不等式證明的方法

1、學(xué)號(hào):用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求函數(shù)極限的探究學(xué)院名稱: 專業(yè)名稱: 年級班別: 姓 名: 指導(dǎo)教師:年 月曰積、應(yīng)用已知定理、公式等.證明已知：aa +ba +bA0，0，求證：二屆.晶-a+b-2窈=心-荷2 0，用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求函數(shù)極限的探究在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們所學(xué)習(xí)的許多知識(shí)都可以用于求函數(shù)的極限，諸如利 用初等函數(shù)的連續(xù)性、利用等價(jià)無窮小代換求極限、利用夾逼準(zhǔn)則求極限、以及利用洛必 達(dá)法則求函數(shù)極限等等。同時(shí)，極限的思想方法也貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)中，一些基本概念 如微分、積分的定義都與極限有密不可分的聯(lián)系。在本文中，我主要總結(jié)了一些常用的利 用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求函數(shù)極限的方法，并用具體實(shí)例加

2、以說明。關(guān)鍵詞 函數(shù)極限；連續(xù)性；洛必達(dá)法則；泰勒公式在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)極限是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等 數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).1常用方法1.1比較法（作差法）1在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的大小時(shí)，可借助a-b的符號(hào)來判斷.步驟一般為：作差一一變形一一判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）.變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化2222故得河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文1.2作商法在證題時(shí)，一般在a , b均為正數(shù)時(shí)，借助 S-1或abO ,求證：aabbabba.證明 因?yàn)閍 Ab 0,所以aabb但1 ,lb丿1.3分析法（逆推法）從要證明的結(jié)論出發(fā),a bb| aa b a b .

3、步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆.例 3 求證：+1 +J15.證明 要證 弱+ 47 1，即證 12+2J55：16 + 2j75，即 435 2+Ji5，35 19 +4(15 , 4/15 16 , 7T54 , 15 1 , a b A 0 . b1.4綜合法2證題時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等, 最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法.例4 已知：a，b同號(hào)，求證:證明因?yàn)閍，b同號(hào),所以a c0 ,b-0 ,a1.5反證法先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，

4、從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的.例5已知abO, n是大于1的整數(shù)，求證： 艮阪證明假設(shè)件1，Ya這與已知矛盾，所以1.6迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不2 2 2b1 +b2+- +bn =1，求證:等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證例 6 已知：q2 + a?2 +an2 =1，aibi +a2b2 + + ab 1.所以證明 因?yàn)閍12 +a22 +an2 =1，2 2 2h +b2 + +bn =1，2anJa, +a22 +an2 =1，Jbj b?2 +bn 1.由柯西不等式a1b1 +a2b2 中+anb Ja：+

5、 a：天 Jb； +b； +b： =11=1,所以原不等式獲證.1.7放縮法呵在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的 各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式 中擴(kuò)大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達(dá)到證明的目的.值得注意的是“放” “縮” 得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋 找“中介量”放縮法.例7 求證：丄咒3咒5咒咒越亜吒。.。24610000證明 令P =咒X-9999,貝U24610000所以2132522 2999913c X 10000222 -14 -1P

6、 anb + abn證明 （1）當(dāng)n=2時(shí)，a2+b2 ab+ab =2ab，不等式成立;(2)若 n=k 時(shí)，ak+bkak +abk成立，則a +bk a(ak +bk) -abk +bka(akb + ab2)-abk +嚴(yán)= akb +abk +(a2bk -2abk +bk十)=akb + abk +bk1(a-b)2 akb + abk，即 ak+ +bk akb +abk成立.根據(jù)（1）、（ 2）， an + bn+ab2對于大于1的自然數(shù)n都成立.1.9換元法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.1例 9 已知：a+b+ c =1，求證：a

7、b+bc+ ca.3證明 設(shè)a t， b -aMtR），貝U c =+（1+a）t，333ab +bc +ca =1 T1七-皆(1 + a)t所以=-(1 +a a2*2 ,331 ab + be + ca 蘭-.31.10三角代換法借助三角變換，在證題中可使某些問題變易例 10 已知：a2 + b2 T， X2 + y2 =1，求證：ax + by 蘭1 .證明 設(shè) a = s in 0，貝U b = cos0 ；設(shè) x = si nW，貝U y = cos所以ax +by =sin0sin 申 +cosecos=cos(9 -申)0，(2am)2-4(1 +a2)(m2-1) 0，解得，

