數(shù)學(xué)重點內(nèi)容精選——第四章

1、 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN第四章第四章平面向量、數(shù)系的擴充平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù) 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 目錄鏈接目錄鏈接第二節(jié)第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理及坐標表示.13第三節(jié)第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用.22第四節(jié)第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù).29第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念及向量的線性運算向量的概念及向量的線性運算.3 天成教育天

2、成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念及向量的向量的概念及向量的 線性運算線性運算 考 綱 展 示1了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 平面向量的線性運算是每年高考的重點，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題

3、闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度 高考對平面向量的線性運算的考查主要有以下幾個命題角度：(1)考查向量加法或減法的幾何意義；(2)求已知向量的和；(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值；(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算【命題角度命題角度】【考情分析考情分析】 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】B 闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解考查向量加法或減法的幾何意義考查向量加法或減法的幾何意義例 1(2012 遼寧高考)已知兩個非零向量 a，b 滿足

4、|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()AabBabC|a|b|Dabab【解析】法一：(代數(shù)法)將原式平方得|ab|2|ab|2，a22abb2a22abb2，ab0，ab.法二：(幾何法)如圖所示：在ABCD 中，設(shè) ABa，ADb，ACab，DBab，|ab|ab|，平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形 ABCD 為矩形，ab.高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】 D例 2(2011四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF 中，BA CD EF ()A0BBE CAD

5、 DCF 【解析】因六邊形 ABCDEF 是正六邊形，故BA CD EF DE CD EF CE EF CF .闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解求已知向量的和求已知向量的和高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系例 3(2013四川高考)如圖在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，AB AD AO ，則_.【解析】由平行四邊形法則，有AB AD AC AO

6、，已知AB AD AO ，所以2.【答案】2高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值例 4(2013江蘇高考)設(shè) D，E 分別是ABC 的邊 AB，BC 上的點， AD12AB， BE23BC.若DE 1AB 2AC (1， 2為實數(shù))，則12的值為_【解析】DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(AC AB )16AB 23AC ，DE 1AB 2AC ，116，223，故1212.【答案

7、】12高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)三：總結(jié)問題類型，掌握解題策略闖關(guān)三：總結(jié)問題類型，掌握解題策略平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合平行四邊形法則(2)求已知向量的和一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值求出向量的和或與已知條件中的和式比較，然后求參數(shù)(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到

8、同一個平行四邊形或三角形中求解高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能1.在平行四邊形 ABCD 中，AC 與 BD 相交于點 O，E 是線段 OD 的中點， AE 的延長線與 CD 交于點 F， 若AC a，BD b， 則AF 等于()A.14a12bB.23a13bC.12a14bD.13a23b解析：選 B如圖，AF AD DF ，由題意知，DEBE13DFAB，故DF 13AB ，則AF 12a12b1312a12b

9、23a13b.高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能2.若 O 是ABC 所在平面內(nèi)一點，D 為 BC 邊中點，且 2OA OB OC 0，那么()A.AO OD B.AO 2OD C.AO 3OD D2AO OD 解析：選 A因為 D 是 BC 邊的中點，所以有OB OC 2OD ，所以 2OA OB OC 2OA 2OD 2(OA OD )0OA OD 0AO OD .高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育

10、 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能3.(2014青島模擬)在ABC 中，點 D 在線段 BC 的延長線上，且BC 3CD ，點 O 在線段 CD 上(與點 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC ，則 x 的取值范圍是()A.0，12B.0，13C.12，0D.13，0解析：選 D設(shè)CO yBC ，AO AC CO AC yBC AC y(AC AB )yAB (1y)AC ，BC 3CD ，點 O 在線段 CD 上(與點 C，D 不重合)，y0，13 ，AO

11、 xAB (1x)AC ，x13，0.高頻考點全通關(guān)平面向量的線性運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示 考 綱 展 示1了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 平面向量共線的坐標表示是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，

12、屬容易題 高考對平面向量共線的坐標表示的考查主要有以下幾個命題角度：(1)利用兩向量共線求參數(shù)；(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標；(3)三點共線問題 闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示【考情分析考情分析】【命題角度命題角度】 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】C闖關(guān)二闖關(guān)二: :典題針對講解典題針對講解利用兩向量共線求參利用兩向量共線求參數(shù)數(shù)例 1(2013陜西高考)已知向量 a(1，m)，b(m,2)，若 ab，則實數(shù) m 等于()A2B

13、.2C2或2D0【解析】因為 ab，所以 m22，解得 m2或 m2.高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】 (4，2)闖關(guān)二闖關(guān)二: :典題針對講解典題針對講解利用兩向量共線的條件求向量坐標利用兩向量共線的條件求向量坐標例 2(2011湖南高考)設(shè)向量 a，b 滿足|a|25，b(2,1)，且 a 與 b 的方向相反，則 a 的坐標為_【解析】a 與 b 方向相反，可設(shè) ab(0)，a(2，1)(2，)由|a|5225，解得2，或2(舍)，故 a(4，2)高頻考點全通關(guān)

