了運(yùn)用單電機(jī)控制三級(jí)倒立擺的偉大成果；北京師范大學(xué)李洪興教授提出了變論域模糊控制算法3，也成功的控制住了三級(jí)倒立擺；2002年8月，李洪興教授應(yīng)用變論域自適應(yīng)模糊控制算法成功地實(shí)現(xiàn)了全球首例“四級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制”；自此之后，2003年4月李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的“復(fù)雜系統(tǒng)智能控制實(shí)驗(yàn)室”應(yīng)用

16、具有高維PID調(diào)節(jié)功能的變論域自適應(yīng)控制理論成功的實(shí)現(xiàn)了對(duì)平面運(yùn)動(dòng)二級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的穩(wěn)定控制4，并于2003年10月第一個(gè)成功的實(shí)現(xiàn)了平面三級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的控制；李德毅院士最早提出“隸屬云”理論，并運(yùn)用該方法成功的實(shí)現(xiàn)了三級(jí)倒立擺的智能控制。隨著倒立擺系統(tǒng)控制方法的不斷發(fā)展，倒立擺系統(tǒng)裝置的結(jié)構(gòu)也變得復(fù)雜化，在國內(nèi)，深圳固高公司教學(xué)部一直致力于倒立擺產(chǎn)品的開發(fā)，現(xiàn)己成功地開發(fā)了直線倒立擺，環(huán)形倒立擺和XY平臺(tái)平面倒立擺，國內(nèi)多所大學(xué)的教學(xué)科研等部門都選擇了固高公司的倒立擺控制裝置，并作為對(duì)各種控制算法可行性進(jìn)行檢驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)裝置，如許多大學(xué)的機(jī)電一體化、自動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)室等。1.2.1 倒立擺

17、的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性1:(1)非線性倒立擺是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實(shí)際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。也可以利用非線性控制理論對(duì)其進(jìn)行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。(2)不確定性主要是模型誤差以及機(jī)械傳動(dòng)間隙，各種阻力等，實(shí)際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動(dòng)誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。(3)耦合性倒立擺的各級(jí)擺桿之間，以及和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。(4)開環(huán)不穩(wěn)定

18、性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個(gè)，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對(duì)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。(5)約束限制由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動(dòng)模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小，行程限制對(duì)倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞墻現(xiàn)象。1.2.2倒立擺的控制方法對(duì)倒立擺這樣的一個(gè)典型被控對(duì)象進(jìn)行研究，無論在理論上和方法上都具有重要意義。不僅由于其級(jí)數(shù)增加而產(chǎn)生的控制難度是對(duì)人類控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實(shí)現(xiàn)其控制穩(wěn)定的過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的控制方法，探索新的控制理論。并進(jìn)而將新的控制方法應(yīng)用到更廣泛的受控對(duì)象中。各種

19、控制理論和方法都可以在這里得以充分實(shí)踐，并且可以促成相互間的有機(jī)結(jié)合。當(dāng)前，倒立擺的控制方法可分為以下幾類： (1) 線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法，得到期望的控制器。PID 控制，狀態(tài)反饋控制，LQR控制算法是其典型代表。這類方法對(duì)一，二級(jí)的倒立擺(線性化后誤差較小，模型較簡(jiǎn)單)控制時(shí)，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。但對(duì)于像非線性較強(qiáng)，模型較復(fù)雜的多變量系統(tǒng)(三，四級(jí)以及多級(jí)倒立擺)線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。(2) 預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制

20、方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量，非線性之間的矛盾，使人們意識(shí)到針對(duì)多變量，非線性對(duì)象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量，非線性系統(tǒng)的必由之路。人們先后開展了預(yù)測(cè)控制，變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制的研究。 預(yù)測(cè)控制是一種優(yōu)化控制方法，強(qiáng)調(diào)的實(shí)模型的功能而不是結(jié)構(gòu)。變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制，可將控制對(duì)象從任意位置控制到滑動(dòng)曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,但是系統(tǒng)存在顫抖。預(yù)測(cè)控制，變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復(fù)雜，成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。(3) 智能控制方法5 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，模糊控制，仿人智

