二次型及其矩陣表示

1、第五章 二次型1 二次型及其矩陣表示教學(xué)目的：了解二次型的有關(guān)概念，理解矩陣的合同關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：二次型的有關(guān)概念.教學(xué)難點(diǎn)：理解矩陣的合同關(guān)系.教學(xué)內(nèi)容：一、二次型及其矩陣表示設(shè)是一個(gè)數(shù)域,一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，簡稱二次型.定義1 設(shè)是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式 (2)稱為由到的一個(gè)線性替換，或簡稱線性替換.如果系數(shù)行列式,那么線性替換(2)就稱為非退化的.線性替換把二次型變成二次型.令由于所以二次型(1)可寫成把(3)的系數(shù)排成一個(gè)矩陣 (4)它稱為二次型(3)的矩陣.因?yàn)樗园堰@樣的矩陣稱為對稱矩陣，因此，二次型的矩陣都是對稱的.令或應(yīng)該看

2、到二次型(1)的矩陣A的元素,當(dāng)時(shí)正是它的項(xiàng)的系數(shù)的一半,而是項(xiàng)的系數(shù)，因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的.由此可得,若二次型且,則.令,于是線性替換（4）可以寫成或者.經(jīng)過一個(gè)非退化的線性替換，二次型還是變成二次型，替換后的二次型與原來的二次型之間有什么關(guān)系，即找出替換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系.設(shè) (7)是一個(gè)二次型，作非退化線性替換 (8)得到一個(gè)的二次型，二、矩陣的合同關(guān)系現(xiàn)在來看矩陣與的關(guān)系.把（8）代入（7），有易看出，矩陣也是對稱的，由此即得.這是前后兩個(gè)二次型的矩陣的關(guān)系。定義2 數(shù)域P上兩個(gè)階矩陣，稱為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的矩陣,使得.合同是矩陣之間的

3、一個(gè)關(guān)系，具有以下性質(zhì):1) 自反性:任意矩陣都與自身合同.2) 對稱性:如果與合同,那么與合同.3) 傳遞性:如果與合同,與合同,那么與合同.因此，經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原來二次型的矩陣是合同的。這樣把二次型的變換通過矩陣表示出來，為以下的討論提供了有力的工具。最后指出，在變換二次型時(shí)，總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看，這一點(diǎn)是自然的因?yàn)樽鴺?biāo)變換一定是非退化的。一般地，當(dāng)線性替換是非退化時(shí)，由上面的關(guān)系即得.這也是一個(gè)線性替換，它把所得的二次型還原.這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可以推知原來二次型的一些性質(zhì).2 標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)目的：了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)

4、準(zhǔn)形的方法.教學(xué)重點(diǎn)：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ɑ涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)形.教學(xué)內(nèi)容：一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二次型中最簡單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型. （1）定理1 數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非化線性替換變成平方和（1）的形式.易知，二次型（1）的矩陣是對角矩陣，反過來，矩陣為對角形的二次型就只包含平方項(xiàng).按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此用矩陣的語言，定理1可以敘述為：定理2 在數(shù)域上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定理2也就是說，對于任意一個(gè)對稱矩陣都可以找到一個(gè)可逆矩陣使成對角矩陣.二次型經(jīng)過非退化線性替換所變成的平方和稱為的標(biāo)準(zhǔn)形.

5、例 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.二、配方法1.這時(shí)的變量替換為令,則上述變量替換相應(yīng)于合同變換為計(jì)算，可令.于是和可寫成分塊矩陣,這里為的轉(zhuǎn)置，為級單位矩陣.這樣矩陣是一個(gè)對稱矩陣，由歸納法假定，有可逆矩陣使為對角形，令,于是,這是一個(gè)對角矩陣，我們所要的可逆矩陣就是.2. 但只有一個(gè).這時(shí)，只要把的第一行與第行互換，再把第一列與第列互換，就歸結(jié)成上面的情形，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系，取行顯然.矩陣就是把的第一行與第行互換，再把第一列與第列互換.因此，左上角第一個(gè)元素就是，這樣就歸結(jié)到第一種情形.3. 但有一與上一情形類似，作合同變換可以把搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情形.與