8、故 y - ax,1 +a21.12標(biāo)準(zhǔn)化法形如f （為，2,，Xn） = sinxi sinx?sin Xn的函數(shù)，其中0 c Xj 兀，且% + X2 +Xn為常數(shù)，則當(dāng)Xj的值之間越接近時(shí),f（X1,X2,，Xn）的值越大（或不變）；當(dāng) X1 =X2=Xn 時(shí)，f（X1, X2,，Xn）取最大值，即、 n X1+X2+Xnf (X1, X2,Xn)=sin X1 sin X2sinxmsin X2n標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)A+B為常數(shù)時(shí)，有sinAsinBMsin2號(hào)證明：記A + B =C，則求導(dǎo)得2 A + B2 Cf(X)=sin Asin B -sin= sin Asin(C A) - s

9、in2 2 f (A) =sin(C -2A)，由 f (A) =0得C =2A，即 A = B.又由f (A) = -cos(B - A) c0知f （A）的極大值點(diǎn)必在A = B時(shí)取得.河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文由于當(dāng)a=B時(shí)，(A) =0，故得不等式.同理，可推廣到關(guān)于n個(gè)變元的情形.A.aB.bC.cD.不能確定例12設(shè)A,B,C為三角形的三內(nèi)角，求證:sinAsinBsin-.2證明由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，.A. B. Csin = SI n = sin = 2 2 2當(dāng)A = B =C時(shí),.A . B . C ” 1Sin sin sin a +b +c . 1證明 由海倫公式 S 拎BC

10、=J p(p-a)( p-b)(p-c)，其中 p= -(a +b + c).兩邊平方，移項(xiàng)整理得16(SBC)2a2b2a2c2b2cabc4所以c 2.2.C 22.c224. .4.42a b +2a c +2b c a +b +c .應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例 8、a,b,c 為 AABC 的三邊長，求證：2a2b2 +2a2c2 +2b2c2a4 +b4 +c4。證明：由海倫公式S也BCP(P-a)(p-b)(p-c)，其中 p = (a +b +c)。2兩邊平方，移項(xiàng)整理得16(s血Bc)2 =2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 -a4 -

11、b4 -c4而 S也Bc A 0，所以 2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 a4 + b4 + c4。、選擇題 11.設(shè) 0VXV 1，貝U a= J2x ,b=1+x,c=中最大的一個(gè)是()1 -x河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文2.若不等式X2 logax1 , b1，若ax= by= 3 , a + b= 2 寸3 ,則Q + :的最大值為()d.24.不等式Jlog2X-1 +Jog+ 20的解集是A.2 , 3 B. (2, 3)C.2,4 D.(2, 4)5.設(shè)a Ab aO,那么+一:一的最小值是b(a b)A. 2B.C.D.二、填空題1.設(shè)X, y為實(shí)數(shù)，滿足3X則y4的最大值是

12、2.若對任意x0，x+fcw a恒成立，則a的取值范圍是3.設(shè)函數(shù)f(x)= X2 1.對任意x 2,+s24m f(x)w f(x 1)+ 4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是X + yXy4.設(shè)x 0,y O,A=,B= +,則A , B的大小關(guān)系是1 +x + y 1 +x 1 + y三、解答題1 + y 1 + X1.若x,y均為正數(shù)，且 x+y 2.，求證：與中至少有一個(gè)小于2.X y22.已知 an/K + 7+, + Jn(n +1)(n N*),求證：n(n+1) an nW n+1-1).2 3n證明因?yàn)? +- +23所以1.15 構(gòu)造法9-10=2+1+4+匸1“ J

