人教版高中數(shù)學《數(shù)列》(兩課時)教學設計

1、3.1數(shù)列(兩課時)教學設計一、教材分析1.在教材中的地位與作用“數(shù)列”是中學數(shù)學的重要內容之一。不僅在歷年的高考中占有一定的比重，而且在實際生活中也經(jīng)常要用到數(shù)列的一些知識。例如：儲蓄、分期付款中的有關計算就要用到數(shù)列知識。本節(jié)的內容，一方面是前面函數(shù)知識的延伸及應用，可以使學生加深對函數(shù)概念的理解；另一方面也可以為后面學習等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項、求和等知識打下鋪墊。所以本節(jié)在教材中起到了“承上啟下”的作用。本節(jié)的學習中，要經(jīng)常觀察、分析、歸納、猜想，還要綜合前面的知識解決數(shù)列中的一些問題，有助于學生數(shù)學能力的提高。2內容與要求本節(jié)主要介紹數(shù)列的概念、分類，以及給出數(shù)列的兩種方法。關于數(shù)列

2、的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎上，給出了一個在函數(shù)觀點下的定義，指出：“從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值”。這樣就可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，不僅可以加深對數(shù)列概念的理解，而且有助于運用函數(shù)的觀點去研究數(shù)列。關于給出數(shù)列的兩種方法，其中數(shù)列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函數(shù)的解析式。點破了這一點，數(shù)列與函數(shù)的內在聯(lián)系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函數(shù)均有解析表達式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴展。

3、遞推是數(shù)學里的一個非常重要的概念和方法，數(shù)學歸納法證明問題的基本思想實際上也是“遞推”。在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數(shù)列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項公式。但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質，從數(shù)列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔?？紤]到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了。3教材的編排及例習題功能分析（1）第一課時：引言中的故事、生活實際、生產(chǎn)實踐中的實例數(shù)列概念數(shù)列記號

4、通項公式函數(shù)認識圖象表示數(shù)列分類例題練習例1是公式的直接運用，已知數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的某些項。根據(jù)數(shù)列通項公式的意義，只要將序號代替公式中的n，就可以求出相應的項。配套練習是p120練習1，2例2是公式的歸納發(fā)現(xiàn)，給出數(shù)列的前幾項，要求寫出使這幾項能夠滿足的一個通項公式。解決這類問題，關鍵是找出這些項與它們的序號的關系。目的是為了培養(yǎng)學生觀察和歸納的能力。實際上，這類問題的解答常常不是唯一的，例如（1）題中an=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+2n-1都是數(shù)列的通項公式。要求學生得出一個使所給的各項都能滿足的、最簡捷的公式就可以了。配套練習是p120練習3，4(2)第二課時引言

5、中的故事的數(shù)列另一種數(shù)列給出方法遞推公式例題練習例3是已知數(shù)列的遞推公式,逐一寫出數(shù)列的前5項.目的是讓學生親自體驗遞推的過程.領會這一給出數(shù)列的重要方法.配套練習是p122練習1,2,34學生認知分析積極的因素：概念的形成對學生的思維能力要求不高，容易接受，容易激發(fā)興趣。不利的因素：從特殊到一般的觀察、歸納，能力要求較高，學生接受會有一定的困難。5學情分析高一學生剛從初中進入高中，學習方式和思維習慣還不是很適應，缺乏全面的、深刻的思維能力6教學重點（1）第一課時：數(shù)列的概念，通項公式（2）第二課時：遞推公式7教學難點（1） 第一課時：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式難點的突破:激發(fā)學生

6、的興趣,激勵學生去探索,由各項的特點,去找出各項共同的構成規(guī)律. 找出這些項與相應的項數(shù)（即序號）之間的對應關系。教師可引導一些常見的切入點：觀察各項的分子、各項的分母、正負相間、各項與一些特殊的數(shù)(比如平方數(shù)、數(shù)的乘方)的關系，（2） 第二課時：理解遞推公式與通項公式的關系難點的突破:遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法, 通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系.要通過實例發(fā)現(xiàn):遞推公式不是通項公式,它不能通過代入序號n就可以立刻求出an的值；而已知通項公式也不一定就能得到相鄰兩項（或n項）之間的遞推關系.讓學生真正理解遞推公式與通項公式的關系.8教學

