第5章 偏微分方程

1、第五章 偏微分方程本章內(nèi)容橢圓型方程12拋物型方程3雙曲型方程5.0 概論任何一種隨空間變化或隨時(shí)空變化變化的物理現(xiàn)象都需要用偏微分方程描述大部分物理上重要的偏微分方程是二階的，它們可以分為因變量用它們?cè)谧宰兞康脑S多離散的格點(diǎn)上之值來描述， 通過適當(dāng)?shù)碾x散化，偏微分方程就化為一大組差分方程。雙曲型方程雙曲型方程拋物型方程拋物型方程橢圓型方程橢圓型方程泊松方程和定態(tài)薛定諤方程波動(dòng)方程擴(kuò)散方程和含時(shí)薛定諤方程5.1 橢圓型方程我們將考慮二維空間 (x， y) 內(nèi)的場(chǎng)量 的橢圓型邊值問題，方程為取固定邊界條件，即在 (x， y) 平面內(nèi)某一根很大的閉合曲線上（為方便起見取為單位正方形）規(guī)定了 值，邊

2、值問題就是要用方程求出單位正方形內(nèi)每處的 ?？臻g離散化首先定義一個(gè)網(wǎng)格，覆蓋 (x， y) 平面內(nèi)的單 位正方形。為方便起見，我們?nèi)「褡娱g隔 h (步長)是均勻的，并且在兩個(gè)方向上相等，使得單位正方形被 (N+1) (N+1) 個(gè)格點(diǎn)覆蓋。這些格點(diǎn) 用指標(biāo) i，j 編號(hào)，其中 i， j = 0，1，2，3，.，N。對(duì)每個(gè)方向上的二階微商應(yīng)用三點(diǎn)差分近似，方程近似為其中 A 是出現(xiàn)在線性方程組中的矩陣， 表示內(nèi)點(diǎn)上的 值（不包含邊界點(diǎn)），非齊次項(xiàng) B 包含內(nèi)點(diǎn)上的 S 以及邊界上的 值。上式等價(jià)于關(guān)于區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)上的未知 值的一個(gè)線性方程組，寫為矩陣形式 可以通過矩陣求逆來獲得一維問題的差分格式一

3、維橢圓型方程差分格式為當(dāng)點(diǎn)數(shù)不太多時(shí)，我們可以利用矩陣求逆的方法來求解具體的為例子精確解為二維問題的差分格式其中取特殊的網(wǎng)格 h=1/3, 如右圖，求差分方程的矩陣形式差分方程的矩陣形式為其中解得松弛法首先將上式改寫為“解出”i 的形式以一維問題為例，其差分方程為當(dāng)格點(diǎn)取得非常密時(shí)，選擇矩陣求逆的方法來求解計(jì)算量是非常大的，需要尋求一種適用于更高維數(shù)的、效率更高的算法。由于對(duì) Laplace 算符的離散近似只包含相鄰的點(diǎn)，A為稀疏矩陣，可以用松弛法高效的求解。Jacobi法的思想就是：先猜測(cè)一個(gè)初始解 0 ，然后根據(jù)下面的遞推關(guān)系生成一系列的解，直到收斂為止。但是這個(gè)方法收斂很慢，一個(gè)改進(jìn)的算

4、法是 damped Jacobi 方法Jacobi法多次重復(fù)這一掃描過程，就可以把 的一個(gè)初始猜測(cè)“松弛”到正確的解另外一種不同的迭代格式是Gauss-Seidel 迭代法：先猜測(cè)一個(gè)初始解 0，然后對(duì)格子進(jìn)行系統(tǒng)的掃描（比如從左到右），相繼的把每一點(diǎn)的 換成一個(gè)經(jīng)過改進(jìn)的值Gauss-Seidel 迭代法一個(gè)類似于damped Jacobi算法的改進(jìn)是這個(gè)算法比前面討論的幾種算法都更有效率。只要 01對(duì)應(yīng)于“超松弛” 1則意味“低松弛” 從解的一個(gè)良好的猜測(cè)出發(fā)將會(huì)減少所需的迭代次數(shù)應(yīng)當(dāng)使用松馳因子的最優(yōu)值，這可以用解析方法來估計(jì)，也可以用經(jīng)驗(yàn)方法來決定。分析表明，松弛參數(shù)的最佳選擇依賴于格

5、子大小和問題的幾何條件。它通常大于1，接近2。最佳值可以由經(jīng)驗(yàn)方式?jīng)Q定，這只要考察解在頭幾次迭代中的收斂情況就可以了。加速收斂的辦法在幾次迭代中，把松馳過程集中在網(wǎng)格的一子區(qū)域（已知試驗(yàn)解在這個(gè)區(qū)域中特別不好）中進(jìn)行， 這樣就不會(huì)在解的已松馳的部分上浪費(fèi)力量我們總可以先在比較粗的網(wǎng)格上進(jìn)行計(jì)算，它經(jīng)過少量的計(jì)算工作之后就會(huì)松馳，然后再把求得的解內(nèi)插到一個(gè)更精細(xì)的網(wǎng)格上，用它做進(jìn)一步迭代的初始猜測(cè)。二維橢圓型方程將松弛法推廣到高維是非常直接的，以二維為例，差分方程為解出 ij相應(yīng)的松弛法格式為例子其中精確解為橢圓型方程的本征值問題其中本征值和本征函數(shù)為差分方程的解為差分方程為微分方程問題有無窮多

