直線一級(jí)倒立擺MATLAB仿真報(bào)告13頁(yè)

1、1 便攜式倒立擺實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)介倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動(dòng)控制理論中的典型試驗(yàn)設(shè)備，是控制理論教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型。本實(shí)驗(yàn)基于便攜式直線一級(jí)倒立擺試驗(yàn)系統(tǒng)研究其穩(wěn)擺控制原理。1.1主要實(shí)驗(yàn)設(shè)備及儀器便攜式直線一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)箱 一套控制計(jì)算機(jī) 一臺(tái)便攜式直線一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)軟件 一套1.2便攜式倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作原理便攜式直線一級(jí)倒立擺試驗(yàn)系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)如圖1所示：圖1 便攜式一級(jí)倒立擺試驗(yàn)系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖主體結(jié)構(gòu)包括擺桿、小車、便攜支架、導(dǎo)軌、直流伺服電機(jī)等。主體、驅(qū)動(dòng)器、電源和數(shù)據(jù)采集卡都置于實(shí)驗(yàn)箱內(nèi)，實(shí)驗(yàn)箱通過一條USB數(shù)據(jù)線與上位機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，另有一條線接220v交流電源。便攜式直線一

2、級(jí)倒立擺的工作原理如圖2所示：圖2 便攜式一級(jí)倒立擺工作原理圖數(shù)據(jù)采集卡采集到旋轉(zhuǎn)編碼器數(shù)據(jù)和電機(jī)尾部編碼器數(shù)據(jù)，旋轉(zhuǎn)編碼器與擺桿同軸，電機(jī)與小車通過皮帶連接，所以通過計(jì)算就可以得到擺桿的角位移以及小車位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根據(jù)自動(dòng)控制中的各種理論轉(zhuǎn)化的算法計(jì)算出控制量。控制量由計(jì)算機(jī)通過USB數(shù)據(jù)線下發(fā)給伺服驅(qū)動(dòng)器，由驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)控制，電機(jī)尾部編碼器連接到驅(qū)動(dòng)器形成閉環(huán)，從而可以實(shí)現(xiàn)擺桿直立不倒以及自擺起。2 便攜式倒立擺控制原理方框圖便攜式倒立擺是具有反饋功能的閉環(huán)系統(tǒng)，其控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)下的穩(wěn)擺。當(dāng)輸入量為理想擺角，即g=0時(shí)，偏差為0，控制器不工

3、作；當(dāng)輸入量不為理想擺角時(shí)，偏差存在，控制器做出決策，驅(qū)動(dòng)電機(jī)，使小車擺桿系統(tǒng)發(fā)生相應(yīng)位移，輸出的擺角通過角位移傳感器作用于輸出量，達(dá)到減小偏差的目的。根據(jù)控制原理繪制出控制方框圖如圖3所示：圖3 便攜式一級(jí)倒立擺控制原理方框圖3 建立小車-擺桿數(shù)學(xué)模型便攜式倒立擺系統(tǒng)主要由小車、擺桿等組成，它們之間自由連接。小車可以在導(dǎo)軌上自由移動(dòng)，擺桿可以在鉛垂的平面內(nèi)自由地?cái)[動(dòng)。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將便攜式倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的剛體系統(tǒng)，在慣性坐標(biāo)內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，采用力學(xué)分析方法建立小車-擺桿的數(shù)學(xué)模型。將其置于平面坐標(biāo)系后其結(jié)構(gòu)圖如圖4所示，規(guī)定逆時(shí)針

