第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、作業(yè)：作業(yè)：252391712153 -5 122、P 第五章第五章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。二二.剛體的三種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)剛體的三種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài) 在外力的作用下，形狀和大小完全不變的物體在外力的作用下，形狀和大小完全不變的物體稱為剛體。稱為剛體。一一.剛體的概念剛體的概念1.平動(dòng)平動(dòng)ABABAB 運(yùn)動(dòng)中的剛體上的各點(diǎn)都繞運(yùn)動(dòng)中的剛體上的各點(diǎn)都繞 作大小不同的圓作大小不同的圓運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為定運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)

2、稱為定 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。2.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)軸軸點(diǎn)點(diǎn)軸軸如車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)：如車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)：ABoABoABoABoABoABoABoABoABoABo 平動(dòng)平動(dòng)+ +轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)= =平面平行運(yùn)動(dòng)，如火車輪子的運(yùn)動(dòng)：平面平行運(yùn)動(dòng)，如火車輪子的運(yùn)動(dòng)：3.平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)OABoABoABoABo 三三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述角角位置：位置：1.角量角量t 時(shí)刻時(shí)刻 時(shí)刻時(shí)刻t 角加速度：角加速度：角位移：角位移： 角速度：角速度：tt 0lim tdd o P(t)xO)(tp O tdd 22ddt ttt 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)角量與線量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：角量與線量的對(duì)應(yīng)關(guān)系： rr va2.角

3、量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系RaRaRnt2 , , v212121 , , nnttaaaa vv212121 , , RRRS 2ta21ta1是定值的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為：是定值的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為： 勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)是定值的轉(zhuǎn)動(dòng)稱作：是定值的轉(zhuǎn)動(dòng)稱作： O勻變速直線運(yùn)動(dòng)與剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：勻變速直線運(yùn)動(dòng)與剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： ax , , ,00vv 2220 ax2220 vvt 02210tt at 0vv2210attx v為恒值為恒值 為恒矢為恒矢 a3.運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律例例1. .一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系為，一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速

4、度關(guān)系為， ，k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為 。求：。求：飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；當(dāng)角速度由當(dāng)角速度由 時(shí)時(shí)所需的時(shí)間及在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。所需的時(shí)間及在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。 k 0 200 tdd ttk0dd0 kt 0ln 解：解： k kte 0 kte 002 21ln1kt k2ln tdd 0 2 在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) kktte2ln 0 dd00 tdd tektd0 k20 kte 0 kt2ln k40 kktek2ln00 注：注：F 5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣

5、量表示式：表示式：r一一.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩1.定義：定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的差積。作用力的差積。FrM )2( 正負(fù)規(guī)定：正負(fù)規(guī)定： 若力矩使剛體沿若力矩使剛體沿時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，M為為 。正正逆逆順順負(fù)負(fù)大?。捍笮。?sinrFM 方向：方向：M由右手螺旋法則確定由右手螺旋法則確定 的方向由右手螺旋法則確定的方向由右手螺旋法則確定 （與（與 的方向一致）的方向一致）M rr2.說(shuō)明說(shuō)明FF合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩合力矩合力矩= =各力的力矩和（代數(shù)和）各力的力矩和（代數(shù)和）rr中心力（過(guò)轉(zhuǎn)軸的力）的中心力（過(guò)轉(zhuǎn)軸的力）的

6、力矩力矩00。F0 M 合力為零，合力矩不一定為零合力為零，合力矩不一定為零 合力矩為零，合力不一定為零合力矩為零，合力不一定為零FF0 M0 FMMMM0 F rFM2 力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)， 只有只有 對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。/FrF F/F一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于零，一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于零， 質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。二二.轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律矢量式：矢量式：iiiiamFF 內(nèi)內(nèi)外外 itiititamFF irim 基本思想：基本思想： 把剛體看作質(zhì)元把剛體看作質(zhì)元 的集合。的集合。im