13、2啟丄沢沢門十1nV 23仆出+r川濟(jì)一1).在證明不等式時(shí)，有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡捷、明快、以巧取勝的目的.例15已知：X2 + y2 1， a2 + b2 2，求證：b(x2 - y2) +2axy 42 .證明依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù) 乙=X + yi， Z2 = a + bi，則z1 1，Z2 2所以召2 X Z2 =(X + yi)2 (a +bi) =a(x2 - y2) - 2bxy + b(x2 - y2) + 2axyib(x2 - y2) +2axy = lm( zj x Z2)蘭|乙2xZ2b(x2 -y2)+2axy 蘭V2.1.16排序法11利

14、用排序不等式來證明某些不等式.排序不等式：設(shè)a1蘭a2蘭蘭an， b蘭b2蘭蘭bn，則有ab +a2bn斗十+anb1 也 七2悅 + ang 蘭 aQ + azb? +其中t1,t2,tn是1,2,n的一個(gè)排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1七2二=an或bb =6時(shí)取等號(hào).簡記作：反序和 亂序和 ab+bc + cd+da.證明因?yàn)閍,b,c,d忘R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大,a? +b2 +c2 + d? ab +bc + cd +da.1.17借助幾何法1?借助幾何圖形,運(yùn)用幾何或三角知識(shí)可使某些證明變易例17已知:a,b,m 亡 r +，且 acb，求證:證明（如圖1.17.1）以b為斜邊，a

15、為直角邊作RtAABC延長AB至D,使BD = m，延長AC至E,使ED丄AD，過C作AD的平行線交DE于F， 貝MABC s 蟲adE，令 CE = n，所以a _ AB _ a + m b AC b + n又CE CF，即 n Am，所以a + m a +m a =b + m b + n b圖 1.17.1河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文2利用函數(shù)證明不等式2.1函數(shù)極值法通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的例 18 設(shè) XER，求證：-4 蘭 cos2x + 3sinx 蘭 28.證明2f(X)= cos2x +3sin x =1 -2sin x + 3sin x一23丫

16、I4丿+ 218當(dāng) sin X = 3 時(shí),4f(X)max = 2 8 ;當(dāng) sin X = 1 時(shí),f ( X)min = 4.1 -4cos2x+3si nx282.2單調(diào)函數(shù)法13-14當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f(x)XO，則f (x)單調(diào)上升；若f(x)0，則f(x)單調(diào)下降.推廣之，若證f(x)g(x)，只須證 f(a)=g(a)及 廠(x) 1 +x， X H0.設(shè) f(x) =ex -1-X,則 f(X)=eX-1.故當(dāng) x0 時(shí)，f xp-0, f 嚴(yán)格遞增；當(dāng)X 0, f (x) 0, f嚴(yán)格遞減.又因?yàn)閒在X = 0處連續(xù),則當(dāng)X H0時(shí),從而證得f(x)f(0)=0,ex+x

17、, X H 0.2.3中值定理法利用中值定理：f(x)是在區(qū)間a,b上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在t,ab， 滿足f(b)-f(a) = f)(b-a)來證明某些不等式，達(dá)到簡便的目的.例 20 求證：sin x-sinyx-y.證明 設(shè) f(x) =s in X，貝U si nx-s in y =(x-y)si n 生=(x-y)cosEsinX - sin y (x y)cos| 蘭|x- y .2.4利用拉格朗日函數(shù)例21 證明不等式3( - +丄+1) 0.這樣就有不等式丄).r由此可見，所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，而且可以驗(yàn)證是最小值點(diǎn)xyz (3r)3(x 0, y aO,z 0

18、,丄十丄十1 =x y z令X =a, y =b, z =G則r =(丄+丄+1)，代入不等式有a b cab3(1+ V3a b c111 叮1宀皿3心020).河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文3利用著名不等式證明(3)3.1利用均值不等式：5-：6個(gè)正實(shí)數(shù)，則a1 + a2+an ya1a an ,當(dāng)且僅當(dāng)ar = = an 時(shí)取等號(hào).例22證明柯西不等式nnn(S aibi)2 (S 42)(送 bi2).yyi =1證明要證柯西不等式成立，只要證n n 2 ( n 22 aibi 0, B aO,貝U( 1)即nZ ab ABizin無 aibi上1 1AB河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文a12b12