6、個(gè)本征值，而相應(yīng)的差分方程僅有（N-1）2 個(gè)本征值，一般它們逼近微分方程問題中的那些最小的本征值。而物理上具有意義的正是這幾個(gè)最小的本征值，因此這樣的近似求解是有價(jià)值的。5.2 拋物型方程其中 D 是擴(kuò)散系數(shù)，它可能依賴于空間，而 S 是一個(gè)源函數(shù)。在物理學(xué)中遇到的典型的拋物型偏微分方程是擴(kuò)散方程給定一個(gè)初始時(shí)刻的 場(chǎng)，我們要求隨后某時(shí)刻的 場(chǎng),其演化要服從一定的空間邊界條件， 例如，在一些界面上規(guī)定了溫度或熱通量。顯式差分法 假定擴(kuò)散系數(shù) D 不隨空間變化，設(shè)其為1。 空間變量 x 在 0 和 1 之間變化。 邊界條件是固定邊條件，即在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上規(guī)定了場(chǎng)的值。 不考慮非齊次項(xiàng)先討論最

7、簡單的一維擴(kuò)散問題此時(shí)對(duì)應(yīng)的方程可以 寫成將 0, 1 區(qū)間分割為 N 個(gè)均勻的格子，其中格距或空間步長為 h= 1/N， 并設(shè)時(shí)間步長為 t。離散化用 in 來表示在空間 xi = ih 處、時(shí)刻 tn =n t 時(shí)的場(chǎng)值，其中 i=0, 1, 2, ., N, n=0, 1, 2, .用三點(diǎn)差分公式近似代替空間的二階導(dǎo)數(shù)，用最簡單的一階差分公式近似代替時(shí)間的導(dǎo) 數(shù)，于是方程可近似寫成如下差分格式整理得到上式簡化為令當(dāng)時(shí)間步長取的很小時(shí)，計(jì)算比較精確；但是如果試圖增大時(shí)間步長，則數(shù)值解中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非物理的不穩(wěn)定性。出現(xiàn)這一情況的原因是因?yàn)槲覀冞@里提供的顯式差分格式是一個(gè)條件穩(wěn)定格式，只有當(dāng)滿

8、足下式時(shí)才是穩(wěn)定的這迫使我們不得不再增加迭代的次數(shù)或取一個(gè)更小的時(shí)間步長 t，這將付出很大的代價(jià)，特別是這個(gè)時(shí)間步長比恰當(dāng)?shù)孛枋鱿到y(tǒng)演化所需要的自然時(shí)間尺度要小得多時(shí)繞過上節(jié)顯式算法的條件穩(wěn)定性的一個(gè)方法是采用相應(yīng)的隱式格式。隱式差分法獲取隱式格式的一個(gè)直接的方法是，只需將空間的二階導(dǎo)數(shù)用新時(shí)刻上的三點(diǎn)差分公式來近似代替，其它不變,這樣我們得到一個(gè)修正的迭代格式引入算符 L將隱式公式寫為因?yàn)槲粗?n+1 出現(xiàn)在方程兩邊，所以我們可以通過解出 n+1 來得到迭代格式，即求解注意， L 的矩陣形式這個(gè)格式在 t 的最低階上和顯式格式等價(jià)，但是這個(gè)格式比顯式格式要好得多，好在它可以用大的時(shí)間步長，

9、這是因?yàn)樵撾[式差分格式是無條件穩(wěn)定的。對(duì)隱式格式而言，每個(gè)時(shí)間步的計(jì)算都需要將矩陣 (1+ t L) 的逆矩陣作用在 n 上。由于逆矩陣本身與時(shí)間無關(guān)，我們可以只在計(jì)算開始時(shí)求它一次，然后在所有時(shí)刻都用。將顯式公式利用算符 L改進(jìn)的算法寫為將隱式公式和顯式公式相加解出得最后我們需要說明的是，用兩個(gè)時(shí)刻上的三點(diǎn)差分公式的不同組合來近似代替空間二階導(dǎo)數(shù)，還可以得到其它改進(jìn)的隱式迭代格式，例如， 這個(gè)差分格式被稱為CrankNicolson方法，是求解含時(shí)薛定諤方程的首選。它的精度比前面的直接隱式差分格式好得多（直接隱式差分格式對(duì)時(shí)間的精度是 O(t )，而CrankNicolson差分格式則是 O

10、(t 2)）。含時(shí)薛定諤方程其中 V 是位勢(shì)函數(shù)。為了方便起見，令 =2m=1，將上式寫為如下拋物線方程形式 其中 H 算子為可以證明這個(gè)遞歸關(guān)系是幺正的，即保證波函數(shù)的模方在全空間的積分不隨時(shí)間變化，這正是量子力學(xué)所要求的。應(yīng)用下面的差分格式5.3 雙曲型方程研究兩端固定的弦的振動(dòng)假設(shè)初始位移 為 1(x) 和初始速度 1(x)將二階導(dǎo)數(shù)寫為差分形式當(dāng) c1 時(shí)，解是不穩(wěn)定的。得到波動(dòng)方程的差分格式其中利用初始條件可以先求出兩行數(shù)值作為公式計(jì)算的啟動(dòng)值，設(shè)初始位移 為 1(x) 和初始速度 1(x) ，則顯式公式表明，需要兩行的已知的數(shù)據(jù)才能求出下一行的數(shù)值Matlab偏微分方程工具箱簡介MATLAB提供了兩種方法解決偏微分方程問題： 一個(gè)是 pdfpe 函數(shù)，可以直接求解一般的偏微分方程另一個(gè)是matlab 的偏微分工具箱（PDE toolbox）可以比較規(guī)范的求解各種常見的二階偏微分方程以橢圓型方程為例，演示偏微分工具箱的用法()c uauf平面有界區(qū)域 D上的橢圓型偏微分方程邊值問題a、c、f