7、1.推導(dǎo)推導(dǎo)切向式：切向式：對(duì)整個(gè)剛體：對(duì)整個(gè)剛體：以以 遍乘切向式：遍乘切向式：ir iitiiiiitiiitarmrFrF iitiiitiitramrFrF iiitrFM外外剛體所受的合外力矩：剛體所受的合外力矩： 0 iiitrFiiitra iiiirmM 2 外外內(nèi)力矩和內(nèi)力矩和 =定義：定義：轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM iiirmJ2 為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 iitiiiiitiiitarmrFrF )(2 iiirm rat 2.牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系物理量：物理量：F aM規(guī)規(guī) 律：律：amF JM mJ剛體剛體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)剛體

8、剛體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律牛頓第二定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律不一定不一定問(wèn)：?jiǎn)枺篗大，是否大，是否 大？大？ 大，是否大，是否M大？大？不一定不一定v問(wèn)：剛體所受合外力為零時(shí)，它一定不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)嗎？問(wèn)：剛體所受合外力為零時(shí)，它一定不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)嗎？不一定不一定該定律不但對(duì)固定軸該定律不但對(duì)固定軸( (轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) )成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。3.說(shuō)明說(shuō)明 式中各量是對(duì)于同一式中各量是對(duì)于同一 轉(zhuǎn)軸而言。轉(zhuǎn)軸而言。 JM 力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的外因。力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的外因。rrFFMM 2r3m2.可加性可加性 iiirmJ2

9、1.定義定義 iiirmJ2 VmrJd 21r1m2m233222211rmrmrmJ 三三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸質(zhì)量連續(xù)分布的物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量連續(xù)分布的物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度3.物理意義物理意義3r單質(zhì)點(diǎn)：?jiǎn)钨|(zhì)點(diǎn)：2mrJ Vmr d 2與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。2mRJ 環(huán)環(huán)221mRJ 盤盤與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)；與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)；4.J與哪些因素有關(guān)與哪些因素有關(guān) VmrJd 2rxdx取取ox軸如圖所示，取棍上一線軸如圖所示，取棍上一線

10、元元dx為質(zhì)元，為質(zhì)元，xlmmdd sinxr xO轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： VmrJd2例例2.質(zhì)量為質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為l 的均質(zhì)細(xì)直棍，求對(duì)通過(guò)其中心的均質(zhì)細(xì)直棍，求對(duì)通過(guò)其中心O且與棍斜交成且與棍斜交成 角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 5. J 計(jì)算應(yīng)用舉例計(jì)算應(yīng)用舉例 2 2 2d)sin(llxlmx 22sin121mlJ 至轉(zhuǎn)軸的距離：至轉(zhuǎn)軸的距離：解：解： VmrJd 2其質(zhì)量：其質(zhì)量：當(dāng)當(dāng) ， 即為棍對(duì)過(guò)它的即為棍對(duì)過(guò)它的 中心且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。中心且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2 2121mlJ 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J，等于，等于剛

11、體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量 , ,加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量m乘以兩乘以兩平行軸之間的距離平行軸之間的距離d 的平方。即的平方。即cJ2mdJJc 過(guò)棒一端過(guò)棒一端 、仍與棍斜交成、仍與棍斜交成 角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量慣量 。 O oJ 討論：討論：由平行軸定理：由平行軸定理：rxdx xOdO 22sin121mlJ 222)sin2(sin121 lmml 22sin31ml 為棍對(duì)過(guò)棍一端、為棍對(duì)過(guò)棍一端、 且與且與231 ,2mlJo 時(shí)時(shí) 2mdJJoo 討論：討論：棍垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。棍垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 rxdx xOdO 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)

12、RaRaRnt2 v角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩FrM JM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mmrJd2例例3.如圖，均質(zhì)大圓盤質(zhì)量為如圖，均質(zhì)大圓盤質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，對(duì)于過(guò)圓心，對(duì)于過(guò)圓心O點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2。如果在大。如果在大圓盤中挖去圖示的一個(gè)小圓盤，其質(zhì)量為圓盤中挖去圖示的一個(gè)小圓盤，其質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，且且 R = 2r。求挖去小圓盤后剩余部分對(duì)于過(guò)。求挖去小圓盤后剩余部分對(duì)于過(guò)O點(diǎn)且垂直于點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：所以實(shí)心部分對(duì)所以實(shí)心