4、方向的轉(zhuǎn)角和力矩均為正。圖4 便攜式倒立擺結(jié)構(gòu)圖模型參數(shù)符號(hào)如下：M: 小車質(zhì)量；m: 擺桿質(zhì)量；I: 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l: 擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離；L: 擺桿長(zhǎng)度； F: 外加在小車上的力；N:擺桿給小車的力；P:小車給擺桿的支持力； : 轉(zhuǎn)角；x: 小車位置；b: 小車與導(dǎo)軌間的摩擦系數(shù)。3.1確定系統(tǒng)輸入輸出量及中間變量： 輸入量：F: 加在小車上的力輸出量：: 轉(zhuǎn)角 中間變量：x: 小車位置3.2受力分析，列寫運(yùn)動(dòng)方程：小車水平方向所受合力： （1）擺桿水平方向所受合力： （2）由（2）得： （3）將（3）代入（1）得到系統(tǒng)第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (4)擺桿垂直方向的合力： （5）由（5）得：

5、（6）擺桿對(duì)質(zhì)心的力矩平衡方程： （7）從(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到系統(tǒng)第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （8）綜上所述，系統(tǒng)的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為（4）式和（8）式： 3.3系統(tǒng)非線性方程的線性化：因?yàn)榈沽[擺桿旋轉(zhuǎn)角度不會(huì)太大，即1（1為弧度），可以做近似處理，即在穩(wěn)定點(diǎn)附近線性化。系統(tǒng)平衡工作點(diǎn)F0,0為0,0，可得：倒立擺系統(tǒng)的線性化模型為：3.4零初始條件下的拉氏變換：3.5代入?yún)?shù)求解傳遞函數(shù)：已知的系統(tǒng)物理參數(shù)：小車的質(zhì)量M：0.618 kg擺桿的長(zhǎng)度L：0.350m擺桿的質(zhì)量m：0.0737 kg擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離l：0.1225m將數(shù)據(jù)代入數(shù)學(xué)模型中求得擺桿角度對(duì)小車位移的傳遞函數(shù)：

6、(s)X(s)=6.122s2s-604 校正前系統(tǒng)性能MATLAB仿真分析4.1穩(wěn)定性分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖如圖5：num=6.122;den=1 0 -60;nyquist(num,den)圖5 校正前系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖由圖分析知，系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=1，N=0。根據(jù)Z=P+N的公式知Z=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.2階躍響應(yīng)分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖6：s=tf(s)G=6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB)圖6 校正前系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)值

7、不隨時(shí)間的增加而衰減，呈現(xiàn)不斷發(fā)散的趨勢(shì)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.3頻率特性分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前系統(tǒng)Bode圖如圖7：num=6.122;den=1 0 -60;bode(num,den);圖7 校正前系統(tǒng)Bode圖由圖分析知，相頻特性圖中相位裕度為0，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，需串聯(lián)頻率控制器加以校正。5 設(shè)計(jì)近似PID校正裝置設(shè)計(jì)控制器，使得校正后系統(tǒng)滿足穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp=10，相位裕度(c)=50。設(shè)串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為：Gcs=Ts+1Ts+1系統(tǒng)開環(huán)增益為K，則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：KGcsG(s)=KTs+1Ts+16.122s2-605.1計(jì)算開環(huán)增

8、益K：因?yàn)?，即：KGcsGs=KTs+1Ts+16.122s2-60=10計(jì)算得于是有：KGs=6.12298s2-60在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出KG(s)的Bode圖如圖8：num=6.122*98;den=1 0 -60;bode(num,den)圖8 添加增益后的便攜式倒立擺的Bode圖可以看出，系統(tǒng)的相位裕量仍為0，根據(jù)相位裕度要求，確定校正裝置所要提供的最大相位超前角m：對(duì)本系統(tǒng)：根據(jù)m 確定：=1+sinm1-sinm7.555.2計(jì)算校正后的增益交界頻率c：為了最大限度的發(fā)揮串聯(lián)超前校正裝置的相位超前能力，應(yīng)使校正裝置的最大超前相角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的增益交界頻率c處，