19、22.2aib1.2_ 2 AB-2同理2a2b aAB2a1bi AB -2 人2+ B222 aiA22anbnAB2 an A將以上各式相加，得nzaibi) 2A2ainZ bi2yB2根據(jù)（2），（4）式即S aibi)2. AB i 二因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得證3.2利用柯西不等式17-18例 23 設(shè) a R , i =1，ai2ail n 丿證明由柯西不等式兩邊除以n即得.2丿匸12i#丿n=nS a2 .iT說明：兩邊乘以-后開方得ain y丄 a2 .當(dāng)ai為正數(shù)時(shí)為均值不等式中的算術(shù)Vn y平均不大于平方平均.3.3利用赫爾德不等式19例24設(shè)a,b為正常數(shù)

20、,n亡N，求證:證明 n Sin xn _ cos xa+_b_nndin x cos x 丿2.j + V?七(sin2x + Isin x cos X 丿ncos2 x 嚴(yán)F面證不等式（3）,有均值不等式，、I十V A B河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文2嚴(yán)(cosx丿2工(斗廠(Sin2xr + Isin x 丿2 2=an 卡 +bnwn卡 a b 丄尸 引an +bnsin x cos X L V 丿3.4利用詹森不等式如例25 證明不等式3a旳卡(abc) 3aabbcc,其中a,b,c均為正數(shù).證明 設(shè)f(x)=xl nx,x：0.由f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)f(X)= ln X +1,

21、f (X)= 1x可見，f(x) =xlnx在xaO時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù).依詹森不等式有a +b + c 1f(hr(f(a)+f(b) + f(c),從而a+b+c a+b+c 1In- (a l na+bl nb + cl nc),3 3七 aabbcc.又因樂.寧，所以ate七(abc)F aabbcc.河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文參考文獻(xiàn)1李長明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究M.北京：高等教育出版社，1995,253-263.2葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005,10(3):89-91.3胡炳生，吳俊.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京：高等教育出版社,1998,45-50

22、.4宋慶.一個(gè)分式不等式的再推廣J.中等數(shù)學(xué),2006,45(5):29-31.蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證明J.數(shù)學(xué)通報(bào),2005,15(2):75-79.匡繼昌.常用不等式M.濟(jì)南：山東科技出版社，2004,23-34.7張新全.兩個(gè)不等式的證明J.數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(4):54-55.8Priestley M B ,Chao M T.Nonparameteric function fittingJ.J R Statist.Soc.( Series B) ,1972,34:385-392.9李鐵烽.構(gòu)造向量證三元分式不等式J.數(shù)學(xué)通報(bào),2004,(2):101-102.10Be

23、nedetti J K. On the Nonparametric estimation of regression functionsJ.J R Statist.Soc(SenesB).1977,39(1):248-253.11 Hardy, litlewood , bolya G.l nequalitiesM. Cambridge :Cambridge uni versity press,1997,45 .12胡如松.垂足三角形的幾個(gè)有趣性質(zhì)及其猜想J.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2004,(5):23-25.13馬雪雅.加權(quán)幾何平均不等式J.數(shù)學(xué)雜志,2006,26(3):319-322.14數(shù)學(xué)分析

24、.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系(第三版)M.北京：高等教育出版社,1999,87.15施咸亮.與幾何平均有關(guān)的兩個(gè)不等式J.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào),1980,1(1):21-25.河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文16李家熠.用均值不等式證明不等式J.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005,11(4):130-133.17霍連林.著名不等式M.北京：中國物質(zhì)出版社,1994,123-124.18 Tom M. Ap ostol. Mathematical An alysis (Seco nd Editio n)M .BeiJi ng: Ch ina Machi ne P ress,1994,17-19.19Yang Bicheng.