13、部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：大圓盤對(duì)大圓盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J1 = MR2/2小圓盤對(duì)小圓盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： J2=mr 2/2 + mr 221JJJ 222321mrMR 2223)2(21mrrM 2)34(21rmM 2)34(81RmM = 3mr 2/2RrMmOO 221mrJO )6 (30P R例例4. .求半徑為求半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻半圓環(huán)相對(duì)于圖中所示的均勻半圓環(huán)相對(duì)于圖中所示軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。)65(123 PsRmmdd 取弧元取弧元ds， VmrJd2rds d221 mRJ 222d)sin(

14、mR 2022dsin2 mR解：解： dm 解：解：對(duì)象：對(duì)象：受力分析：如圖所示受力分析：如圖所示依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程 21T21RmRF TFgm2hamFgm2T2 2m1m 例例5.一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上一端固定在滑輪上, ,另一端掛有一質(zhì)量為另一端掛有一質(zhì)量為 的物體而下的物體而下垂，略去輪軸處的摩擦，求物體垂，略去輪軸處的摩擦，求物體 由靜止下落由靜止下落h高度時(shí)高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。的速度和此時(shí)輪的角速度。1m2m2m2m1m2mTF gm1NFm1

15、：m2：剛體剛體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) Ra ahah22220 vv找關(guān)系找關(guān)系 TTFF12224mmghm vRv 解方程解方程 TFgm2h2m1m2mTF gm1NF122241mmghmR 例例6.質(zhì)量為質(zhì)量為5kg的一桶水懸于繞在轆轤上的繩子下端，轆的一桶水懸于繞在轆轤上的繩子下端，轆轤可視為一質(zhì)量為轤可視為一質(zhì)量為 10 kg 的圓柱體，桶從井口由靜止釋的圓柱體，桶從井口由靜止釋放，求桶下落過(guò)程中的張力。轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣放，求桶下落過(guò)程中的張力。轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為MR2/2，其中，其中M和和R分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，摩擦分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，摩擦忽略不計(jì)。忽略不計(jì)。gmm

16、MRTFTF 解：解： 對(duì)象對(duì)象M+mM： JRF m：maFmg Ra 解得：解得：mMMmgF2T 221MR N5 .24 例例7. 質(zhì)量為質(zhì)量為M1=24kg的鼓形輪，可繞水平光滑固定的軸轉(zhuǎn)的鼓形輪，可繞水平光滑固定的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過(guò)質(zhì)量為動(dòng)，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過(guò)質(zhì)量為 M2=5kg 的圓的圓盤定滑輪懸有盤定滑輪懸有 m=10kg 的物體。求當(dāng)重物由靜止開(kāi)始下降的物體。求當(dāng)重物由靜止開(kāi)始下降了了h=0.5m時(shí)，時(shí)，物體的速度；物體的速度；繩中張力。（設(shè)繩與定滑繩中張力。（設(shè)繩與定滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，鼓輪、定滑輪繞通過(guò)輪心且垂直于橫輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，鼓輪、定滑

17、輪繞通過(guò)輪心且垂直于橫截面的水平光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為截面的水平光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為)21 ,21222211rMJRMJ mRM1M2解：解：對(duì)象：對(duì)象：M1、 M2 、m受力分析：受力分析：gm2TF gM11NF1TFgM22NF2TF如圖如圖列方程列方程1TF （書（書 P125 5-15）21 rRa ah22 v11T1 JRF M1：22TT12 JrFrF M2：maFmg 2Tm：求解聯(lián)立方程得求解聯(lián)立方程得:221sm4)(21 mMMmgam/s22 ahvN58)(2T agmFN481T1 aMFmRM1M2gm2TF gM11NF1TFgM22NF2TF1TF 例

18、例8. .質(zhì)量質(zhì)量m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定軸軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任轉(zhuǎn)到任一角一角 時(shí)，桿的角加速度時(shí)，桿的角加速度 等于多少？等于多少？此時(shí)的角速度此時(shí)的角速度 等于多少？等于多少？ 桿桿進(jìn)行受力與受力矩分析進(jìn)行受力與受力矩分析依轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程依轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程 )31(cos22mllmg cos23lg lgm)2sin()2( lmgM)2( 解：解：rOFrM 對(duì)象：對(duì)象：由由 tdd lg sin3 00dcos 23d lg cos23lg tdddd dd lgm