7、目標知識目標：第一課時：（1）形成并掌握數(shù)列及其有關概念，識記數(shù)列的表示和分類，了解數(shù)列通項公式的意義。（2）數(shù)列的通項公式，能根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的任意一項。對比較簡單的數(shù)列，使學生能根據(jù)數(shù)列的前幾項觀察歸納出數(shù)列的通項公式，并通過數(shù)列與函數(shù)的比較加深對數(shù)列的認識。第二課時：（1）.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；（2）會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。能力目標：培養(yǎng)學生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等分析問題的能力，同時加深理解數(shù)學知識之間相互滲透性的思想。情感目標：通過滲透函數(shù)、方程思想，培養(yǎng)學生的思維能力，使學生在民主、和諧的活動中感受學習的樂趣。通過介紹數(shù)列與函數(shù)

8、間存在的特殊到一般關系，向學生進行辯證唯物主義思想教育。31數(shù)列（第1課時）教學過程1、創(chuàng)設情景，激發(fā)興趣，引入新課（1）電腦動畫演示：國際象棋棋盤格子中放有麥粒的示意圖，從而得到一組數(shù)：1，2，22，23263 敘述故事：給你一張報紙，你可以用它登上月球，你相信嗎？只要不斷地將報紙對折42次以后，報紙的厚度就可以達到月球和地球的距離。設計意圖：以實例引入概念，再配以電腦動畫，敘述小故事，增強了感性認識，調動學生學習新知識的積極性。（2）投影演示，再觀察以下幾列數(shù)：引言問題中各個格子里的麥粒數(shù)按放置的先后排成一列數(shù)：1，2，22，23，263。某班學生的學號由小到大排成的一列數(shù)：1，2，3，4

9、，50。從1984年到2004年，中國體育健兒參加奧運會每屆所得的金牌數(shù)：15，5，16，16，28，32某次活動，在1km長的路段，從起點開始，每隔10m放置一個垃圾筒，由近及遠各筒與起點的距離排成一列數(shù)：0，10，20，30，1000。放射性物質衰變，設原質量為1，則各年的剩留量依次為：1，0.84，0.842，0.843，2、歸納抽象，形成概念（1）學生嘗試敘述數(shù)列的定義：啟發(fā)學生觀察上述幾組數(shù)據(jù)后，進行歸納總結定義：按一定次序排成的一列數(shù)，叫數(shù)列，便于培養(yǎng)學生的抽象概括能力。舉例1：1，3，5，7與7，5，3，1 這兩個數(shù)列有何區(qū)別？舉例2：-1，1，-1，1，是不是一個數(shù)列？設計意圖

10、：使學生注意把數(shù)列中的數(shù)和集合中的元素區(qū)分開來：數(shù)列中的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無序的。數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)。進一步加深學生對數(shù)列定義的理解。（2）數(shù)列的項及項的表示方法： an（3）數(shù)列的表示方法：可寫成：a1,a2,a3,，an或簡記為：an，注意an與an的區(qū)別上述（2）（3）采用指導閱讀法（書p118頁第7段第8段），對an與an的區(qū)別進行集體討論歸納。3、通項公式的探索（1） 觀察歸納定義由學生觀察引例中數(shù)列的項與它在數(shù)列中的位置（即項的序號）間的關系：實物投影：序號 1 2 3 64 項 1= 21-1 2=22-1 22 = 23-1 263=

11、264-1 從而可看出項與項的序號之間可用一個公式：an =2n-1表示，該公式叫數(shù)列的通項公式，然后歸納抽象出數(shù)列的通項公式的定義（略）。（2）用函數(shù)觀點看待數(shù)列：這是一個難點，講解必須清楚、透徹。數(shù)列可看作是以自然數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)，當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值（這是數(shù)列的本質），其圖象是一群孤立的點，畫圖（棋盤麥粒這個數(shù)列）設計意圖：加深對函數(shù)概念的理解。（3）數(shù)列的分類：有窮與無窮，（可增補遞增、遞減、常數(shù)、擺動）學生口答：數(shù)列分別歸于哪類數(shù)列？4、講解例題設計例題：根據(jù)通項公式寫出前幾項并會判斷某個數(shù)是否為該數(shù)列中的項；根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出一個通項公式。例