21、能控制，擬人智能控制和云模型控制等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 模糊控制 經(jīng)典的模糊控制器利用模糊集合理論將專家知識(shí)或操作人員經(jīng)驗(yàn)形成的語言規(guī)則直接轉(zhuǎn)化為自動(dòng)控制策略(通常是專家模糊規(guī)則查詢標(biāo))，其設(shè)計(jì)不依靠對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，而是利用其語言知識(shí)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和修正控制算法。常規(guī)的模糊控制器的設(shè)計(jì)方法有很大的局限性，首先難以建立一組比較完善的多維模糊控制規(guī)則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙的模糊控制規(guī)則其控制效果也是難以保證的。但是模糊控制結(jié)合其他控制方法就可能產(chǎn)生比較理想的效果。擬人智能控制3 模糊控制,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制理論的問世，促進(jìn)了當(dāng)代自動(dòng)控制理論的發(fā)展。然而，基于這些智能控制理論所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)往

22、往需要龐大的知識(shí)庫和相應(yīng)的推理機(jī)，不利于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學(xué)者提出了一種新的理論 擬人控制理論。擬人智能控制的核心是“廣義歸約”和“擬人”?！皻w約”是人工智能中的一種問題求解方法。這種方法是將等求解的復(fù)雜問題分解成復(fù)雜程度較低的若干問題集合，再將這些集合分解成更簡(jiǎn)單的集合，依此類推，最終得到一個(gè)本原問題集合，即可以直接求解的問題，另一核心概念是“擬人”，其含義是在控制規(guī)律形成過程中直接利用人的控制經(jīng)驗(yàn)直覺以及推理分析。仿人智能控制 仿人智能控制的基本思想是通過對(duì)人運(yùn)動(dòng)控制的宏觀結(jié)構(gòu)和手動(dòng)控制行為的綜合模仿，把人在控制中的“動(dòng)覺智能”模型化，提出了仿人智能控制

23、方法。研究結(jié)果表明，仿人智能控制方法解決復(fù)雜，強(qiáng)非線性系統(tǒng)的控制具有很強(qiáng)的實(shí)用性。 云模型控制6 利用云模型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。這種擬人控制不要求給出被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型 僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗(yàn)，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。（4）魯棒控制方法7 雖然，目前對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對(duì)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制。但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，我們研究所對(duì)不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進(jìn)行了研究，取

24、得了一系列成果1.3 本文主要做的工作本文針對(duì)控制領(lǐng)域最具代表性的被控對(duì)象柔性倒立擺系統(tǒng)，首先基于拉格朗日方程方法推導(dǎo)出了柔性一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)模糊控制器，進(jìn)行控制、仿真。具體內(nèi)容為：1簡(jiǎn)要介紹了倒立擺的類型及特性，概述了國內(nèi)外研究狀況以及目前倒立擺的控制方法。2主要介紹了一級(jí)柔性倒立擺的的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，工作原理?；诶窭嗜辗匠谭椒ㄍ茖?dǎo)出了直線一級(jí)柔性倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其性能進(jìn)行了分析。3. 針對(duì)控制方法模糊控制進(jìn)行了詳細(xì)的說明，闡述了器原理和構(gòu)建方法，并就其優(yōu)勢(shì)做了初步的探討；對(duì)其中的Sugeno模型進(jìn)行了介紹，這也是本文將要采取的模型。 4. 針對(duì)一級(jí)柔性倒立擺

25、系統(tǒng)的線性化模型，在模糊控制的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了帶有小車位置參考輸入的平面倒立擺模糊控制器，不但能夠使柔性倒立擺的擺桿保持平衡，還能實(shí)現(xiàn)基座小車對(duì)位置參考輸入信號(hào)的跟蹤控制。5. 對(duì)論文進(jìn)行總結(jié)和展 第二章 柔性倒立擺的建模 17第二章 柔性倒立擺的建模2.1 引言建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有兩種基本方法。其一，對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，合在一起便成為描述整個(gè)系統(tǒng)的方程。其二，人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。主要用于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)機(jī)理復(fù)雜因而不便分析或不可能分析的情況。系統(tǒng)的建模原則： 1、建模之前，要全

26、面了解系統(tǒng)的自然特征和運(yùn)動(dòng)機(jī)理，明確研究目的和準(zhǔn)確性要求，選擇合適的分析方法。 2、按照所選分析法，確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的形式； 3、根據(jù)允許的誤差范圍，進(jìn)行準(zhǔn)確性考慮，然后建立盡量簡(jiǎn)化的合理的數(shù)學(xué)模型。 倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測(cè)量頻率特性方法獲取其數(shù)學(xué)模型。故適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推倒。 2.2柔性倒立擺的簡(jiǎn)單描述 小車倒立擺的模型是各種控制理論研究的對(duì)象，由于倒立擺本身具有高階次、不穩(wěn)定、非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，對(duì)它的研究具有相當(dāng)高的價(jià)值。倒立擺模型是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)模型。常見的柔性倒立擺模型是在驅(qū)動(dòng)部分之間加了柔性彈簧部件，可以組成一級(jí)至多級(jí)的柔性倒立擺模型。本文