19、)2( rO討論：討論：越小，越小， 值越大；值越大； 越大，越大， 值越大。值越大。 2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 ,3 lgm例例9. 以以20Nm的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速由零增大到內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速由零增大到100rev/min，此時(shí)移去該力矩，此時(shí)移去該力矩，轉(zhuǎn)輪在摩擦力矩的作用下，經(jīng)轉(zhuǎn)輪在摩擦力矩的作用下，經(jīng)100s而停止，試推算此轉(zhuǎn)而停止，試推算此轉(zhuǎn)輪對(duì)其固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。輪對(duì)其固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：有外力矩作用時(shí)有外力矩作用時(shí) , 00 srad5 .10602100 t0 t 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 JMMf 無(wú)外力矩作用時(shí)

20、無(wú)外力矩作用時(shí) , srad5 .10 0 t JMft )3 (32P解得：解得：)11(ttMJ 其中其中M=20Nm，, srad5 .10 s 100 , s 10 tt= 17.3kgm2 sd5-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功力矩的功 221vmEk 平平動(dòng)動(dòng)一一. .轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 221 JEk 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)),(v mJ二二.力矩的功力矩的功 dxF對(duì)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)：1.力矩的功力矩的功O rsFWdd 力力力作的元功：力作的元功： d)sin(Fr dM sFd)cos( 2 剛體：剛體：（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）（平動(dòng)動(dòng)能）（平動(dòng)動(dòng)能）力矩所作的元功：力矩所作的元功

21、： ddMW 力力矩矩2.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 21d MW力矩力矩22212121 JJW 力力矩矩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力矩力矩kEW 21 d J 21ddd tJ 21d J ddMW 力力合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。動(dòng)動(dòng)能的增量。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：力矩所作的功：力矩所作的功： 21d MW力力矩矩 sd dxFO r例例8. .質(zhì)量質(zhì)量m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定軸軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任轉(zhuǎn)到任一角一角 時(shí)，桿的角加速度時(shí)

22、，桿的角加速度 等于多少？等于多少？此時(shí)的角速度此時(shí)的角速度 等于多少？等于多少？ 例例10.用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解例用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解例8。解：解：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：021d)cos2(2 0 Jmgll gm)2( r)2sin()2( lmgM22)31(21sin2 mlmgl 桿桿對(duì)象：對(duì)象：O 21d MW力力矩矩lg sin3 tdd cos23 lg dd lglg sin3ddsin3 3.機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律21EE pkEEE 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒。即只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒。即cpmghE 重力勢(shì)能：重力勢(shì)能：為剛體質(zhì)心處的重力勢(shì)能

23、為剛體質(zhì)心處的重力勢(shì)能例例11.用機(jī)械能守恒定律求解例用機(jī)械能守恒定律求解例8中中 的。的。 在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有重力作功，故機(jī)械在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能能守恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有守恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有)sin2(2102 lmgJ sin2)31(2122lmgml lg sin3 l gm0 pE例例8. .質(zhì)量質(zhì)量m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定的均質(zhì)細(xì)桿，可繞其一端的水平固定軸軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任轉(zhuǎn)到任一角一角 時(shí)，桿的角加速度時(shí)，桿的角加速度 等于多少？等

24、于多少？此時(shí)的角速度此時(shí)的角速度 等于多少？等于多少？ 解：解：O復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) JM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mmrJd2功功 BArFWd力力力矩作的功：力矩作的功： 21d MW力力矩矩221 JEk 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力力矩矩kEW 力作的功：力作的功：機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律只有保守力作功時(shí)，只有保守力作功時(shí)，21EE pckEEE 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量prL 2.剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 5-4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律一一.角動(dòng)量（動(dòng)量矩）角動(dòng)量（動(dòng)量矩）:im iiiirmLv :mi

25、iiirmLv )(2 iiirm L的方向與的方向與 的方向相同。的方向相同。 mivim ir J iiiirm 2剛剛體體L vmrL 質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)3. 的角動(dòng)量量綱相同的角動(dòng)量量綱相同質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)剛體剛體二二.剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 JM 0dd tJtJdd tLdd 沖量矩沖量矩 2121dd LLLtMtttJtJddd)(d 12LL 2mr J tJtJtJddddd)d( 21dtttFI（角沖量）（角沖量）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：tLMdd 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩合外力矩的沖量矩 = 角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量的增

