矩陣的初等變換及應(yīng)用的總結(jié)7頁(yè)

1、矩陣的初等變換及應(yīng)用內(nèi)容摘要：矩陣是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象。矩陣初等變換是線性代數(shù)中一種重要的計(jì)算工具，利用矩陣初等變換，可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關(guān)系。一 矩陣的概念定義：由于mn個(gè)數(shù)aij（i=1，2，.，m；j=1，2，.，n）排成的m行n列的數(shù)表，稱為m行n列，簡(jiǎn)稱mn矩陣二 矩陣初等變換的概念定義：矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換1.初等行變換矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1) 交換矩陣的兩行(交換兩行,記作);(2) 以一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行(第行乘數(shù),記作);(3) 把矩陣的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,

2、記為).1. 初等列變換把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨某醯攘凶儞Q3 ,如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作AB矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列基本性質(zhì):(1) 反身性 ;(2) 對(duì)稱性 若,則;(3) 傳遞性 若,則.三 矩陣初等變換的應(yīng)用 1. 利用初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形定理：任意一個(gè)m n矩陣A，總可以經(jīng)過(guò)初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形2. 利用初等變換求逆矩陣求n階方陣的逆矩陣：即對(duì)n2n矩陣（AE）施行初等行變換，當(dāng)把左邊的方陣A變成單位矩陣E的同時(shí)，右邊的單位矩陣也就變成了方陣A的逆矩陣A(-1)即(A|E)經(jīng)過(guò)初等變換得到(E|A(-1)這種計(jì)算格式也可以用來(lái)

3、判斷A是否可逆，當(dāng)我們將A化為行階梯形矩陣時(shí)，若其中的非零行的個(gè)數(shù)等于n時(shí)，則A可逆，否則A不可逆。設(shè)矩陣可逆，則求解矩陣方程等價(jià)于求矩陣 ，為此，可采用類似初等行變換求矩陣的逆的方法，構(gòu)造矩陣，對(duì)其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，則上述初等行變換同時(shí)也將其中的單位矩陣化為，即 .這樣就給出了用初等行變換求解矩陣方程的方法.同理, 求解矩陣方程 等價(jià)于計(jì)算矩陣 亦可利用初等列變換求矩陣. 即.3利用矩陣初等變換求矩陣的秩矩陣的秩的概念是討論向量組的線性相關(guān)性、深入研究線性方程組等問(wèn)題的重要工具. 從上節(jié)已看到，矩陣可經(jīng)初等行變換化為行階梯形矩陣，且行階梯形矩陣所含非零行的行數(shù)是唯一確定的,

4、這個(gè)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是矩陣的“秩”,鑒于這個(gè)數(shù)的唯一性尚未證明，在本節(jié)中，我們首先利用行列式來(lái)定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法. 定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若AB則R（A）=R(B) 為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成階梯矩陣解體矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩利用矩陣值得概念，能夠討論線性方程組有解的條件，然后通過(guò)研究向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩等重要概念，討論線性方程組的結(jié)構(gòu)。4. 行列式的計(jì)算一般格式：經(jīng)過(guò)將行列式等行變換化為上三角形 5求線性方程組的解一般格式:(1)齊次線性方程組AX=0，A是mn矩陣 1對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，

5、求出r(A)。若r(A)=n，則AX=0，只有零解；若r(A)n， 則AX=0有非零解，轉(zhuǎn)入22對(duì)階梯陣?yán)^續(xù)施行初等行變換將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，以非零行首個(gè)非零元對(duì)應(yīng)的k個(gè)未知量為基本未知量，其余的n-k個(gè)未知量為自由未知量，將自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分別令自由未知量中一個(gè)為1，其余全為0，求得AX=0的基礎(chǔ)解系：X，X，Xn-k3n-k個(gè)解向量的線性組合：CX+C2X+Cn-kXn-k(C，C，Cn-k為任意常數(shù))就是AX=0的通解。(2)非齊次線性方程組AX=B，A是mn矩陣1對(duì)增廣矩陣(AB)進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(A)與r

6、(AB)，若r(A)r(AB)，則AX=B無(wú)解；若r(A)=r(AB) 則AX=B有解，轉(zhuǎn)入2 2對(duì)行階梯陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，此時(shí)若r(A)=r(AB)=n，則AX=B有唯一解，行最簡(jiǎn)形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組就是這唯一解的表達(dá)式；若r(A)=r(AB)=kn，則AX=B有無(wú)窮多解，轉(zhuǎn)入33以非零行的首個(gè)非零元對(duì)應(yīng)的k個(gè)未知量為基本未知量，其余n-k個(gè)未知元為自由未知量，將自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量為0，求得AX=B的一個(gè)特解X0 4在AX=B的一般解中去掉常數(shù)項(xiàng)，就得到導(dǎo)出組AX=0的一般解，分別令一個(gè)自由未

7、知量為1其余自由未知量都為0，求出導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系，X，X，Xn-k與通解CXCX2C n-kXn-k5AX=B的一個(gè)特解加導(dǎo)出組AX=0的通解CX1+CX2+Cn-kXn-k+X0(C，Cn-k為任意常數(shù)) 就是AX=B的通解。6. 確定向量組的線性相關(guān)性一般格式：設(shè)向量組為12m，以12m為列構(gòu)成矩陣A，對(duì)A施行 初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩r（A），若r（A）=m， 則12m線性無(wú)關(guān)，若r（A）m，則12m線性相關(guān)。7. 確定一向量能否由另一向量線性表出一般格式：以向量組12m與向量為列構(gòu)成矩陣A，然后對(duì)A施行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣B8. 求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組一般格式：設(shè)向量組12m，以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣AB的非零行的首個(gè)元素所在的列向量對(duì)應(yīng)的12m中的向量i1ir構(gòu)成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其向量的個(gè)數(shù)即為向量組12m的秩。 結(jié) 論矩陣初等變換在解決線性代數(shù)的計(jì)算問(wèn)題中有很多應(yīng)用，這些計(jì)算格式有不少類似之處。但是由于這些計(jì)算格式有不同