線性微分方程組的一般理論P(yáng)PT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線性微分方程組的一般理論線性微分方程組的一般理論2、向量函數(shù)的相關(guān)性考慮定義在區(qū)間 上的向量函 ，如果存在不全為零的常數(shù) ，使得恒等式0)()()(2211txctxctxckkbta)(,),(),(21txtxtxkkccc,21對(duì)于所有 都成立，則稱這些向量函數(shù)是線性相關(guān)的，否則就稱這些向量函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)的。,bat第1頁(yè)/共27頁(yè)3、向量函數(shù)的伏朗斯基（Wronsky）行列式)()()()()()()()()()()(,),(),(21222211121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxWnnnnnnn由定義在區(qū)間 上的n個(gè)向量函數(shù) 所作成的如

2、下行列式稱為伏朗斯基行列式，即)(,),(),(21txtxtxn,bat其中，)()()(21txtxtxxnkkkk第2頁(yè)/共27頁(yè)構(gòu)造一個(gè)齊次線性代數(shù)方程組，由代數(shù)方程解的理論得證。分析：4、定理3 若向量函數(shù) 在區(qū)間 上 線性相關(guān)，則在 上它們的伏朗斯基(Wronsky) 行列式為零，即有：)(,),(),(21txtxtxn , a b0)(tW , a b第3頁(yè)/共27頁(yè)6、定理5 齊線性方程組（5.15）一定存在n個(gè)線性無 關(guān)的解。分析：反證方法。分析：構(gòu)造方法。5、定理4 如果方程(5.15)的解 在區(qū)間 上線性無關(guān)，則 在 內(nèi)的任何點(diǎn)上都不等于零，即有： )(,),(),(2

3、1txtxtxn , a b)(0)(btatW)(,),(),(21txtxtxWk , a b第4頁(yè)/共27頁(yè)推論1：方程（5.15）的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于 因此有：齊線性方程組的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間nn定義：方程（5.15）的一組 個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組，顯然，基本解組不唯一n7、定理6（通解結(jié)構(gòu)定理） 如果 是方程（5.15）的 個(gè)線性無關(guān)的解， 則方程（5.15）的任一解均可表為： 其中 是相應(yīng)的確定常數(shù)。)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnnn12,nc cc第5頁(yè)/共27頁(yè)推論2：如果已知（5.15）的k個(gè)線性無關(guān)解

4、，則（5.15）可以降低為含n-k個(gè)未知函數(shù)的線性微分方程組。特別地，如果已知（5.15）的n1個(gè)線性無關(guān)解，則（5.15）的通解即可得到。第6頁(yè)/共27頁(yè)n推論3：如果 是階微分方程的n個(gè)線性無關(guān)解，其中 是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)，則（5.21）的任一解均可表示為)21. 5(0)()()1(1)(xtaxtaxnnn)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中 是任意常數(shù)。12,nc cc)(,),(1tatanbtan第7頁(yè)/共27頁(yè)二、基本概念如果一個(gè) 矩陣的每一列在區(qū)間 上都是線性無關(guān)的解矩陣稱為在區(qū)間 上（5.15）的基解矩陣。btabtan n

5、如果一個(gè) 矩陣的每一列都是（5.15）的解，則稱這個(gè)矩陣為（5.15）的解矩陣。n n第8頁(yè)/共27頁(yè)3、定理（）為了尋求齊線性微分方程組（5.15）的任一解，需要尋求一個(gè)基解矩陣。那么，怎樣判定一個(gè)解矩陣是基解矩陣？這里 是確定的 維常數(shù)列向量Cn定理1* (5.15)一定存在一個(gè)基解矩陣，如果 是的任一解，那么( ) t( )( )tt C ( ) t第9頁(yè)/共27頁(yè)注意：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關(guān)的。 例如：0001012ttt定理2* （5.15）的一個(gè)解矩陣是基解矩陣的充要條件是 而且，如果對(duì)于某一個(gè) ，則（表示矩陣 的行列式）( ) tdet( )0 ()tatb

6、0 , ta bdet( )0 ()tatb det( ) t( ) t第10頁(yè)/共27頁(yè)例1 驗(yàn)證是方程組的基解矩陣。ttteteet0)(xx101121xxx其中2、計(jì)算解矩陣的行列式值，并進(jìn)行判斷。1、首先驗(yàn)證是解矩陣：即把矩陣的每一列作為一個(gè)向量驗(yàn)證是否是解？第11頁(yè)/共27頁(yè)推論1* 如果是（5.15）在區(qū)間 上的一個(gè)基解矩陣，是 非奇異常數(shù)矩陣，那么, 也是在區(qū)間 上的一個(gè)基解矩陣)(tCt)(btabtaCnn這說明：基解矩陣的表示形式不是唯一的驗(yàn)證方法證明。第12頁(yè)/共27頁(yè).)()(Ctt推論2* 如果 ， 在區(qū)間 上是 的兩個(gè)基解矩陣，那么,存在一個(gè)非奇異 常數(shù)矩陣 ，使