26、量。三三. .角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) iiM常常量量 JL1. .守恒律守恒律若剛體所受的合外力矩為零，則其若剛體所受的合外力矩為零，則其總角動(dòng)量保持不變?？偨莿?dòng)量保持不變。角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：恒恒矢矢量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LMii,0質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律：1221dLLtMtt J不變，不變，2.說(shuō)明說(shuō)明, 0 iiM條件分析：條件分析：即力矩的和為零。即力矩的和為零。.一個(gè)一個(gè)J不變，不變， 不變，不變， J變，變， 變，變， 角動(dòng)量守恒的幾種情況角動(dòng)量守恒的幾種情況.幾個(gè)幾個(gè)若人所受的若人所受的 ，則人的，則人的角動(dòng)量也守恒。角動(dòng)量也守恒。

27、0 iiM.推廣至人推廣至人剛體剛體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的角系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)剛體剛體例例12. .一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 的均勻細(xì)棒，其一端掛在的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜此于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量一個(gè)水平光滑軸上而靜此于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為為 、以水平速度、以水平速度 射入棒下端距軸高度為射入棒下端距軸高度為a處如圖。處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置 ，求子彈的水平速度求子彈的水平速度 的大??？的大??？l1m2m0v300v30第二階段第二階段棒棒 剛體剛體子彈子

28、彈 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)碰碰與與12mm轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) 12mm a2m0v過(guò)程分析：過(guò)程分析：第一階段第一階段解：解：對(duì)象：對(duì)象：列方程列方程 )31(222210amlmam v30cos30cos)2(0 )2()(21)31(21212122221gamlgmgamlgmamlm )3(6)2)(32(122222110amlmamlmgam v解得：解得： 角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。 )0( 0 iiM只有重力作功，故機(jī)械能守恒。只有重力作功，故機(jī)械能守恒。第一階段：第一階段：第二階段：第二階段：30a2m0v0 pE例例13.如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的水平轉(zhuǎn)臺(tái)，以角速的水平

29、轉(zhuǎn)臺(tái)，以角速度度 繞中心處的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。臺(tái)上站有繞中心處的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。臺(tái)上站有4人，質(zhì)量各等人，質(zhì)量各等于轉(zhuǎn)臺(tái)質(zhì)量的于轉(zhuǎn)臺(tái)質(zhì)量的 ；2人站于臺(tái)邊人站于臺(tái)邊A處，處，2人站于距圓心人站于距圓心 的的B處。今臺(tái)邊處。今臺(tái)邊2人相對(duì)圓臺(tái)以速度人相對(duì)圓臺(tái)以速度 循轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)向沿圓周循轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)向沿圓周走動(dòng)，同時(shí)另走動(dòng)，同時(shí)另2人相對(duì)圓臺(tái)以速度人相對(duì)圓臺(tái)以速度 逆圓臺(tái)轉(zhuǎn)向沿圓周逆圓臺(tái)轉(zhuǎn)向沿圓周走動(dòng)，求圓臺(tái)這時(shí)的角速度走動(dòng)，求圓臺(tái)這時(shí)的角速度 等于多少？等于多少？ 0 412Rvv2 Bv20 vOR2RA解：解： 對(duì)象：對(duì)象：條件分析：條件分析：轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)臺(tái) 剛體剛體4個(gè)人個(gè)人 質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組 受重力及軸的支托力，受

30、重力及軸的支托力， 且皆與轉(zhuǎn)軸平行，知且皆與轉(zhuǎn)軸平行，知由于系統(tǒng)只由于系統(tǒng)只以地面為參考系以地面為參考系狀態(tài)分析：狀態(tài)分析： 轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)臺(tái)臺(tái)邊臺(tái)邊2 2人人臺(tái)中臺(tái)中2 2人人221mR 2412mR 22412)(Rm 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 臺(tái)臺(tái)臺(tái)邊臺(tái)邊2 2人人臺(tái)中臺(tái)中2 2人人22Rv 2412mR Rv 221mR22412)(Rm ，故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。，故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。0 iiM人走動(dòng)前人走動(dòng)前人走動(dòng)后人走動(dòng)后Bv20 vOR2RA依角動(dòng)量守恒定律列方程依角動(dòng)量守恒定律列方程解得：解得：)22()2(42)(4221222RRmRRmmRvv 0 000222)2(424221 RmRmmR結(jié)論：結(jié)論：