25、On an Extension of Hardy- Hilbert s InequaJyChinese Ann. Math.(Ser. A ),2002,23(2):247-254.20Gao Mingzhe.On Heisenberg InequalityJ.J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.在論文的準(zhǔn)備和寫作過程中，筆者得到了XX老師的悉心指導(dǎo)和熱情幫助，特別是他敏銳的學(xué)術(shù)眼光和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度使我受益頗深.同時(shí)，我也要感謝我的其他老師和同學(xué)們,是他們給予我的幫助讓我走過大學(xué)的風(fēng)風(fēng)雨雨,在那些最艱苦的日子里是他們激勵(lì)我、鼓勵(lì)我，讓我奮發(fā)圖強(qiáng).我也將以更

26、多的努力來回報(bào)他們，我相信我會(huì)做得更好!XXX200X年5月于XXX大學(xué)明:、論文的內(nèi)容及順序(一)中文論文的內(nèi)容及順序?yàn)?1、論文封面 2、中文摘要3、英文摘要 4、論文主體部分 5、參考文獻(xiàn) 6致謝（中文論文的致謝） 7、附錄其中1不編頁碼，2-7用阿拉伯?dāng)?shù)字編排頁碼。、除封面外每頁都要有頁眉，頁眉在每一頁的最上方，頁眉內(nèi)容為“河南師范大學(xué)本科 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）”用小五號(hào)宋體，居中排列，論文、設(shè)計(jì)二選一。f H H IIH I H . . H學(xué)號(hào)：XXXXXXXX河南師范大學(xué)I本科畢業(yè)論文（四號(hào)黑體）Sn（IV）摻雜納米 TiO2/AC降解橙黃G的動(dòng)力學(xué)與機(jī)理研究（20磅字號(hào)，華文中宋，加

27、粗，居中）學(xué)院名稱:化學(xué)與環(huán)境科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱:XXXX年級班別:XXXX 級 XXXXX姓 名:XXX指導(dǎo)教師:XXX（黑體，小三，居中，上面橫線上內(nèi)容要居中）XXXX年XX月河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（小五，宋體，居中，論文、設(shè)計(jì)二選一）、八刖 言（黑體，小三，1.5倍行距，居中）Sn（IV）摻雜納米TiO2/AC降解橙黃G的動(dòng)力學(xué)與機(jī)理研究（黑體小三，1.5倍行距，居中）摘 要（黑體，小四，1.5倍行距）采用溶膠凝膠法制備了摻雜 Sn（IV）的TiO2/AC光催化劑，以生物染料橙黃G為目標(biāo)降解物，研究了多相光催化降解橙黃 G的動(dòng)力學(xué)規(guī)律（300字左右）（宋體，小四，1.5倍行距）（

28、3-6關(guān)鍵詞（黑體，小四，1.5倍行距）Sn（IV）+ TiO 2/AC ;橙黃G;動(dòng)力學(xué);個(gè)）（宋體，小四，1.5倍行距）Research on the Degrdation Kinetics and Mechanism of OG over Sn（IV）Doped TiO2/AC（Times New Roman，小三號(hào)，單倍行距，加黑，首字母大寫）Abstract （Times New Roman,小四號(hào)，1.5 倍行距，加黑）Sn（IV） doped TiO2/ACPhotocatalyst was prepared by Sol-gel method. The different in

29、itial concentration of OG were used to study the degrati on kin etics of Orange G. The results showed that, the kin etics of this reacti on was in accorda nee with Lan gmuir- Hin shelwood equation-（ Times New Roma n, 小 四號(hào)，1.5倍行距）Keywords （Times New Roman,小四號(hào)，1.5 倍行距，加黑） Sn（IV）+ TiO 2/AC ； OrangeG； k

30、inetics；（Times New Roman,小四號(hào)，1.5 倍行距）四,1.5倍行距）染料廢水的處理是大家頗為關(guān)注的課題之一，而偶氮染料是染料中品種最多的一類,約占染料總量的50%上。染料廢水色度高，有機(jī)污染物濃度大且具有無毒、反應(yīng)速度快、降解效率高、無二次污染等優(yōu)點(diǎn)，是近年來環(huán)境污染治理技術(shù)的研究熱點(diǎn)1（引（宋體，小用參考文獻(xiàn)需以上標(biāo)形式標(biāo)注出來，并在文后將此參考文獻(xiàn)列出來）。實(shí)驗(yàn)部分（黑體，小三，1.5倍行距，頂格）1.1試劑與儀器（二級標(biāo)題，黑體，小四，1.5倍行距，頂格）主要儀器：光催化反應(yīng)儀（自制）；300W高壓汞燈（上海亞明燈泡廠有限公司）；磁 力攪拌器一一（宋體，小四，1.