6、那里的變量替換相對應(yīng)，取,于是的左上角就是,也就歸結(jié)到第一種情形.4. 由對稱性，也全為零.于是,是級對稱矩陣.由歸納法假定，有可逆矩陣使成對角形.取，就成對角形.例 化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.3 唯一性教學(xué)目的：理解實(shí)系數(shù)和復(fù)系數(shù)二次型的規(guī)范性，會把二次型化為它的規(guī)范性.教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)系數(shù)和復(fù)系數(shù)二次型的規(guī)范性.教學(xué)難點(diǎn)：會把二次型化為它的規(guī)范性.教學(xué)內(nèi)容：經(jīng)過非退化線性替換，二次型的矩陣變成一個(gè)與之合同的矩陣.由第四章4定理4，合同的矩陣有相同的秩，這就是說，經(jīng)過非退化線性替換后，二次型矩陣的秩是不變的.標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角矩陣，而對角矩陣的秩就等于它對角線上不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù).因之，在一個(gè)二次型的

7、標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化線性替換無關(guān)，二次型矩陣的秩有時(shí)就稱為二次型的秩.至于標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)，就不是唯一確定的.在一般數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，而與所作的非退化線性替換有關(guān).下面只就復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域的情形來進(jìn)一步討論唯一性的問題.設(shè)是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，由本章定理1，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換后，變成標(biāo)準(zhǔn)形，不妨假定化的標(biāo)準(zhǔn)形是. (1)易知就是的矩陣的秩.因?yàn)閺?fù)數(shù)總可以開平方，再作一非退化線性替換 (2)(1)就變成 (3)(3)就稱為復(fù)二次型的規(guī)范形.顯然，規(guī)范形完全被原二次型矩陣的秩所決定，因此有定理3 任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶?/p>

8、線性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.定理3 換個(gè)說法就是，任一復(fù)數(shù)的對稱矩陣合同于一個(gè)形式為的對角矩陣.從而有兩個(gè)復(fù)數(shù)對稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相等.設(shè)是一實(shí)系數(shù)的二次型.由本章定理1，經(jīng)過某一個(gè)非退化線性替換，再適當(dāng)排列文字的次序，可使變成標(biāo)準(zhǔn)形 (4)其中是的矩陣的秩.因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中，正實(shí)數(shù)總可以開平方，所以再作一非退化線性替換 (5)(4) 就變成 (6)(6)就稱為實(shí)二次型的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被這兩個(gè)數(shù)所決定.定理4 任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.這個(gè)定理通常稱為慣性定理.定義3 在實(shí)二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)

9、數(shù)稱為的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)；它們的差稱為的符號差.應(yīng)該指出，雖然實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是一致的，因此，慣性定理也可以敘述為：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一的，它等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).定理5 （1）任一復(fù)對稱矩陣都合同于一個(gè)下述形式的對角矩陣：.其中對角線上1 的個(gè)數(shù)等于的秩.（2）任一實(shí)對稱矩陣都合同于一個(gè)下述形式的對角矩陣：, 其中對角線上1的個(gè)數(shù)及-1的個(gè)數(shù)（等于的秩）都是唯一確定的，分別稱為的正、負(fù)慣性指數(shù)，它們的差稱

10、為的符號差.4 正定二次型教學(xué)目的：理解正定二次型及正定矩陣的概念，掌握正定矩陣的性質(zhì)，會判定矩陣的正定性.教學(xué)重點(diǎn)：正定矩陣的定義及其性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用正定矩陣的定義及其性質(zhì)靈活解題.教學(xué)內(nèi)容：一、正定二次型定義4 實(shí)二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有.實(shí)二次型是正定的當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)實(shí)二次型 (1)是正定的，經(jīng)過非退化實(shí)線性替換 (2)變成二次型 (3)則的二次型也是正定的，或者說，對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有.因?yàn)槎涡停?）也可以經(jīng)非退化實(shí)線性替換變到二次型（1），所以按同樣理由，當(dāng)（3）正定時(shí)（1）也正定.這就是說，非退化實(shí)線性替換保持正定性不變.二、正定二次型的判

