層次分析法的計算步驟

1、8.3.2 層次分析法的計算步驟 一、建立層次結(jié)構(gòu)模型 運(yùn)用 AHP 進(jìn)行系統(tǒng)分析，首先要將所包含的因素分組，每一組作為一個層次，把問題條理化、層次 化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。這些層次大體上可分為 3 類 1、最高層：在這一層次中只有一個元素，一般是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此又稱目標(biāo)層； 2、中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個層次組成，包括所需要考 慮的準(zhǔn)則，子準(zhǔn)則，因此又稱為準(zhǔn)則層； 3、最底層：表示為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。 層次分析結(jié)構(gòu)中各項稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素，這里要注意，層次之間的支配關(guān)系不一定是完全

2、的， 即可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配 關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。 遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。為了避免由于 支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過 9 個，若多于 9 個時，可將該層次再劃分為若干子層。 例如，大學(xué)畢業(yè)的選擇問題，畢業(yè)生需要從收入、社會地位及發(fā)展機(jī)會方面考慮是否留校工作、讀研 究生、到某公司或當(dāng)公務(wù)員，這些關(guān)系可以將其劃分為如圖 8.1 所示的層次結(jié)構(gòu)模型。 再如，國家綜合實力比較的層次結(jié)構(gòu)模型如圖6 .2：

3、 圖 6 .2 圖中，最高層表示解決問題的目的，即應(yīng)用 AHP 所要達(dá)到的目標(biāo)；中間層表示采用某種措施和政策 來實現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、約束層、準(zhǔn)則層等；最低層表示解決問題的措施 或政策（即方案）。 然后，用連線表明上一層因素與下一層的聯(lián)系。如果某個因素與下一層所有因素均有聯(lián)系，那么稱這 個因素與下一層存在完全層次關(guān)系。有時存在不完全層次關(guān)系，即某個因素只與下一層次的部分因素有聯(lián) 系。層次之間可以建立子層次。子層次從屬于主層次的某個因素。它的因素與下一層次的因素有聯(lián)系，但 不形成獨立層次，層次結(jié)構(gòu)模型往往有結(jié)構(gòu)模型表示。 二、構(gòu)造判斷矩陣 任何系統(tǒng)分析都以一定的信息為基

4、礎(chǔ)。 AHP 的信息基礎(chǔ)主要是人們對每一層次各因素的相對重要性給 出的判斷，這些判斷用數(shù)值表示出來，寫成矩陣形式就是判斷矩陣。判斷矩陣是 AHP 工作的出發(fā)點，構(gòu) 造判斷矩陣是 AHP 的關(guān)鍵一步。 當(dāng)上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素（目標(biāo) A 或某個準(zhǔn)則 Z ）相聯(lián)系的下層各元素 在上層元素 Z 之中所占的比重。 假定 A 層中因素 Ak 與下一層次中因素 B1，B2， Bn 有聯(lián)系，則我們構(gòu)造的判斷矩陣如表8.16所 示。 表 8.16 判斷距陣 Ak B1 B2 Bn B1 b11 b12 b1n B2 b21 b22 b2n Bn bn1 bn2 bnn 表 8.16 中

5、， bij 是對于 Ak 而言， Bi 對 Bj 的相對重要性的數(shù)值表示， 判斷矩陣表示針對上一層次某因素而言，本層次與之有關(guān)的各因素之間的相對重要性。填寫判斷矩陣 的方法是：向填寫人（專家）反復(fù)詢問：針對判斷矩陣的準(zhǔn)則，其中兩個元素兩兩比較哪個重要，重要多 少。對重要性程度 Saaty 等人提出用 1-9 尺度賦值，見下表 8.17 表 8.17 重要性標(biāo)度含義表 重要性標(biāo)度 1 3 5 7 9 含義 表示兩個元素相比，具有同等重要性 表示兩個元素相比，前者比后者稍重要 表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要 表示兩個元素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要 表示兩個元素相比，前者比后者極端重要 表示上述

6、判斷的中間值 若元素 i與元素 j的重要性之比為 bij, 則元素 j與元素 i的 1 重要性之比為 bji = 1 bij 倒數(shù) 設(shè)填寫后的判斷矩陣為 B bij ij n n ，則判斷矩陣具有如下性質(zhì)： (1) bij 1 0， (2) bji =，(3) b ij bii =1 i 1,2. ,n. 2，4，6， 根據(jù)上面性質(zhì)，判斷矩陣具有對稱性，因此在填寫時，通常先填寫bii =1 部分，然后再僅需判斷及填 寫上三角形或下三角形的 n（n-1）/2 個元素就可以了。 在特殊情況下，判斷矩陣可以具有傳遞性，即滿足等式： bij bjk bik ， 當(dāng)上式對判斷矩陣所有元素都成立時，則該判