27、所建立的模型是在原有的小車倒立擺模型上，把直桿換成了柔性桿，它是另一種類型的非線性，更加復(fù)雜且難以控制的自不穩(wěn)定倒立擺系列2.3單級(jí)柔性倒立擺的建模 為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析，在實(shí)際的模型建立的過程中，可忽略擺與載體，載體與外界的摩擦，即忽略擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦力等，以及將載體和小車看成勻質(zhì)剛體。 如下圖2.1所示L、E、ArFcx 圖2.1 直線一級(jí)柔性倒立擺的模型 圖2.1中是施加于小車的水平方向的作用力，x是小車的位移，是擺的傾斜角。為彈性模態(tài)。若不給小車施加控制力，倒擺會(huì)向左或向右傾斜，控制的目的是當(dāng)?shù)箶[出現(xiàn)偏角時(shí)，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運(yùn)動(dòng)，使倒擺保持在垂直

28、的位置。即控制系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，以保持?jǐn)[的倒立穩(wěn)定。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒纳厦?，它將隨時(shí)可能向任何方向傾倒。這里只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2.1所示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 本系統(tǒng)內(nèi)部相關(guān)參數(shù)定義如下： m：小車的質(zhì)量 r：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 ：擺桿的密度 A：擺桿的橫桿面積 E：彈性模量 ： 擺桿與垂直向上方向的夾角 ：是施加于小車的水平方向的作用力 X：小車在水平方向的位移 ：為彈性模態(tài)采用拉格朗日方程建模： （式2-1） 其中L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的分力。變量選擇如下： 其中代表彈性坐標(biāo)。 對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)來說，一般變量的

29、自由度是無限的。為了簡(jiǎn)化模型控制設(shè)計(jì)的步驟，我們首先介紹柔性擺的模態(tài)坐標(biāo)，它可以很容易的從有限元分析軟件得來。由于高階模型對(duì)系統(tǒng)的影響小，之后我們將選擇前n個(gè)模型來表述倒立擺模型的振動(dòng)。簡(jiǎn)化后，它的全部坐標(biāo)和倒立擺在i點(diǎn)的速度可以由如下方程得到： （式2-2） （式2-3）其中柔性桿的振型函數(shù)的第j階模態(tài)。由于擺的振動(dòng)主要垂直于于它的坐標(biāo)，我們可以假設(shè)擺的彈性位移也是垂直于它的坐標(biāo)軸的，那么拉格朗日算子L可以由如下等式描述（一般情況下，沒有假設(shè)同樣可以推出的，只是比較復(fù)雜一點(diǎn)）L（q，）=T（q，） 其中T（q，）為系統(tǒng)的動(dòng)能，V（q，）代表系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能為：所以有： （式2-

30、4）其中y代表垂直高度，代表柔性擺的剛度矩陣，它可以從有限元得分析得到。把定義的普通變量帶入朗格朗日方稱，我們可以得到柔性倒立擺的控制方程： （式2-5） （式2-6） （式2-7） 其中： 其中到定義了柔性體的6個(gè)常數(shù)，表示倒立擺在連接點(diǎn)的振型函數(shù)。（5）（6）（7）三個(gè)等式提供了一般柔性倒立擺的數(shù)學(xué)模型2.3.1系統(tǒng)線性化及狀態(tài)空間模型為了分析柔性倒立擺模型的穩(wěn)定性，我們將要從控制方程得出它的線性化方程。通過倒立擺在平衡點(diǎn)的線性化，我們將得到系統(tǒng)的線性化方程，如下:+-=0 （式2-8）為了觀察倒立擺的狀態(tài)，傳感器及滑塊應(yīng)該設(shè)置在倒立擺的頂端，因此可以觀察擺的方向以及它的振動(dòng)。定義系統(tǒng)的狀

31、態(tài)變量為X，輸出變量為Y，輸入變量為u，則有如下形式： 則它的線性狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式如下： Y=CX （式2-9）其中： ， ， ， 其中代表振型函數(shù)在倒立擺頂端的梯度。對(duì)于這樣一個(gè)系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)的書里，介紹了很多方法來設(shè)計(jì)合適的控制器。如果它的參數(shù)是有效的，那么很容易設(shè)計(jì)它的反饋控制器。2.3.2系統(tǒng)的一些物理參數(shù)求得如下：重力加速度 g = 9.8N/KG;擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 L = -10.275; 小車的質(zhì)量 M=1剛度 Kf = 100.23求得其他參數(shù)如下：I0 = 0.12;I1 = -7.23;I2 = 0.25;I3 = 2.13;I4 = 0.33;I5 = 0.