7、得在區(qū)間 上，有( ) tbtabtaCnn)(txtAx)(這說明基解矩陣的相似性構(gòu)造方法證明：構(gòu)造常數(shù)矩陣C.1( )( )( )ttX t第13頁(yè)/共27頁(yè)5.2.2、非齊線性微分方程組)15. 5()()14. 5()()(xtAxtfxtAx目的：利用（5.15)解的結(jié)構(gòu)來討論（5.14)解的結(jié)構(gòu).1、非齊線性微分方程組解的性質(zhì)2、非齊線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)3、應(yīng)用第14頁(yè)/共27頁(yè)1、非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1 如果 是(5.14)的解， 是對(duì)應(yīng)的齊線性微 分方程組(5.15)的解,則 是(5.14)的解 .)(t)(t)()(tt性質(zhì)2 如果 , 是（5.14）的解，則 是

8、（5.15）的解 .)(t)(t)()(tt基本思想：代入式驗(yàn)證?；舅枷耄捍胧津?yàn)證。第15頁(yè)/共27頁(yè)2、非齊線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)定理7 設(shè) 是（5.15）的基解矩陣， 是（5.14）的某一解，則（5.14）的任一解 都可表示為這里 是確定的常數(shù)列向量.)(t)(t)(t),()()(tCttC基本思想：代入式驗(yàn)證？利用性質(zhì)2。第16頁(yè)/共27頁(yè)由定理7得知，為了尋求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊線性微分方程組（5.15)的基解矩陣。那么,如何求它的一個(gè)特解？應(yīng)用前面介紹的常數(shù)變易方法求（5.14)的一個(gè)解。注 釋第17頁(yè)/共27頁(yè)定理 設(shè) 是（5.15）

9、的基解矩陣， 則向量函數(shù) 是（5.14）的解，且滿足初始條件： .)(t0)(0t）（ 26. 5)()()()(01dssfstttt分析定理7和定理8，非齊線性微分方程組（5.14）的滿足初始條件的解 可由下面公式給出)(t )(0t)27. 5 ()()()()()()(0101ttdssfstttt(5.15)滿足初始條件 的解 )(0t公式（5.26）或(5.27)稱為非齊線性微分方程組（5.14）的。第18頁(yè)/共27頁(yè)例2：試求初值問題的解。11) 0 (,0101121xxxxexxt解：1、因?yàn)?是對(duì)應(yīng)齊線性方程組的基解矩陣；( )0tttetete第19頁(yè)/共27頁(yè)2、由定理

10、8，求滿足初始條件 的解00) 0(01( )0100ttsstseteetdse2000ttssteteedse211(1)()22000tttttteeeetee第20頁(yè)/共27頁(yè)3、求題設(shè)初始條件 的解（利用解的結(jié)構(gòu)定理）.1(0)1h1(1)( )( )1thttette原方程的解為( )( )( )httt1()(1)20tttteetee1()2ttttteeee第21頁(yè)/共27頁(yè)求非齊次線性微分方程組求解基本步驟：1、求對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程組的基解矩陣；2、求初始條件為0的解；3、再求初始條件的解；理論基礎(chǔ)：定理7和定理8（解的結(jié)構(gòu)定理。）注：n階線性微分方程的求解（推論3）；

11、是否已完全解決了非齊次線性微分方程組的求解問題（沒有？）第22頁(yè)/共27頁(yè)3、應(yīng)用（n階非線性微分方程解的結(jié)構(gòu)）(1)、推論3 如果 是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)， 是區(qū)間 上齊線性方程的基本解組，那么，非齊線性方程)(),(,),(),(21tftatatanbta)(,),(),(21txtxtxnbta)28. 5()()()()1(1)(tfxtaxtaxnnn)21. 5(0)()()1(1)(xtaxtaxnnn的滿足初始條件, 0)()( )(00)1(00battttn的解由下面公式給出第23頁(yè)/共27頁(yè)其通解為：)30. 5()()()()()(2211ttxctxctxctunn這里 是任意常數(shù)nccc,21基本方法：常數(shù)變易法)29. 5()()(,),(),()(,),(),()()(021211ttnnknkkdssfsxsxsxWsxsxsxWtxt第24頁(yè)/共27頁(yè)（2） 特殊情況，n=2時(shí)的常數(shù)變易方法的公式)31. 5()()(),()()()()(