11、別定理6 實(shí)數(shù)域上二次型是正定的它的正慣性指數(shù)等于.定理6說明，正定二次型的規(guī)范形為 (5)定義5 實(shí)對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型正定.因?yàn)槎涡停?）的矩陣是單位矩陣E，所以一個(gè)實(shí)對稱矩陣是正定的它與單位矩陣合同.推論 正定矩陣的行列式大于零.定義6 子式稱為矩陣的順序主子式.定理7 實(shí)二次型是正定的矩陣的順序主子式全大于零.例 判定二次型是否正定.定義7 設(shè)是一實(shí)二次型，如果對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有,那么稱為負(fù)定的；如果都有，那么稱為半正定的；如果都有，那么稱為半負(fù)定的；如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么就稱為不定的.由定理7不難看出負(fù)定二次型的判別條件.這是因?yàn)楫?dāng)是負(fù)定時(shí)，就

12、是正定的.定理8 對于實(shí)二次型，其中是實(shí)對稱的，下列條件等價(jià)：（1）是半正定的；（2）它的正慣性指數(shù)與秩相等；（3）有可逆實(shí)矩陣，使其中；（4）有實(shí)矩陣使.（5）的所有主子式皆大于或等于零；注意，在（5）中，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的.比如就是一個(gè)反例.證明 Th8, 設(shè)的主子式全大于或等于零，是的級順序主子式，是對應(yīng)的矩陣其中是中一切級主子式之和，由題設(shè)，故當(dāng)時(shí)，是正定矩陣.若不是半正定矩陣，則存在一個(gè)非零向量，使令 與時(shí)是正定矩陣矛盾，故是半正定矩陣.Th8 記的行指標(biāo)和列指標(biāo)為的級主子式為，對應(yīng)矩陣是，對任意，有,其中又是半正定矩陣,從而 .若，則P234,12T，存

13、在使與矛盾，所以.設(shè)為級實(shí)矩陣，且，則都是正定矩陣.設(shè)為實(shí)矩陣，則都是半正定矩陣.證明 是實(shí)對稱矩陣，令，則是維實(shí)向量是半正定矩陣，同理可證是半正定矩陣.設(shè)是級正定矩陣，則時(shí)，都是正定矩陣.證明 由于正定，存在可逆矩陣，使,從而為正定矩陣.正定又正定， ,正定,正定.對稱當(dāng)時(shí)，,從而正定.當(dāng)時(shí), 所以與合同，因而正定.第五章 二次型(小結(jié))一、二次型與矩陣1. 基本概念二次型;二次型的矩陣和秩;非退化線性替換;矩陣的合同.2. 基本結(jié)論(1) 非退化線性替換把二次型變?yōu)槎涡?(2) 二次型可經(jīng)非退化的線性替換化為二次型.(3) 矩陣的合同關(guān)系滿足反身性、對稱性和傳遞性.二、標(biāo)準(zhǔn)形1. 基本概念二次型的標(biāo)準(zhǔn)形;配方法. 2. 基本定理(1) 數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形式.(2) 在數(shù)域上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于一對角矩陣.三、唯一性1. 基本概念復(fù)二次型的規(guī)范形;實(shí)二次型的規(guī)范形,正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差.2. 基本定理(1) 任一復(fù)二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換化為唯一的規(guī)范形式的秩.因而有:兩個(gè)復(fù)對稱矩陣合同它們的秩相等.(2) 慣性定律:任一實(shí)二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化為唯一的規(guī)范形式的秩,為的慣性指數(shù).因而兩個(gè)元實(shí)二次型可經(jīng)過非退化線性替換互化它