32、41;N1 = 0.858;No = 9;2.3.3 系統(tǒng)實(shí)際模型我們令： 利用matlab求得： 那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 ：2.3.4系統(tǒng)可控性分析1 相關(guān)定理 在得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，為了進(jìn)一步的了解系統(tǒng)的性質(zhì)，需要對(duì)其特性進(jìn)行分析，其中最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性。本節(jié)將要用到的相關(guān)定理如下定理1 （穩(wěn)定性判據(jù)） Lyapunov第一法判定定理：對(duì)于線性定常系統(tǒng)有1) 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在Lyapunov意義下穩(wěn)定的充分必要條件是：A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根；2) 系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是：

33、A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。 定理2 （能控性判據(jù)） n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能控性矩陣: (式2-10)滿秩，即rank(M)=n。定理3（能觀性判據(jù)）n階線性定常連續(xù)系統(tǒng) (式2-11)狀態(tài)完全能觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能觀性矩陣： (式2-12)滿秩，即rank(V)=n。 定理4（相對(duì)能控性判據(jù)）相對(duì)能控性是衡量系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的難度，或者說是衡量系統(tǒng)本身能控性的相對(duì)程度。它可以通過能控性矩陣的條件數(shù)來定量描述。按照條件數(shù)的定義，以和分別表示能控性矩陣的最大和最小奇異值，則能控性矩陣的條件數(shù)，值越大表明系統(tǒng)越難控制。由于平面一、二級(jí)倒立擺在X、Y兩個(gè)方向的狀態(tài)空間方程完全

34、相同，所以這里僅以X方向?yàn)槔龑?duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析。在下面的描述中，為了簡(jiǎn)潔起見，略去各變量象征X方向的下標(biāo)x，將記為X，依此類推。input,加入新的輸入input,需要幾個(gè)添加幾個(gè)。選擇input(選中為紅框),在界面右邊文字輸入處鍵入相應(yīng)的輸入名稱，例如,溫度輸入用 tmp-input, 磁能輸入用 mag-input，等。 圖3.1 Sugeno模型界面3.4.2 隸屬度函數(shù)編輯器(Mfedit) 該編輯器提供一個(gè)友好的人機(jī)圖形交互環(huán)境，用來設(shè)計(jì)和修改模糊推理系中各語言變量對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，如隸屬度函數(shù)的形狀、范圍、論域大小等，系統(tǒng)提供的隸屬度函數(shù)有三角、梯形、高斯形、鐘形等，也

35、可用戶自行定義。雙擊所選input，彈出一新界面，在左下Range處和Display Range處,填入取只范圍，例如 0至9 （代表0至90）；在右邊文字文字輸入Name處，填寫隸屬函數(shù)的名稱，例如lt或LT(代表低溫)；在Type處選擇trimf(意為：三角形隸屬函數(shù)曲線，triangle member function),當(dāng)然也可選其它形狀；在Params(參數(shù))處，選擇三角形涵蓋的區(qū)間，填寫三個(gè)值，分別為三角形底邊的左端點(diǎn)、中點(diǎn)和右端點(diǎn)在橫坐標(biāo)上的值。類似的可設(shè)計(jì)輸出項(xiàng)，這些值由設(shè)計(jì)者確定。參照如下圖： 圖3.2輸入輸出參數(shù)設(shè)定3.4.3用命令行函數(shù)實(shí)現(xiàn)模糊邏輯系統(tǒng) 通過隸屬度函數(shù)編輯

36、器來設(shè)計(jì)和修改“IF.THEN”形式的模糊控制規(guī)則。由該編輯器進(jìn)行模糊控制規(guī)則的設(shè)計(jì)非常方便，它將輸入量各語言變量自動(dòng)匹配，而設(shè)計(jì)者只要通過交互式的圖形環(huán)境選擇相應(yīng)的輸出語言變量，這大大簡(jiǎn)化了規(guī)則的設(shè)計(jì)和修改。另外，還可為每條規(guī)則選擇權(quán)重，以便進(jìn)行模糊規(guī)則的優(yōu)化。在上面的界面中，選Edit菜單，選擇Rules, 彈出一新界面Rule Editor. 在底部的選擇框內(nèi)，選擇相應(yīng)的 IFANDTHEN 規(guī)則，點(diǎn)擊Add rule 鍵，上部框內(nèi)將顯示相應(yīng)的規(guī)則。如下圖所示： 圖3.3 規(guī)則設(shè)定 建好之后在view菜單中選擇surface項(xiàng)，就可看到所見模糊控制器的效果圖： 圖3.4 控制器效果圖3.