14、平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN例 3(2014 東營模擬)若三點 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則1a1b的值等于_【解析】AB (a2，2)，AC (2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即 ab2a2b0，所以1a1b12.闖關(guān)二闖關(guān)二: :典題針對講解典題針對講解三點共線問三點共線問題題高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示【答案】12 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)三：總

15、結(jié)問題類型，掌握解題策略闖關(guān)三：總結(jié)問題類型，掌握解題策略平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一個已知向量 a 共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a 即可得到所求的向量(3)三點共線問題A，B，C 三點共線等價于AB 與AC 共線高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG

16、 JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能1.(2013遼寧高考)已知點 A(1,3)，B(4，1)，則與向量AB 同方向的單位向量為()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35解析：選 AA(1,3)，B(4，1)，AB (3，4)，又|AB |5，與AB 同向的單位向量為ABAB 35，45 .高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化

17、提升解題技能2.已知向量 a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，則 m_.解析：由題意知 ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c，得(3)(1)(m1)20，即 2(m1)3，故 m52.答案：52高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能3.已知點 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則 AC 與 OB 的交點 P 的坐標為_解析：法一：由 O，P，B 三點共線，可設(shè)OP OB (4，4)，

18、則AP OP OA (44,4)又AC OC OA (2,6)，由AP 與AC 共線，得(44)64(2)0，解得34，所以O(shè)P 34OB (3,3)，所以 P 點的坐標為(3,3)法二：設(shè)點 P(x，y)，則OP (x，y)，因為OB (4,4)，且OP 與OB 共線，所以x4y4，即 xy.又AP (x4，y)，AC (2,6)，且AP 與AC 共線，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以 P 點的坐標為(3,3)答案：(3,3)高頻考點全通關(guān)平面向量共線的坐標表示 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 綱

19、 展 示 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及 平面向量的應(yīng)用平面向量的應(yīng)用1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系2掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算3能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系4會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題 高考對平面向量的夾角與模的

20、考查常有以下幾個命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應(yīng)用；(3)已知數(shù)量積求模；(4)知模求模 闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度高頻考點全通關(guān)平面向量的夾角與模的問題【考情分析考情分析】【命題角度命題角度】 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解求兩向量的夾角求兩向量的夾角例 1(2013 安徽高考)若非零向量a，b 滿足|a|3|b|a2b|，則a 與 b 夾角的余弦值為 _【解析】由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2|a2b|2|a|2

21、4|b|24ab，所以 ab|b|2.又|a|3|b|，所以 cosa，bab|a|b|b|23|b|213.高頻考點全通關(guān)平面向量的夾角與模的問題【答案】13 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解已知數(shù)量積求模已知數(shù)量積求模例 2(2013 天津高考)在平行四邊形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 為 CD 的中點若AC BE 1,則 AB 的長為_解析: 由題意可知，AC AB AD ，BE 12AB AD .因為AC BE 1，所以(AB AD )12ABAD 1，即AD

22、 212AB AD 12AB 21.因為|AD |1，BAD60，所以|AB |12，即 AB 的長為12.高頻考點全通關(guān)平面向量的夾角與模的問題【答案】12 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)三：總結(jié)問題類型，掌握解題策略闖關(guān)三：總結(jié)問題類型，掌握解題策略平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略(1)求兩向量的夾角cos ab|a|b|，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|aa.|ab|

23、ab2a22abb2.若 a(x，y)，則|a|x2y2.高頻考點全通關(guān)平面向量的夾角與模的問題 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能1若 a(1,2)， b(1， 1)， 則 2ab 與 ab 的夾角等于 ()A4B.6C.4D.34解析：選 C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|32，|ab|3.設(shè)所求兩向量夾角為，則 cos 932322，又0，故4.高頻考點全通關(guān)平面向量的夾

24、角與模的問題 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能2.已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，則|2|的值為_解析：(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.12.(2)2422444210.|2|10.答案：10高頻考點全通關(guān)平面向量的夾角與模的問題 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 綱 展 示第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)1理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)

25、相等的充要條件2了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算3了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題高考對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算的考查主要有以下幾個命題角度：(1)復(fù)數(shù)的乘法運算；(2)復(fù)數(shù)的除法運算；(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度闖關(guān)一：了解考情，熟悉命題角度高頻考點全通關(guān)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算【考情分析考情分析】【命題角度命題角度】 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)

26、新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN【答案答案】 B闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解復(fù)數(shù)的乘法運算復(fù)數(shù)的乘法運算例 1(2013浙江高考)已知 i 是虛數(shù)單位，則(2i)(3i)()A55iB75iC55iD75i【解析】(2i)(3i)65ii255i.高頻考點全通關(guān)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算 天成教育天成教育 創(chuàng)新方案創(chuàng)新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN闖關(guān)二：典題針對講解闖關(guān)二：典題針對講解復(fù)數(shù)的除法運算復(fù)數(shù)的除法運算例 2(2013新課標全國卷)12i1i2()A112iB112iC112iD112i【解析】12i1i212i2i12ii2ii2i2112i.【答案】B高