31、5倍行距）如文中出現(xiàn)表格或插圖，參考下面格式。（宋體5號(hào)，單倍不應(yīng)過分超前或拖后。JIQII12(E 15191.加料口，排氣口9.石英冷肼2.進(jìn)水口10.反應(yīng)瓶3.進(jìn)氣口11.儲(chǔ)水瓶4.放空口12.蠕動(dòng)泵5.曝氣板13.液體流量計(jì)6.出水口14.氣體流量計(jì)7.冷凝水進(jìn)出口15.氣體緩沖瓶8.高壓汞燈16.空壓機(jī)河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（小五，宋體，居中，論文、設(shè)計(jì)二選一）表 1 1冃 *（宋體5號(hào)，單倍行距，居中）表格標(biāo)題（黑體5號(hào)，單倍行距）表格內(nèi)容（宋體5號(hào)，單倍行距）注：1、表格最好采用三線表格。2、全文的表格統(tǒng)一編序，也可以逐章編序，不管采用哪種方式，表序必須連續(xù)。 行距）此

32、外，表格應(yīng)寫在離正文首次出現(xiàn)處的近處，1.2反應(yīng)裝置采用自制流化床光催化反應(yīng)儀（如圖圖1.1流化床光催化反應(yīng)儀（宋體 5號(hào)，居中）注：畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的插圖必須精心制作，線條要?jiǎng)蚍Q，圖面要整潔美觀，插圖應(yīng)與正文呼應(yīng)，不 得與正文脫節(jié)。全文插圖可以統(tǒng)一編序，也可以逐章單獨(dú)編序，不管采用哪種方式，圖序必須連續(xù)，不 得重復(fù)或跳缺。由若干分圖組成的插圖，分圖用a,b,c 標(biāo)序。圖中各種代號(hào)的意義，以圖注形式寫在圖題下方，或?qū)懺趫D的一側(cè)。圖應(yīng)在描紙或潔白紙上用墨線繪成，或用計(jì)算機(jī)繪圖，電氣圖或機(jī)械圖應(yīng)符合相應(yīng)的國家標(biāo)準(zhǔn)的要求。2實(shí)驗(yàn)結(jié)果（黑體，小三，1.5倍行距，頂格）2.1橙黃G溶液的動(dòng)力學(xué)研究（二級

33、標(biāo)題，黑體，小四，1.5倍行距，頂格）在實(shí)驗(yàn)過程中，探索得到實(shí)驗(yàn)最佳反應(yīng)條件為pH = 2.00, Sn（IV） （2.5at.%）,催化劑10g/l,H2O2=1.5ml/l,固定最佳反應(yīng)條件，配制初始濃度分別為10mg/l、20 mg/l、30 mg/l、40 mg/l、50 mg/l、60 mg/l的溶液加入到反應(yīng)體系中，以考察橙黃G光催化降解的動(dòng)力了,。,可以求得k、Ka （見表2.1）。表觀反應(yīng)速率常數(shù)k遠(yuǎn)大于表面吸附平衡常數(shù)Ka,這說明在該光催化氧化過程中，雖然參加反應(yīng)的橙黃G要經(jīng)過擴(kuò)散、吸附、表面反應(yīng)等步驟，但是吸附為該反應(yīng)的速控步。（宋體，小四，1.5倍行距）表2.1不同起始濃

34、度的橙黃 G溶液光催化作用下的參數(shù)催化劑 橙黃G起始濃度Co （mg/l）反應(yīng)速率常數(shù)ki（min-1）初始反應(yīng)速r0（mg/l min）去除率Sn (IV)+TiO 2/AC9.80.032190.7287.720.60.036881.391310.046711.994.242.70.05862.9296.452.50.07223.5398.1650.053123.7595.6參考文獻(xiàn)（黑體，小三，1.5倍行距，居中）1姓在前名在后，姓在前名在后，姓在前名在后et al . Photocatalytic degradation of azo dye acid red 14in water: in vestigati on of the effect