7、斷矩陣為一致性矩陣。 采用 19 的比例標(biāo)度的依據(jù)是：（ 1）心理學(xué)的實驗表明，大多數(shù)人對不同事物在相同屬性上差別的 分辨能力在 59 級之間，采用 19 的標(biāo)度反映了大多數(shù)人的判斷能力；（ 2）大量的社會調(diào)查表明， 19 的比例標(biāo)度早已為人們所熟悉和采用； （3）科學(xué)考察和實踐表明， 19 的比例標(biāo)度已完全能區(qū)分引起人們 感覺差別的事物的各種屬性。 因此目前在層次分析法的應(yīng)用中，大多數(shù)都采用尺度。當(dāng)然，關(guān)于不同尺 度的討論一直存在著。 三、層次單排序 所謂層次單排序是指根據(jù)判斷矩陣計算對于上一層某因素而言本層次與之有聯(lián)系的因素的重要性次 序的權(quán)值。它是本層次所有因素相對上一層而言的重要性進(jìn)行

8、排序的基礎(chǔ)。 8. 18) 層次單排序可以歸結(jié)為計算判斷矩陣的特征根和特征向量問題，即對判斷矩陣B，計算滿足 BW = max W 的特征根與特征向量。式中， max為 B的最大特征根； W 為對應(yīng)于 max的正規(guī)化特征向量； W的分 量 wi 即是相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。 為了檢驗矩陣的一致性，需要計算它的一致性指標(biāo) CI ， CI 的定義為 CI = max n（ 8.19） n1 顯然，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時， CI=0。 max n越大， CI 越大，判斷矩陣的一致性越差。注意 到矩陣 B 的 n個特征值之和恰好等于 n, 所以 CI 相當(dāng)于除 max外其余 n-1 個特征根的平均值

9、。為了檢驗 判斷矩陣是否具有滿意的一致性， 需要找出衡量矩陣 B 的一致性指標(biāo) CI 的標(biāo)準(zhǔn)， Saaty 引入了隨機(jī)一致性 指標(biāo)表 8.18。 表 8.1819 矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo) 數(shù) 階 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 對于 1階、2 階判斷矩陣， RI 只是形式上的，按照我們對判斷矩陣所下的定義， 1 階、 2 階判斷矩陣 CI 總是完全一致的。 當(dāng)階數(shù)大于 2時，判斷矩陣的一致性指標(biāo) CI，與同階平均隨機(jī)一致性的指標(biāo) RI 之比 CI RI CI 稱為判斷矩陣的隨機(jī)一致性比率，記為

10、CR。當(dāng) CR= CI 0.01 時，判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需 RI 對判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。 四、層次總排序 利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計算針對上一層次而言本層次所有因素重要性的權(quán) 值，這就是層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進(jìn)行，設(shè)已算出第 k-1 層上 n 個元素相對于總 目標(biāo)的排序為 w(k 1)(w1(k 1) (k 1) T wn) ， ,n. k 1,2, ,nk n 階矩陣 U(k)=(u1(k),u2(k) (k) u11 (k) (k)u21 , ,un )= (k) u12 (k) u22 (k) u1n (k) u2n (k) (k) un

11、k1 unk2 unkn (k) 中的第 j 列為第 k 層 nk 個元素對于第 k 1層上第 nk 其中不受第 j 個元素支配的元素權(quán)重取零，于是可得到 j 個元素為準(zhǔn)則的單排序向量。 其中U 記第 k 層上各元素對總目標(biāo)的總排序為： w(k) (w1(k), ,wn(k) )T w(k) U (k) w(k 1) u1(1k) u2(1k) u1(nk) u2(kn) w1(k w2(k 1) 1) (k) un(kk)2 un(kn) nkn 1) u1(kj)w(jk 1) j1 n u2(kj)w(jk 1) j1 j1 (k) (k un(kk)jw(jk 1) 第 k 層 nk 個元素對于第 k 1 層上第 j 個元素為準(zhǔn)則的單排序向量 (k) (k) (k ) (k) T uj(u1 j ,u2j,unk j )j 1,2. 即有 wi(k ) 1,2, ,nk (k) (k 1) uij wj ， i j1 五、一致性檢驗 為評價層次總排序的計算結(jié)果的一致性如何，需要計算與單排序類似的檢驗量。 由高層向下，逐層進(jìn)行檢驗。設(shè)第 k層中某些因素對 k-1層第 j