12、1，根據(jù)下列數(shù)列an的通項公式，寫出它的前5項（1） an= （2）an=（-1）n n設計意圖：使學生正確掌握通項與序號的關系。變式訓練：問是否為數(shù)列（1）中的項？設計意圖：使學生明確方程思想是解決數(shù)列問題的重要方法。例2，寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7（2），（3），設計意圖：引導學生進行解題后反思，對完善學生的認知結構是十分必要。寫通項公式時，就是要去發(fā)現(xiàn)an與n的關系，對各項進行多角度、多層次觀察，找出這些項與相應的項數(shù)（即序號）之間的對應關系。（注：遇到分數(shù)，可分別觀察分子組的數(shù)列特征與分母組成的數(shù)列特征；若為正負相間的項，則可用-1的奇

13、次冪或偶次冪進行符號交換，有時也可根據(jù)相鄰的項，適當調整有關的表達式。）說明根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出的通項公式可能不唯一，例如（1）題中an=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+2n-1都是數(shù)列的通項公式。5、練習鞏固投影演示：（1） 寫出數(shù)列1，-1，1，-1，的一個通項公式（2） 是否所有數(shù)列都有通項公式？上述（1）的設計意圖：an=（-1）n+1也可寫成an= 1 （當n為奇數(shù)時）-1 （當n為偶數(shù)時）且nn*, 進一步說明根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出的通項公式可能不唯一。（2）：引例就沒有通項公式。通過這些練習，使學生能及時消化，及時鞏固所學內容。6、歸納小結由學生試著總結本節(jié)課所學內容，老

14、師適當補充，可以訓練學生的收斂思維，有助于完善學生的思維結構。（1） 數(shù)列及有關概念。（2） 根據(jù)數(shù)列的通項公式求任意一項，并能判斷某數(shù)是否為該數(shù)列中的項。（3） 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式。（4） 數(shù)列與函數(shù)的關系7、課后作業(yè)：（1）課本p110/習題3.1/1，2（2）復習看書p118-120設計意圖：進一步鞏固所學內容。8、板書設計9、課后反思31數(shù)列（第2課時）教學過程一、復習：上節(jié)學習知識點如下 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須

15、不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn). 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，第n 項，.數(shù)列的一般形式： 或簡記為，其中是數(shù)列的第n項。 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列 的第n項 與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.5數(shù)列的圖像都是一群孤立的點.6數(shù)列分類有窮與無窮；遞增、遞減、常數(shù)、擺動。二、創(chuàng)設情景，激發(fā)興趣，引入新課知識都來源于實踐，最后還要應用于生活，用其來解決一些實際問題。1.觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：141+3第2層鋼管數(shù)為5；即：

16、252+3第3層鋼管數(shù)為6；即：363+3第4層鋼管數(shù)為7；即：474+3第5層鋼管數(shù)為8；即：585+3第6層鋼管數(shù)為9；即：696+3第7層鋼管數(shù)為10；即：7107+3若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列an，且an=n+3(1n7）運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)，這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1 即a2=a1+1；a3=a2+1；a4=a3+1,依此類推：an=

17、an-1+1 （2n7）對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要 。2.引言中的數(shù)列還可以用如下方法給出：第一個格子里的麥粒數(shù)是1，從第二個格子起，每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，也就是說a1=1,a2=2=2a1,a3=4=2a2,a64=263=2a63。即有a1=1， an=2an-1(2n64)三、歸納抽象，形成概念由以上兩例得出的關系式,教師引導學生提煉概念：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)

18、字排列的一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，遞推公式為：an=an-1+an-2 (n3，nn*)四、例題講解例1已知數(shù)列的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據(jù)題意可知： 設計意圖:讓學生親自體驗由給定的初值項和遞推公式可以逐一寫出數(shù)列的項來， 從而認識到遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。例2已知數(shù)列中，3），試寫出數(shù)列的前4項.解：由已知得 設計意圖:認識遞推也可以是相鄰幾項之間的關系。例3（1）已知， 寫出前5項，并猜想（2）已知， 寫出前5項，并猜想 設計意圖：培養(yǎng)歸納、猜想的數(shù)學思想，揭示遞推公式與通項公式的關系，同時為后面學習等差