37、5 小結(jié)本文所要用到的模糊控制器是以Sugeno模糊系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)的，其前件是語言變量，后件不是簡(jiǎn)單的模糊語言值，而是輸入量的線性組合，為解決工業(yè)控制中的非線性問題提供了新途徑，對(duì)許多工業(yè)控制過程中的非線性系統(tǒng)建模、控制有實(shí)用價(jià)值。 Sugeno模糊系統(tǒng)模型且具有一下的特點(diǎn)：（1） 具有較高的計(jì)算效率，利于數(shù)學(xué)分析的優(yōu)點(diǎn)，適用于實(shí)時(shí)性要求高的系統(tǒng)；（2）能與線性系統(tǒng)、優(yōu)化控制和自適應(yīng)控制系統(tǒng)很好地結(jié)合；（3） 能保證控制器輸出的平滑性；（4） 比較適合于具有精確數(shù)學(xué)分析的控制系統(tǒng),特別是多線性模型的平滑切換。（5）是基于樣本的模糊建模中最常選用的方法 第四章 柔性倒立擺的自適應(yīng)模糊控制 35

38、第四章 柔性倒立擺的自適應(yīng)模糊控制 4.1引言本文利用模糊控制理論中的Sugeno模糊模型將其處理成多個(gè)局部線性模型的模糊逼近，并進(jìn)行了自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)。通過Simulink對(duì)柔性倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了建模仿真和對(duì)系統(tǒng)控制效果的分析。 4.2 自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)由于在第二章當(dāng)中，我們已經(jīng)建立好了柔性倒立擺的數(shù)學(xué)模型，接下來我們做其自適應(yīng)控制器。自適應(yīng)控制器應(yīng)當(dāng)是這樣一種控制器，它能修正自己的特性以適應(yīng)對(duì)象和擾動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的變化。由于柔性倒立擺是一個(gè)不確定系統(tǒng)，通過對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)的測(cè)試，不斷的調(diào)整，以接近最有控制的效果4.2.1 輸入輸出變量的確定在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，建立仿真模型，定義gaussm

39、f隸屬函數(shù)，輸出變量取linear。取與(and)的方法為直積(prod)法，或(or)的方法為最大(probor)，推理(implication)方法為直積乘法，合成(aggregation)方法為最大(max)，反模糊化(difuzzification)采用重心加權(quán)平均法(wtaver)。其中操作算子、聚集方法是系統(tǒng)自動(dòng)設(shè)定不能編輯的。小車的位移x，速度，以擺角，擺角角速度，彈性坐標(biāo)，彈性速度為狀態(tài)變量。將這些狀態(tài)變量作為輸入量，以作用力作為模糊控制器的輸出量。確定小車的位移x的論域-3 3,劃為兩個(gè)變量“big”, “small”,隸屬度函數(shù)為圖4.1；速度的論域-0.3 0.3,劃分為

40、兩個(gè)變量“fast”,”slow”,隸屬度函數(shù)為圖4.2；擺角的論域-0.4 0.4，將其劃分為三個(gè)語言變量“far”， “near”隸屬度函數(shù)為圖4.3；擺角速度的論域-0.5 0.5,劃分為“fast”， “slow”，隸屬度函數(shù)為圖4.4; 彈性坐標(biāo)的論域?yàn)?2，2，劃分為兩個(gè)語言變量，“big”，“small”，隸屬度函數(shù)為圖4.5；彈性速度的論域?yàn)?0.3 0.3，劃分為兩個(gè)語言變量“fast”，“slow”，隸屬度函數(shù)為圖4.6;輸出論域0 1圖4.1 小車位移隸屬度函數(shù) 圖4.2 小車速度隸屬度函數(shù) 圖4.3 柔性倒立擺擺角隸屬度函數(shù) 圖4.4 柔性倒立擺擺角角速度隸屬度函數(shù) 圖4.5彈性坐標(biāo)隸屬度函數(shù) 圖4.6 彈性速度隸屬度函數(shù)4.2.2 模糊規(guī)則庫模糊控制規(guī)則用64條語句來表述，在MATL