9、即m=c，因此，在校正后的增益交界頻率處，有：Lc(m)+L(c)=0 即： 20lg+L(c)=0得：c=39.5rad/s5.3計(jì)算參數(shù)確定傳遞函數(shù)： m=c=T=39.5rad/s得：T =0.0696s則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：KGcsG(s)=980.0696s+10.0092s+16.122s2-605.4 MATLAB仿真分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正后系統(tǒng)的Nyquist及Bode圖如圖9圖10：s=tf(s)G=599.956*(0.0696*s+1)/(0.0092*s+1)*(s2-60);nyquist(G)bode(G)圖9 校正后系統(tǒng)的Nyqu

10、ist圖圖10 校正后系統(tǒng)的Bode圖由圖分析知，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍-1,0一圈，即N=-1。系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=1。根據(jù)Z=P+N的公式知Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定；同樣，在Bode圖中，增益交界頻率c=0處對(duì)應(yīng)的相位裕度為最大值，約為50，達(dá)到校正要求。5.5校正前后系統(tǒng)控制性能對(duì)比：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖11：s=tf(s)G=599.956*(0.0696*s+1)/(0.0092*s+1)*(s2-60);GB=G/(1+G);subplot(2,1,1);step(GB)Gq=6.122/(s2-60);GqB=Gq/(1+Gq);s

11、ubplot(2,1,2);step(GqB)grid;圖11 校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖上圖為校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖，下圖為校正前系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖。由圖分析知，校正前系統(tǒng)的階躍響應(yīng)值不隨時(shí)間的增加而衰減，呈現(xiàn)不斷發(fā)散的趨勢(shì)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)值隨時(shí)間的增加而趨近于1，系統(tǒng)穩(wěn)定。故校正裝置達(dá)到校正要求。5.6倒立擺實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果：將校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)參數(shù)值輸入計(jì)算機(jī)中的便攜式直線一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)軟件，把小車移至導(dǎo)軌中央，啟動(dòng)實(shí)驗(yàn)，待小車開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，緩緩將倒立擺豎起，觀察到倒立擺穩(wěn)擺，故證明校正裝置有效。實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖如圖12：圖12 串聯(lián)超前校正實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖6 便攜式倒立擺

12、PID控制實(shí)驗(yàn)便攜式倒立擺PID控制實(shí)驗(yàn)采用PID校正裝置實(shí)現(xiàn)，其開環(huán)傳遞函數(shù)如下：6.1 PID控制器參數(shù)整定：首先確定臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu，只加入P控制器，令Kp=9得：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出增益后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖13：s=tf(s)G=9*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,10)圖13 Kp=9時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不隨時(shí)間的增加而衰減，呈現(xiàn)不斷發(fā)散的趨勢(shì)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故加大P控制量，令Kp=100得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖14：圖14 Kp=100時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

13、緩慢收斂，為使階躍響應(yīng)曲線呈現(xiàn)振蕩趨勢(shì)，需減小Kp，故令Kp=90得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖15：圖15 Kp=90時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，臨界增益Ku=90，振蕩周期Tu=0.4。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算Kp、Ti和Td：Kp=0.6Ku=0.690=54Ti=0.5Tu=0.2Td=0.125Tu=0.05Gks=54(1+0.05s+10.2s)6.122s2-60在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出PID校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖16： s=tf(s)G=54*(1+0.0375*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,4)圖16

14、 Kp=90時(shí)PID校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，曲線振蕩很頻繁，故加大比例系數(shù)，取Kp=100可繪制出PID校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖17：圖17 Kp=100時(shí)PID校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，穩(wěn)態(tài)誤差較大，穩(wěn)定時(shí)間較大，故增加微分參數(shù)，加大微分作用，分別取Td=0.05、0.1、0.3。在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出三種情況下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖18：s=tf(s)G1=100*(1+0.05*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB1=G1/(1+G1);G2=100*(1+0.1*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB2=G2/(1+G2);G3=100*(1+0.3*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB3=G3/(1+G3);subplot(3,1,1)step(GB1,4)subplot(3,1,2)step(GB2,4)subplot(