二階常系數(shù)齊次線性微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程其中 p 、q 為常數(shù)第1頁(yè)/共18頁(yè)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, ,那末那末2211ycycy 也是也是(1)(1)的解的解. . （ 21,cc是是任意常數(shù)）任意常數(shù)） 問(wèn)題:一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211ycycy 0 (1)ypyqy第2頁(yè)/共18頁(yè)定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)特特解解,

2、 ,且且常數(shù)，常數(shù)， )()(21xyxy 12cc、是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . 例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xcxcy 第3頁(yè)/共18頁(yè)-特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入方程, 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有02 qprr特征方程,2422,1qppr 特征根特征根第4頁(yè)/共18頁(yè) 有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為得齊次方程的通解為1111212 =();r xr xr xyC eC xeCC x e 代入

3、原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)第5頁(yè)/共18頁(yè) 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 第6頁(yè)/共18頁(yè) 有一對(duì)共軛復(fù)根1,ri2,ri()1,ixye ()2,ixye )0( 由歐拉公式cossiniei ()1cossin,ixxixxyeeeexix ()2cossin,ixxixxyeeeexix第7頁(yè)/共18頁(yè)重新組

4、合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx 1122(1)cotyyyxCy 、仍仍是是方方程程的的解解，且且第8頁(yè)/共18頁(yè)定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程為,0442 rr解得特征根,221 rr故所求通解為.)(221xexccy 例1第9頁(yè)/共18頁(yè).052的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程為,0522 rr解得特征根,2121jr ，故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例2第10頁(yè)

5、/共18頁(yè)01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng) kr若若是是 重重根根 rxkkexcxcc)(1110 jk 復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxcxcc sin)(cos)(11101110 第11頁(yè)/共18頁(yè)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).nnycycycy 2211第12頁(yè)/共18頁(yè)特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解, 01222345 rrrrr特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例3第13頁(yè)/共18頁(yè)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解. (見下表)第14頁(yè)/共18頁(yè)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第15頁(yè)/共18頁(yè)一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1