31、 2211 JJJ多物體組成的系統(tǒng)的角動(dòng)量可疊加多物體組成的系統(tǒng)的角動(dòng)量可疊加例例14.一塊寬一塊寬L=0.60m、質(zhì)量、質(zhì)量M=1kg的均勻薄木板，可繞的均勻薄木板，可繞水平固定軸無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)木板靜止在平衡位置水平固定軸無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)木板靜止在平衡位置時(shí)，有一質(zhì)量為時(shí)，有一質(zhì)量為m =1010-3kg的子彈垂直擊中木板的子彈垂直擊中木板A點(diǎn)，點(diǎn)，A離轉(zhuǎn)軸的距離離轉(zhuǎn)軸的距離 l = 0.36m，子彈擊中木板前的速度為，子彈擊中木板前的速度為500ms-1，穿出木板后的速度為，穿出木板后的速度為200ms-1。求：。求：子彈給予木子彈給予木板的沖量，板的沖量，木板獲得的角速度。（木

32、板繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣木板獲得的角速度。（木板繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量J = ML2/3）OO AL解：解： 子彈的沖量為子彈的沖量為 tFId0vvmm sN3 I子彈給予木板的沖量為：子彈給予木板的沖量為： tFId tFdI sN3 l0vsm200 , sm5000 vv)31 (36P 子彈射入并穿出木板，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。子彈射入并穿出木板，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。 Jmlml vv0231MLJ 2)(0MLmlvv srad9 解得：解得：OO ALl0v質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度tr dd v加速度加速度22ddddtrta v質(zhì)量質(zhì)量 m角速度角速度tdd 角加速度角加速度

33、22ddddtt 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛剛體體mrJd 2F 力力FrM 牛頓第二定律牛頓第二定律amF 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 動(dòng)量動(dòng)量vmp 角動(dòng)量角動(dòng)量prL JL 動(dòng)量定理動(dòng)量定理ptFtt 21d角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理LtMtt 21d質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的比較質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的比較力矩力矩角動(dòng)量角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)力的功力的功 LrFWd力矩的功力矩的功 21d MW平動(dòng)能平動(dòng)能221vmEk 轉(zhuǎn)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)能221 JEk 動(dòng)能定理動(dòng)能定理)(單質(zhì)點(diǎn)單質(zhì)點(diǎn)平平外外kEW 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力矩力矩kEW 重力勢(shì)能重力勢(shì)能mghEp 重力勢(shì)能重力

34、勢(shì)能cpcmghE 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律只有保守力作功，只有保守力作功，12EE 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律只有保守力作功，只有保守力作功，12EE )(系系統(tǒng)統(tǒng)平平內(nèi)內(nèi)外外kEWW 動(dòng)量守恒定律：動(dòng)量守恒定律：恒恒矢矢量量 iiiiimFv 0角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：常常量量 iiiiLM 0本章小結(jié)本章小結(jié)主要公式：主要公式：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 miiimrrmJd22剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 JL 力矩力矩FrM 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理1221dLLtMtt 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律21 , 0 LLM 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 內(nèi)內(nèi)M轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 基本要求：基本要求：了解

35、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。守恒定律。復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)功功 LlFWd力力力矩作的功：力矩作的功： 21d MW力力矩矩221 JEk 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力力矩矩kEW 力作的功：力作的功：機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律只有保守力作功時(shí)，只有保守力作功時(shí)，21EE pckEEE 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：剛體：剛體：tLMdd 1221dLLtMtt 角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) iiM21LL 角動(dòng)量角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：剛體：剛體：prL JL d R例例5.求質(zhì)量為求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心垂直于環(huán)面的細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圓環(huán)的線密度為圓環(huán)的線密度為 mRJd2dl解：解： =m/2 R環(huán)上